Funzione continua

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La funzione in rosso è continua, quella in blu non lo è

In matematica, una funzione continua è una funzione che, intuitivamente, fa corrispondere ad elementi arbitrariamente vicini del dominio elementi arbitrariamente vicini del codominio (anche se ci sono casi di funzioni continue "controintuitive").

Esistono diverse definizioni di continuità, corrispondenti ai contesti matematici in cui vengono utilizzate: la continuità di una funzione è uno dei concetti di base della topologia e dell'analisi matematica.

La continuità di una funzione può essere definita anche in modo locale: in questo caso si parla di continuità in un punto del dominio. Una funzione continua è, per definizione, continua in ogni punto del proprio dominio.

Una funzione che non è continua è detta discontinua, e i punti del dominio in cui non è continua sono detti punti di discontinuità.

Per esempio, la funzione h(t) che descrive l'altezza di un uomo rispetto all'età dello stesso può essere vista come una funzione continua: in periodi brevi l'uomo cresce di poco. Al contrario, la funzione g(t) che rappresenta la quantità di denaro presente in un conto corrente nel tempo è una funzione discontinua, poiché prelievi e depositi le fanno fare salti da un valore all'altro.

Definizioni[modifica | modifica sorgente]

La continuità di una funzione è un concetto topologico, e quindi la definizione generale di funzione continua si sviluppa con funzioni tra spazi topologici. Lo stesso concetto è però usato in ambiti meno generali, soprattutto per quanto riguarda il suo utilizzo in analisi matematica: viene spesso presentata la definizione di continuità solamente per funzioni tra spazi metrici, o ancora, solo per funzioni di una variabile reale.

Funzioni reali[modifica | modifica sorgente]

Il grafico della funzione presenta un salto in x0: la funzione non è continua

Nel caso di funzioni di una variabile reale, spesso la continuità viene presentata come una proprietà del grafico: la funzione è continua se il suo grafico è formato da un'unica curva che non compia mai salti. Sebbene questa nozione possa essere usata nei casi più semplici per distinguere funzioni continue da funzioni discontinue, non è formalmente corretta, e può portare ad ambiguità o errori.

Definizione in termine di limite di una funzione[modifica | modifica sorgente]

Una funzione f si definisce continua nel punto p del suo dominio se il suo limite per x tendente a p coincide con la valutazione della funzione in p, ovvero con f(p). In simboli:[1]

\lim_{x \to p} f(x) = f(p)

Tale definizione è usata maggiormente per funzioni definite su un intervallo della retta reale: infatti, essa ha senso solo se p è un punto di accumulazione per il dominio di f. Essa è comunque estendibile anche nel caso di domini più complicati, che comprendono punti isolati: in essi, f risulta continua per una "verità vuota" (dall'inglese vacuous truth).

La funzione si dice continua se è continua in ogni punto p del dominio.

Definizione epsilon-delta[modifica | modifica sorgente]

Studiando la funzione nel punto p=2, e scegliendo \varepsilon = 0.5, basta scegliere \delta = 0.5 per far sì che tutte le immagini dei punti in (2-\delta,2+\delta) distino per meno di \epsilon da f(2)=3.5

Una funzione f\colon A\rightarrow \mathbb{R} definita su un sottoinsieme A dei numeri reali a valori reali si dice continua in un punto p\in A se per ogni numero \varepsilon >0, arbitrariamente piccolo, esiste un secondo numero \delta >0 tale che,  \forall x\in  A\cap (p-\delta,p+\delta), la funzione f(x) dista da f(p) per meno di \varepsilon, ovvero:[1]

|f(x) - f(p)|<\varepsilon

In linguaggio simbolico, una funzione è continua in un punto p se:

\forall\varepsilon >0\ \exist \delta > 0 : |x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(p)|<\varepsilon

Se questa proprietà vale per ogni punto nel dominio di definizione della funzione, allora si dice che la funzione è continua. In questo caso si dice che  f(x) \in C(A,\mathbb{R}) , che è l'insieme delle funzioni continue a valori reali e variabili in A.

Più intuitivamente, se si vuole che la funzione f(x) disti di un valore piccolo da f(p) ci basta restringerci ad un intorno abbastanza piccolo del punto p. Se questo è possibile qualunque sia la distanza scelta (a meno di restringere ulteriormente l'intorno di p), allora la funzione è continua in p.

Questa definizione è equivalente a quella data in precedenza: essa è costruita dalla prima semplicemente esplicitando la definizione di limite di una funzione. È stata usata per la prima volta da Cauchy.[2]

Funzioni tra spazi topologici[modifica | modifica sorgente]

f è continua in un punto x ∈ X se (e solo se) per ogni intorno V di f(x) esiste un intorno U di x tale che f(U) ⊆ V. Intuitivamente, per quanto sia piccolo V esiste sempre un U contenente x che viene mappato in V.

La definizione di continuità data nel caso di funzioni reali può essere generalizzata in contesti più ampi, come quello degli spazi topologici.

Sia f una funzione tra due spazi topologici (X,\tau_1) e (Y,\tau_2). Allora f si dice continua se la controimmagine di ogni insieme aperto è aperta, ovvero se f^{-1}(A)=\{x\in X|f(x) \in A\} è un insieme aperto in X qualunque sia l'insieme A aperto di Y.[3]

Equivalentemente si può definire la continuità punto per punto: una funzione f tra due spazi topologici (X,\tau_1) e (Y,\tau_2) si dice continua in un punto p del dominio se la controimmagine f^{-1}(U)=\{x\in X|f(x) \in U\} di ogni intorno U di f(p) è un intorno di p. Una funzione è quindi continua se lo è in ogni punto di X.[3]

La definizione di continuità è strettamente legata alla topologia scelta nel dominio e nel codominio: funzioni continue con alcune scelte di topologia possono non esserlo con altre. Per esempio, la funzione identità è continua se lo spazio di arrivo ha la stessa topologia dello spazio di partenza, oppure se ne ha una meno fine, ovvero con meno aperti. Se invece lo spazio di arrivo ha una topologia più fine, con più aperti, la funzione identità non risulta continua.

Funzioni tra spazi metrici[modifica | modifica sorgente]

Gli spazi metrici sono spazi topologici nei quali la topologia è generata da una base di intorni circolari.[4] Sia f una funzione tra due spazi metrici (X,d_1) e (Y,d_2). La funzione f si dice continua in un punto p se, per ogni scelta di \varepsilon > 0, esiste un \delta > 0, tale che, per ogni punto x \in X che dista meno di \delta da p, ovvero che:

d_1(x,p)<\delta

si ha che f(x) dista per meno di \varepsilon da f(p), ovvero:[5]

d_2(f(x),f(p))<\varepsilon

La definizione può essere scritta servendosi della nozione di intorno sferico B_r(P) centrato in p, di raggio \delta: in questo caso, la funzione è continua se x \in B_\delta(p) \cap E implica che f(x)\in B_\varepsilon(f(p)) o, simbolicamente:

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : f(E \cap B_\delta(p)) \subset B_\varepsilon(f(p))

dove E è l'insieme di definizione di f.[5]

Nel caso di funzioni reali, le definizioni coincidono se le due distanze su dominio e codominio non sono altro che il modulo della differenza tra due valori in \R.

Inoltre, questa definizione è valida per funzioni definite e a valori in tutti gli spazi vettoriali normati, dove la distanza sia la norma della differenza tra due punti. In particolare, è valida in \mathbb{R}^n con la norma euclidea, ed estende quindi la definizione di continuità a funzioni di più variabili.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Una funzione cubica, espressa da un polinomio di terzo grado, è una funzione continua.

Sono esempi di funzioni continue:

La funzione di Heaviside presenta una discontinuità in 0.

Sono esempi di funzioni non continue:

H(x) = 
\begin{cases}
1 & \text{se } x\ge 0\\
0 & \text{se } x < 0.
\end{cases}

Proprietà delle funzioni continue[modifica | modifica sorgente]

Sia f:I \to \R una funzione continua a valori reali definita su un intervallo I. Valgono:

  • Permanenza del segno: Se in un punto p del suo dominio f(p) > 0, allora esiste un intorno U(p) tale che f(x)>0 in tutti i punti dell'intorno.
  • Teorema dei valori intermedi: Se a e b sono due punti del dominio, allora f assume tutti i valori compresi fra f(a) e f(b).
  • Teorema di Bolzano: Se a e b sono due punti del dominio tali che f(a)\cdot f(b) \,<\, 0 (ovvero se f(a) e f(b) hanno segno diverso), allora esiste almeno un p \in (a,b) tale che f(p) = 0.
  • Teorema di Weierstrass: Se l'intervallo I è chiuso e limitato, ovvero se I=[a,b], allora f ammette massimo e minimo, ovvero esistono due punti p e q tali che f(p)\leq f(x) \leq f(q) per ogni x \in [a,b].
  • Se f è biiettiva, e la sua immagine è un intervallo, anche la funzione inversa f^{-1} è continua. L'implicazione non vale in generale per le funzioni la cui immagine non è un intervallo.[6]

Sia f:(X,d_1) \to (Y,d_2) una funzione tra spazi metrici. Valgono:

Sia f:(X,\tau_1) \to (Y,\tau_2) una funzione continua tra spazi topologici. Valgono:

Composizione[modifica | modifica sorgente]

La composizione di funzioni continue è una funzione continua, ovvero se f e g sono due funzioni continue, allora anche:

h(x)= (f \circ g) (x) = f(g(x))

è una funzione continua.

Come conseguenza di questa proprietà si hanno le seguenti:

  • La somma f+g di due funzioni continue è una funzione continua.
  • Il prodotto f \cdot g di due funzioni continue è una funzione continua.
  • Il quoziente f/g di due funzioni continue è una funzione continua (nell'insieme di definizione, ovvero dove g è diversa da 0).

In generale, l'inverso non è vero: ad esempio, se una funzione continua è somma di due funzioni, non è detto che entrambi gli addendi siano a loro volta funzioni continue.[6] Ad esempio se

f(x)=\begin{cases}0 \quad \text{se }x\neq 1 \\ 1 \quad \text{se }x=1 \end{cases} \quad \text{e}\quad g(x)=\begin{cases}1 \quad \text{se }x\neq 1 \\ 0 \quad \text{se }x=1 \end{cases},

allora f e g non sono continue, ma

f(x)+g(x)=1 \quad \text{e} \quad f(x)g(x)=0

sono entrambe continue su tutto \mathbb{R}. Analogamente se

f(x)=\begin{cases}3 \quad \text{se }x\neq 1 \\ 9 \quad \text{se }x=1 \end{cases} \quad \text{e} \quad g(x)=\begin{cases}1 \quad \text{se }x\neq 1 \\ 3 \quad \text{se }x=1 \end{cases},

allora f e g non sono continue, ma

\frac{f(x)}{g(x)}=3

è continua su tutto \mathbb{R}.

Successioni[modifica | modifica sorgente]

L'animazione mostra una sequenza di funzioni continue che converge puntualmente a una funzione discontinua

Data una successione di funzioni continue f_1, f_2, \dotsc \colon I \to \R tali che il limite:

f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)

esiste finito per ogni x \in \mathbb{R} (convergenza puntuale), allora non è vero che f(x) è una funzione continua. Se però la successione converge uniformemente, allora il limite puntuale f(x) è continuo.[7]

Derivazione e integrazione[modifica | modifica sorgente]

Una funzione derivabile (o più in generale una funzione differenziabile) in un punto p è sempre continua in quel punto. Non è vero il contrario: esistono funzioni continue non derivabili, come ad esempio la funzione valore assoluto, continua in 0 ma non derivabile nello stesso punto. Esistono anche funzioni a variabile reale continue in tutti i punti del dominio e non derivabili in nessuno di essi, come la funzione di Weierstrass.

Una funzione continua f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} è sempre integrabile secondo Riemann (e quindi anche secondo Lebesgue). Inoltre, f ammette sempre primitive e ogni sua primitiva è continua. Viceversa, non tutte le funzioni integrabili sono continue: per esempio, sono integrabili tutte le funzioni costanti a tratti.[8]

Altri tipi di continuità[modifica | modifica sorgente]

Continuità per successioni[modifica | modifica sorgente]

Una funzione \scriptstyle {f} a valori reali è continua per successioni in \scriptstyle {x_0} se, per ogni successione \scriptstyle {x_n} a valori nel dominio della funzione e convergente a \scriptstyle {x_0}, la successione \scriptstyle {f(x_n)} converge a \scriptstyle {f(x_0)}.

Questa formulazione di continuità è dovuta ad Eduard Heine.

Una funzione continua è sempre continua per successioni, mentre, al contrario è possibile dare esempi di funzioni continue per successioni, ma non continue. L'inverso vale solo se il dominio \scriptstyle {X} è uno spazio sequenziale, come lo sono gli spazi primo-numerabili[9] e dunque in particolare gli spazi metrici: in questo caso, quindi, le due definizioni si possono considerare equivalenti.[10]

Continuità a sinistra e a destra[modifica | modifica sorgente]

Una funzione continua a destra

Una funzione reale f si dice continua a destra in x_0 se:

\lim_{x\to x_0^+} f(x) = f(x_0)

dove il limite è inteso solo come limite destro.

Una funzione f si dice continua a sinistra in x_0 se:

\lim_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0)

Una funzione è continua in un punto se e solo se è ivi continua a destra e a sinistra.

Queste proprietà non sono estendibili a funzioni a più di una variabile, in quanto nel piano, nello spazio, e generalmente in \mathbb{R}^n quando n>1 non esiste relazione d'ordine, ovvero non è possibile definire una "destra" o una "sinistra".

Semicontinuità[modifica | modifica sorgente]

Una funzione semicontinua inferiormente: nel punto di salto, f(x_0) si trova in basso
Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Funzione semicontinua.

Una funzione f definita su uno spazio topologico X a valori reali si dice semicontinua inferiormente in x_0\in X se per ogni \varepsilon > 0 esiste un intorno U di x_0 tale che per ogni x \in U, si ha:

f(x)\geq f(x_0) + \varepsilon

Se invece vale, per ogni x\in U:

f(x)\leq f(x_0) + \varepsilon

la funzione viene detta semicontinua superiormente in x_0.

Se la prima (o rispettivamente la seconda) proprietà vale in ogni punto del dominio, si dice che la funzione è semicontinua inferiormente (o rispettivamente semicontinua superiormente).

La semicontinuità (sia inferiore che superiore), è una proprietà più debole della continuità: esistono funzioni semicontinue ma non continue. Viceversa, una funzione è continua se e solo se è sia semicontinua inferiormente che semicontinua superiormente.

Continuità separata[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Continuità separata.

Nel caso di funzioni di più variabili, è possibile definire una condizione più debole di continuità, detta continuità separata: una funzione f è continua separatamente in un punto p rispetto a una delle variabili x_i se è continua la funzione di una variabile dipendente solo dal parametro x_i, lasciando le restanti variabili fissate al valore assunto nel punto in esame.

Continuità uniforme[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Continuità uniforme.

Una condizione più forte (e globale) di continuità è quella di continuità uniforme: una funzione continua tra due spazi metrici si dice uniformemente continua se il parametro \delta della definizione non dipende dal punto p considerato, ovvero se è possibile scegliere un \delta che soddisfi la definizione per tutti i punti del dominio.

Più precisamente, una funzione f è uniformemente continua se, per ogni \varepsilon > 0 esiste un \delta > 0 tale che, comunque presi due punti p e q nel dominio di f che distano per meno di \delta, allora le loro immagini f(p) e f(q) distano per meno di \varepsilon.[6]

Equicontinuità[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equicontinuità.

Quando gli elementi di un insieme di funzioni continue hanno il medesimo modulo di continuità, si parla di insieme equicontinuo. Nello specifico, Siano X e Y due spazi metrici e F una famiglia di funzioni definite da X in Y. La famiglia F è equicontinua nel punto x_0 \in X se per ogni \epsilon > 0 esiste \delta > 0 tale che d(f(x_0),f(x)) < \epsilon per tutte le f \in F e per ogni x tali che d(x_0,x) < \delta. La famiglia F è equicontinua (in tutto X) se è equicontinua in ogni suo punto. La famiglia F è uniformemente equicontinua se per ogni \epsilon > 0 esiste \delta > 0 tale che d(f(x_1),f(x_2)) < \epsilon per tutte le f \in F e per ogni coppia di punti x_1 e x_2 in X tali che d(x_1,x_2) < \delta.

Più in generale, quando X è uno spazio topologico, un insieme F di funzioni da X in Y è equicontinuo nel punto x \in X se per ogni \epsilon > 0 il punto x possiede un intorno U_x tale che:

d_Y(f(y), f(x)) < \epsilon \qquad \forall y \in U_x \quad \forall f \in F

Tale definizione è sapesso utilizzata nell'ambito degli spazi vettoriali topologici.

Spazio delle funzioni continue[modifica | modifica sorgente]

L'insieme di tutte le funzioni continue su un dominio fissato A e a valori reali:

 C(A,\R):= \{ f: A \to \R \text{ } |  \text{ } f \text{ è continua} \}

può essere dotato di una struttura di spazio vettoriale ponendo per f e g in tale insieme:

\begin{matrix} f+g: & A & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & f(x)+g(x)\end{matrix}

e per \alpha numero reale:

\begin{matrix} \alpha f : & A & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & \alpha f(x)\end{matrix}

Lo spazio vettoriale così definito è detto spazio delle funzioni continue su A.

Se il dominio A è compatto (e quindi per tutte le funzioni in C(A,\R) vale il teorema di Weierstrass) nello spazio C(A,\R) può essere definita una norma ponendo:

\left \| f  \right \|_\infty:=\sup_{x \in A} f(x)

detta norma uniforme o norma del sup.

La coppia costituita dallo spazio C(A,\R) e dalla norma uniforme individua uno spazio di Banach.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Apostol, T.M., op. cit., pp. 130-131
  2. ^ Judith V. Grabiner, Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus in The American Mathematical Monthly, vol. 90, nº 3, marzo 1983, pp. 185–194, DOI:10.2307/2975545, JSTOR 2975545.
  3. ^ a b Manetti, Marco, op. cit., pp. 44-45
  4. ^ Manetti, Marco, op. cit., p. 50
  5. ^ a b Soardi, P.M., op. cit., pp. 175-177
  6. ^ a b c d e Soardi, P.M., op. cit., cap. 7
  7. ^ Giusti E., op. cit., cap. 13
  8. ^ Soardi P.M., op. cit., p.204 e pp. 295-301
  9. ^ "primo-numerabile" è la traduzione letterale del termine first-countable usato in lingua inglese. Nella letteratura matematica recente lo si preferisce a termine base locale numerabile per evitare possibili confusioni con il secondo assioma di numerabilità. Si ricorda che uno spazio topologico soddisfa il primo assioma di numerabilità se ogni suo punto ammette un sistema fondamentale di intorni numerabile.
  10. ^ Arkhangel'skii, A.V., op. cit., pp. 31-33

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
  • Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 9788825173192.
  • Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
  • (EN) Tom M. Apostol, Calculus, vol. 1, John Wiley & Sons, inc., 1967, ISBN 0471000051.
  • (EN) A.V. Arkhangel'skii, Pontryagin, L.S., General Topology I, Springer-Verlag, 1990, ISBN 3-540-18178-4.
  • Enrico Giusti, Analisi matematica 2, Bollati Boringhieri, 2008, ISBN 9788833957067.

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