Insieme limite

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In matematica, in particolare nello studio dei sistemi dinamici, un insieme limite è lo stato che un sistema dinamico raggiunge dopo che è passata una quantità infinita di tempo, sia andando avanti che indietro nel tempo. Gli insiemi limite sono importanti perché forniscono informazioni sul comportamento a lungo termine di un sistema dinamico. Esempi di insiemi limite sono i punti fissi, le orbite periodiche, i cicli limite e gli attrattori.

In generale gli insiemi limite possono essere molto complicati, come nel caso degli attrattori strani, ma per i sistemi bidimensionali il teorema di Poincaré-Bendixson ci assicura che tutti i possibili insiemi limite possono essere solo punti fissi, orbite periodiche o unioni di un certo numero di un connessioni tra selle.

Definizione per funzioni iterate[modifica | modifica sorgente]

Sia X uno spazio metrico e sia f:X\rightarrow X una funzione continua. L'insieme \omega-limite di x\in X, indicato con \omega(x,f), è l'insieme dei cluster point di un'orbita in avanti \{f^n(x)\}_{n\in \mathbb{N}} della funzione iterata f. Quindi y\in \omega(x,f) se e solo se c'è una sequenza strettamente crescente di numeri naturali \{n_k\}_{k\in \mathbb{N}} tale che f^{n_k}(x)\rightarrow y con k\rightarrow\infty. Un altro modo per esprimere questo concetto è

\omega(x,f) = \bigcap_{n\in \mathbb{N}} \overline{\{f^k(x): k>n\}}.

Se f è un omeomorfismo si può definire in modo simile l'insieme \alpha-limite semplicemente cambiando nella definizione orbita in avanti con orbita inversa, cioè \alpha(x,f)=\omega(x,f^{-1}).

Entrambi gli insiemi sono f-invarianti e se X è uno spazio compatto allora i due insiemi sono compatti e non vuoti.

Definizione per i flussi[modifica | modifica sorgente]

Dato un sistema dinamico reale (T, X, φ) con flusso \varphi:\mathbb{R}\times X\to X un punto x e un'orbita γ di x, un punto y si può definire punto ω-limite di γ se esiste una sequenza (t_n)_{n \in \mathbb{N}} in \mathbb{R} tale che

\lim_{n \to \infty} t_n = \infty
\lim_{n \to \infty} \varphi(t_n, x) = y .

Analogamente un punto y si può definire punto α-limite se esiste una sequenza (t_n)_{n \in \mathbb{N}} in \mathbb{R} tale che

\lim_{n \to \infty} t_n = -\infty
\lim_{n \to \infty} \varphi(t_n, x) = y .

L'insieme di tutti i punti ω-limite (α-limite) per una data orbita γ è chiamato insieme ω-limite (insieme α-limite) per γ e è indicato con limω γ (limα γ).

Gli insiemi limite possono anche essere definiti in questo modo:

\lim_\omega \gamma := \bigcap_{n\in \mathbb{R}}\overline{\{\varphi(x,t):t>n\}}

e

\lim_\alpha \gamma := \bigcap_{n\in \mathbb{R}}\overline{\{\varphi(x,t):t<n\}}.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Per ogni orbita periodica γ di un sistema dinamico, limω γ = limα γ = γ
  • Per ogni punto fisso x_0 di un sistema dinamico, limω x_0 = limα x_0 = x_0

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • limω γ e limα γ sono chiusi.
  • Se X è compatto allora limω γ e limα γ sono non vuoti, compatti e connessi.
  • limω γ e limα γ sono φ-invarianti, cioè φ(\mathbb{R} × limω γ) = limω γ e φ(\mathbb{R} × limα γ) = limα γ

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]