Funzione continua

Le curve in rosso e in blu sono funzioni continue, la curva in verde non lo è

In matematica, una funzione continua è una funzione per la quale la controimmagine di ogni insieme aperto del codominio è un insieme aperto del dominio.

Esistono diverse definizioni di continuità, corrispondenti ai contesti matematici in cui vengono utilizzate. Intuitivamente, una funzione continua fa corrispondere ad elementi arbitrariamente vicini del dominio elementi arbitrariamente vicini del codominio.

Definizione

Dati due spazi topologici X e Y, una funzione $f:X\to Y$ si dice continua in $x \in X$ se la controimmagine di ogni intorno di f(x) è un intorno di x. La funzione f si dice continua se è continua in ogni punto di X. In modo equivalente, una funzione è continua se e solo se la controimmagine di ogni insieme aperto in Y è un insieme aperto in X.

L'uguaglianza delle due definizioni segue dal fatto che la controimmagine di ogni intorno aperto di f(x) è un aperto di X contenente x, ed è quindi un intorno di x. Viceversa, se f è continua in ogni punto di X e M è un aperto di Y, si possono avere due casi:

• Se M non contiene punti dell'immagine di f, la controimmagine di M è l'insieme vuoto, ed è quindi un aperto.
• Se M contiene un punto f(x), esso è un intorno del punto e la sua controimmagine è un intorno in X, quindi un aperto.

Una funzione continua è sempre continua per successioni, al contrario è possibile dare esempi di funzioni continue per successioni, ma non continue. L'inverso vale solo se il dominio X è uno spazio sequenziale, come lo sono gli spazi primo-contabili e dunque in particolare gli spazi metrici: per la maggior parte dei casi, dunque, le due definizioni si possono considerare equivalenti.

Definizione in analisi matematica

La figura evidenzia che l'immagine dell'intorno (in azzurro) di a è contenuto nell'intorno (in rosso) dell'immagine b = f(a). La funzione non è invece continua in c, poiché l'intorno (in giallo) del punto d = f(c) non può contenere interamente l'immagine di un intorno (in verde) di c.

In analisi matematica si possono utilizzare diverse definizioni di funzione continua. Si consideri una funzione f con dominio e codominio nell'insieme dei numeri reali. La funzione si definisce continua nel punto x₀ del suo dominio se il suo limite per x tendente a x₀ coincide con la valutazione della funzione in x₀, ovvero con f(x₀). In simboli:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

In alcuni casi si esprime questo fatto dicendo che l'operazione di limite in x₀ commuta con la funzione f:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(\lim_{x \to x_0}x)$

Tale definizione ha senso se è possibile l'operazione di limite in x₀, cioè se x₀ è un punto di accumulazione per il dominio di f. Se ciò non è possibile, cioè x₀ è isolato nel dominio, allora f risulta continua per una "verità vuota" (dall'inglese vacuous truth).

Una definizione di continuità equivalente alla precedente si può ottenere esplicitando il concetto di limite. Una funzione f di variabile reale a valori reali è continua in x₀ se ogni intorno di f(x₀) include l'immagine di un intorno di x₀. In altre parole, per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che $|x-x_0|<\delta\,$ implica | f(x) − f(x₀) | < ε. Tale definizione è stata usata per la prima volta da Cauchy e viene talvolta detta definizione epsilon-delta.

Servendosi della nozione di intorno sferico centrato in p di raggio r, indicato con B_r(p), la definizione può essere scritta nel seguente modo:

$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : f(E \cap B_\delta(x_0)) \subset B_\epsilon(f(x_0))$

dove E è l'insieme di definizione di f; quest'ultima definizione ha il vantaggio di valere in qualunque spazio metrico (eventualmente dotati di diversa metrica), e non solo nello spazio dei numeri reali.

Una formulazione data da Heine, infine, si avvale del concetto di limite di una successione, e viene detta continuità per successioni. Una funzione f a valori reali è continua in x₀ se, per ogni successione x_n a valori nel dominio della funzione e convergente a x₀, la successione f(x_n) converge a f(x₀).

Dalla definizione di continuità risulta evidente che si tratta di una proprietà locale, ossia definita punto per punto. Se una funzione f è continua in ogni punto di un insieme E, si dice che f è continua su E e si scrive anche $f \in \mathcal{C}(E)$.

Continuità a sinistra e a destra

Una funzione continua a destra

Una funzione f si dice continua a destra in x₀ se:

$\lim_{x\to x_0^+} f(x) = f(x_0)$

dove il limite è inteso solo come limite destro.

Una funzione f si dice continua a sinistra in x₀ se:

$\lim_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0)$

Una funzione è continua in un punto se e solo se è ivi continua a destra e a sinistra.

Continuità per funzioni di più variabili reali

Tutte le definizioni date si generalizzano immediatamente al caso di funzioni da Rⁿ in R^m estendendo a tali spazi la nozione di limite di una funzione, di intorno, di successione o di distanza, che nel caso unidimensionale è indotta dal modulo e nel caso di uno spazio euclideo n-dimensionale è indotta dalla norma euclidea. Non si estende invece in più dimensioni il concetto di continuità "a destra" o "a sinistra", semplicemente perché nel piano o nello spazio non esiste una "destra" o una "sinistra".

Per funzioni di più variabili reali si definisce anche una condizione più debole: una funzione si dice continua separatamente in un punto rispetto ad una delle variabili x_i se è continua (nel senso suddetto) la funzione di una variabile dipendente solo dal parametro x_i, fissando tutte le altre costanti al valore assunto nel punto in esame.

Continuità in geometria metrica

In un contesto più astratto come quello di uno spazio metrico, si può ottenere una definizione equivalente a quella data in precedenza guardando a $\R$ ed $\R^n$ come spazi muniti della funzione distanza indotta dalla norma euclidea. Dati due spazi metrici (X,d₁) e (X,d₂), una funzione $f:X\to Y$ si dice continua in $x \in X$ se ogni palla di f(x₀) contiene l'immagine di una palla di x₀. La funzione si dice continua se lo è in ogni punto di X.

Esplicitamente, ε > 0 esiste un δ > 0 tale per cui d₁(x,x₀) < δ implica $d_2(f(x), f(x_0))<\epsilon$

Proprietà delle funzioni continue

• Chiusura per composizione: la classe delle funzioni continue è chiusa rispetto all'operazione di composizione di funzioni, ovvero la funzione h(x) = f(g(x)) ottenuta componendo due funzioni continue f(x) e g(x) è ancora una funzione continua. Una conseguenza importante è che se siamo nell'insieme R dei numeri reali e se f e g sono continue in x₀ allora $f + g, f \cdot g, f / g$ (se $g(x_0) \not= 0)$ sono continue. Si noti che l'affermazione inversa non è, in generale, verificata. Se la somma di due funzioni è continua, non è detto che entrambi gli addendi siano funzioni continue.

• Permanenza del segno: se una funzione ha valori in R, è continua in un punto del suo dominio x₀ con f(x₀) > 0 allora esiste un intorno U(x₀) tale che f(x) > 0 in tutti i punti dell'intorno.

• Preservazione della connessione: l'immagine di un insieme connesso mediante una funzione continua è ancora un insieme connesso. In particolare vale il
  • Teorema dei valori intermedi: se $f:[a,b] \to \R$ è continua allora f assume tutti i valori compresi fra f(a) e f(b). Come conseguenza si ha il seguente
  • Teorema di Bolzano: Sia $f:[a,b] \to \R$ continua. Se $f(a)\cdot f(b) \,<\, 0$ allora esiste almeno un $x_0 \in (a,b)$ tale che f(x₀) = 0.

• Preservazione della compattezza: l'immagine di un insieme compatto mediante una funzione continua è ancora un insieme compatto. Come conseguenza si ha il
  • Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un insieme compatto K assume massimo e minimo in K. In particolare se $f:[a,b] \to \R$ è continua allora esistono $x_1, x_2 \in [a,b]$ tali che:

$f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2) \ \forall x \in [a,b]$

• Criterio di invertibilità: Una funzione continua e strettamente monotona in un intervallo [a,b] è invertibile in tale intervallo.

• Continuità delle funzioni inverse: Se $f:[a,b] \to \R$ è continua e biiettiva, anche la funzione inversa f ^-1 è continua. L'implicazione non vale in generale per le funzioni la cui immagine non è un intervallo: un controesempio è dato dalla funzione che manda iniettivamente l'intervallo aperto (0,1) in una curva piana a forma di "8" (una lemniscata).

• Continuità delle primitive: Una funzione $f:[a,b] \to \R$ continua ammette sempre primitive e ogni sua primitiva è continua.

Spazio delle funzioni continue

L'insieme di tutte le funzioni continue su un dominio fissato A e a valori reali

$\{f:A \to \R\}$

può essere dotato di una struttura di spazio vettoriale ponendo per f e g in tale insieme

$\begin{matrix} f+g: & A & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & f(x)+g(x)\end{matrix}$

e per α numero reale

$\begin{matrix} \alpha f : & A & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & \alpha f(x)\end{matrix}$

Lo spazio vettoriale così definito è detto spazio delle funzioni continue su A e viene indicato con C(A,R).

Se il dominio A è compatto (e quindi per tutte le funzioni in C(A,R) vale il teorema di Weierstrass) nello spazio C(A,R) può essere definita una norma ponendo:

$\left \| f \right \|_\infty:=\sup_{x \in A} f(x)$

detta norma uniforme o norma del sup. La coppia costituita dallo spazio C(A,R) e dalla norma uniforme individua uno spazio di Banach.

Esempi

Sono esempi di funzioni continue:

• Le funzioni costanti f(x) = c
• La funzione identità (da uno spazio topologico X allo stesso spazio con la stessa topologia)
• Le funzioni che associano ad una coppia di numeri (x,y) la somma x+y, il prodotto xy o il rapporto x/y sono continue nel loro insieme di definizione in R².
• Le trasformazioni lineari fra spazi euclidei
• Le funzioni espresse da polinomi
• La funzione esponenziale e il logaritmo naturale nel suo insieme di definizione
• Le funzioni seno e coseno.
• La funzione valore assoluto è continua (ma non derivabile in x=0)
• La funzione di Cantor e la curva di Koch sono esempi di funzioni continue con struttura frattale
• La curva di Peano: una curva piana che ricopre l'intero quadrato

Sono esempi di funzioni non continue:

• La funzione indicatrice di un sottoinsieme proprio di R è discontinua sulla frontiera dell'insieme
• La funzione di Dirichlet è discontinua in ogni punto

Bibliografia

• Michael Reed; Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2^a ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506

Voci correlate

• Continuità uniforme
• Continuità assoluta
• Punto di discontinuità
• Funzione semicontinua
• Continuità separata
• Modulo di continuità
• Classe C di una funzione
• Operatore lineare continuo

Altri progetti

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