Teorema di Taylor

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Il teorema di Taylor, in analisi matematica, è un teorema che fornisce una sequenza di approssimazioni di una funzione differenziabile attorno ad un dato punto mediante i polinomi di Taylor, cui coefficienti dipendono solo dalle derivate della funzione nel punto.

I polinomi sono tra le funzioni più semplici da utilizzare; molte funzioni possono essere approssimate con polinomi, in modo che tale approssimazione sia "abbastanza" precisa. Il teorema di Taylor spiega in che senso si può ottenere una tale approssimazione utilizzando il polinomio di Taylor. In particolare, la formula di Taylor con il resto di Lagrange si può considerare un'estensione del Teorema di Lagrange: infatti ad una funzione differenziabile in un intervallo (a,x) \subset \mathbb{R}, e prolungabile con continuità agli estremi, si può applicare il teorema di Lagrange:

\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f^{ \prime }(\xi)

dove \xi \in (a,x). Da questa si ottiene:

f(x) = f(a) +  f^{ \prime }(\xi) (x-a)\quad

che è un caso particolare della formula di Taylor con il resto di Lagrange.

Formula di Taylor per funzioni di una variabile[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un intervallo (a,b) \subset \mathbb R ed un punto x_0 \in (a,b). Sia f \colon (a,b) \to \R derivabile n - 1 volte nell'intervallo (a,b), con n \ge 1, e supponiamo che la derivata (n - 1)-esima f^{(n - 1)} sia derivabile nel punto x_0. Allora, definito il polinomio di Taylor di grado n come

\operatorname{T}_n(f,x) = f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+ { {f^{\prime \prime}(x_0)}\over{2!}}(x-x_0)^2 + ...  + {{f^{(n)}(x_0)}\over{n!}}(x-x_0)^n = \sum_{k=0}^n {{f^{(k)}(x_0)}\over k!}(x-x_0)^k

si ha che

f(x)=\operatorname{T}_n(f,x) + R_n(x),

ove R_n(x) è un infinitesimo di ordine superiore a (x-x_0)^n cioè:

\lim_{x \to x_0}{R_n(x)\over(x-x_0)^n} = 0.

Il resto R_n(x) si può esprimere in varie forme, che possono risultare più o meno utili a seconda della necessità.

Resto di Peano[modifica | modifica wikitesto]

Il resto nella forma di Peano è indicato semplicemente con la notazione di o piccolo:

R_n(x) = \operatorname o\left((x-x_o)^{n}\right).

Nel caso particolare n = 1, la formula di Taylor con il resto di Peano diventa:

f(x) = f(x_0) + f^{ \prime }(x_0) (x - x_0) + \operatorname o(x-x_0).

Essa esprime un'approssimazione della funzione f, derivabile nel punto x_0, mediante il polinomio di Taylor

\operatorname T_1(f,x) = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0).

Il grafico di \operatorname T_1(f,x) è la retta tangente al grafico di f nel punto di coordinate (x_0, \, f(x_0)) . L'approssimazione suddetta è, in generale, migliore rispetto a quella ottenibile a partire dalla sola continuità, che si può esprimere come

f(x) = f(x_0) + \operatorname o(1).

La formula di Taylor con il resto di Peano risulta particolarmente utile nel calcolo di limiti di funzioni.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia f \colon [x_0, b) \to \R derivabile n volte in x_0, vogliamo dimostrare che

f(x) = \sum_{k=0}^n {{f^{(k)}(x_0)}\over k!} \, h^k + o( h^n ) \qquad \forall x = x_0 + h \in (x_0, b),

(dove usiamo la convenzione f^{(0)}(x_0) = f(x_0) per la "derivata di ordine zero" di f). Questo equivale a

\lim_{h \to 0} {{1}\over{h^n}}\left[f(x_0+h)-f(x_0)-f^{ \prime }(x_0)h-\dots-f^{(n)}(x_0){{h^n}\over{n!}}\right] = 0 \qquad (1)

La dimostriamo per induzione. Per n=1\quad la relazione è facilmente verificabile; infatti se esiste f^{ \prime }(x_0)\quad la relazione coincide con la condizione di differenziabilità per una funzione di una variabile, ovvero:

\lim_{h \to 0} {{f(x_0+h)-f(x_0)-f^{ \prime }(x_0)h}\over{h}}= 0

Supponiamola vera per n-1 e dimostriamola per n . Il rapporto che compare nella (1)\quad si presenta nella forma indeterminata {{0}\over{0}} per h\to 0\quad; osserviamo inoltre che sia il denominatore sia la sua derivata prima n h^{n - 1}, per h > 0 non assumono mai un valore nullo. Sono dunque soddisfatte le ipotesi per applicare il teorema di de l'Hôpital, e allora il limite nella (1) viene a coincidere con:

\lim_{h \to 0} {{f^{ \prime }(x_0+h)-f^{ \prime }(x_0)-f^{ \prime \prime }(x_0)h-\dots-f^{(n)}(x_0){{h^{n-1}}\over{(n-1)!}}}\over{ n h^{n-1}}} \qquad (2)

nel caso quest'ultimo limite esista. Nelle nostre ipotesi la funzione g(x) = f^{ \prime }(x)\quad, che è definita in un intorno destro di x_0\quad, è derivabile n-1 volte in x_0\quad e quindi, osservando che

f^{(k)}(x_0) = g^{ (k - 1) }(x_0), \quad k = 1, \dots,  n

per l'ipotesi induttiva applicata alla funzione g(x) segue che il limite nella (2)\quad è zero, ossia (data l'eguaglianza dei limiti per la regola di de l'Hôpital):

 f(x_0 + h) - f(x_0) - f^{ \prime }(x_0) h - \dots - f^{(n)}(x_0) \frac{h^n}{n!} =\operatorname o(h^n)

il che dimostra il passo induttivo, e con esso la tesi. Q.E.D.

Resto di Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

Il resto nella forma di Lagrange afferma che, se la funzione è derivabile n+1 volte in un intorno di x_0 (si richiede che sia derivabile almeno n volte in un intorno del tipo [x_0, x), più un'altra volta in (x_0, x) per qualche x) esiste \xi compreso tra x_0 e x tale che

 R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1},

Questa formula permette di interpretare il teorema di Taylor come una generalizzazione del teorema di Lagrange.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dimostriamo la tesi per induzione, quando n=0 per il teorema del valore medio di Lagrange abbiamo proprio

 R_1(x) = f(x) - f(x_0) = f^{\prime}(\xi) (x-x_0),

per qualche x_0 e x. Supponiamo di aver dimostrato la tesi per n e proviamola per n+1, consideriamo che

 R_{n+1}^{\prime}(f,x) = f^{\prime}(x) - \operatorname{T}^{\prime}_{n+1}(f,x) = f^{\prime}(x) - \operatorname{T}_n(f^\prime,x) = R_n(f^\prime, x)

quindi ancora per il teorema del valore medio di Lagrange applicato a  R_{n+1}(f,x) abbiamo

 R_{n+1}(f,x) = R_{n+1}(f,x) - R_{n+1}(f,x_0) =  R_n(f^\prime, \xi) (x - x_0) = \frac{f^{n+2}(\zeta)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1},

per qualche \xi tra x_0 e x e qualche \zeta tra x_0 e \xi, il che completa la dimostrazione.

Resto di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Il resto nella forma di Cauchy afferma che esiste \xi compreso tra x e x_0 tale che

  R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-x_0).

Questa forma si può generalizzare nel seguente modo: se G(t) è una funzione continua su [a,x] e differenziabile su (a,x) con derivata non nulla, allora esiste \xi compreso tra x e x_0 tale che

 R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n\cdot\frac{G(x)-G(a)}{G^{ \prime }(\xi)},

generalizzando dunque il teorema di Cauchy.

Resto integrale[modifica | modifica wikitesto]

Il resto nella forma integrale, che al contrario dei precedenti è valido anche se f assume valori complessi, afferma che se f^{(n)} è assolutamente continua in [a,x], allora

 R_n(x) = \int_a^x {\frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, \operatorname dt}.

Questa forma mostra il teorema di Taylor come una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo.

Formula di Taylor per funzioni di due variabili[modifica | modifica wikitesto]

Per funzioni di più variabili, la scrittura completa si fa più pesante e fa uso dei multiindici:

f(\mathbf{x})=\sum_{|\alpha|=0}^n\frac{\operatorname D^\alpha f(\mathbf{a})}{\alpha!}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha+\sum_{|\alpha|=n+1}R_{\alpha}(\mathbf{x})(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha
Formula di Taylor di ordine 1

Sia f(x_0,y_0) una funzione di classe C^2 e vogliamo calcolare il polinomio di Taylor in (x_0,y_0) allora:

f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k + R(h,k)

dove h = x - x_0 e k = y - y_0 ed R(h,k) è il resto che equivale a:

R(h,k) = \frac {1}{2!} \left[f_{xx} (x_a,y_a) h^2 + 2 f_{xy}(x_a,y_a) hk + f_{yy}(x_a,y_a) k^2\right]

Vale come per le funzioni di una variabile che se le derivate seconde sono limitate da un numero M, allora l'errore equivale:

|R| \le M(h^2+k^2)
Formula di Taylor di ordine 2

Con le stesse notazioni abbiamo:

f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k +
+ \frac {1}{2!} \left[f_{xx} (x_0,y_0) h^2 + 2 f_{xy}(x_0,y_0) hk + f_{yy}(x_0,y_0) k^2\right] + R(h,k)
Formula di Taylor di ordine 3
f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k +
\frac {1}{2!} \left[f_{xx}(x_0,y_0) h^2 + 2 f_{xy}(x_0,y_0) hk + f_{yy}(x_0,y_0) k^2\right]+
+ \frac {1}{3!} \left[f_{xxx} (x_0,y_0) h^3 + 3 f_{xxy}(x_0,y_0) h^2 k + 3 f_{xyy}(x_0,y_0)h k^2 + f_{yyy} (x_0,y_0) k^3\right] + R(h,k)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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