Teorema di Taylor

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Il teorema di Taylor, in analisi matematica, è un teorema che fornisce una sequenza di approssimazioni di una funzione differenziabile attorno ad un dato punto data dalla serie di Taylor, i cui coefficienti dipendono solo dalle derivate della funzione nel punto.

I polinomi sono tra le funzioni più semplici da utilizzare; molte funzioni possono essere approssimate con polinomi, in modo che tale approssimazione sia "abbastanza" precisa. Il mezzo con il quale si pratica tale approssimazione è il polinomio di Taylor. Esso è una diretta conseguenza del Teorema di Lagrange: in effetti ad una funzione differenziabile in un punto x \in (a,b) \subset \mathbb{R} si può applicare il teorema di Lagrange:

\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f^{ \prime }(\xi)

dove \xi \in (a,x). Da questa si ottiene:

f(x) = f(a) +  f^{ \prime }(\xi) (x-a)\quad

e data la generalità dei punti scelti vale in tutti i punti in cui la funzione è differenziabile. Questa non è altro che la retta tangente della funzione f nel punto x e che è un polinomio di primo grado che approssima la funzione f(x) in un intorno di x.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia f: [a,b] \to \R derivabile n volte nell'intervallo [a,b]. Sia fissato un x_0 \in [a,b]. Sia fissato anche un n \in \mathbb{N}. Allora, definito il polinomio di Taylor di grado n come

\operatorname{T}_n(f,x) = f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+ { {f^{\prime \prime}(x_0)}\over{2!}}(x-x_0)^2 + ...  + {{f^{(n)}(x_0)}\over{n!}}(x-x_0)^n = \sum_{k=0}^n {{f^{(k)}(x_0)}\over k!}(x-x_0)^k

si ha che

f(x)=\operatorname{T}_n(f,x) + R_n(x),

ove R_n(x) è un infinitesimo di ordine superiore a (x-x_0)^n cioè:

\lim_{x \to x_0}{R_n(x)\over(x-x_0)^n} = 0.

Il resto R_n(x) si può esprimere in varie forme, che possono risultare più o meno utili a seconda della necessità.

Resto di Peano[modifica | modifica wikitesto]

Il resto nella forma di Peano è indicato semplicemente dalla notazione di o piccolo; esso esprime un'approssimazione migliore rispetto alla normale forma assunta dall'incremento di una funzione derivabile una volta:

f(x) = f(x_0) + f^{ \prime }(x_0) (x - x_0)  + \operatorname o(x-x_0) \,

che a sua volta fornisce un'approssimazione migliore rispetto all'incremento di una funzione di cui sia garantita la sola continuità:

f(x) = f(x_0) + \operatorname o(1) \,

e si può esprimere come

R_n(x) = \operatorname o\left((x-x_o)^{n}\right) .

Questo tipo di notazione risulta particolarmente utile nel calcolo di limiti di funzioni.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia f:[x_0, x_0+h] \to \R, con h > 0 , derivabile n volte in x0, vogliamo dimostrare che

f(x) = \sum_{k=0}^n {{f^{(k)}(x_0)}\over k!}h^k + o( h^n ) \qquad \forall x \in (x_0, x_0+h),

(dove usiamo la convenzione f^{(0)}(x_0) = f(x_0) per la "derivata di ordine zero" di f). Questo equivale a

\lim_{h \to 0} {{1}\over{h^n}}\left[f(x_0+h)-f(x_0)-f^{ \prime }(x_0)h-\dots-f^{(n)}(x_0){{h^n}\over{n!}}\right] = 0 \qquad (1)


La dimostriamo per induzione. Per n=1\quad la relazione è facilmente verificabile; infatti se esiste f^{ \prime }(x_0)\quad la relazione coincide con la condizione di differenziabilità per una funzione di una variabile, ovvero:

\lim_{h \to 0} {{f(x_0+h)-f(x_0)-f^{ \prime }(x_0)h}\over{h}}= 0

Supponiamola vera per (n-1)\quad e dimostriamola per n . Il rapporto che compare nella (1)\quad si presenta nella forma indeterminata {{0}\over{0}} per h\to 0\quad; osserviamo inoltre che sia il denominatore sia la sua derivata prima n h^{n - 1} non assumono mai un valore nullo. Sono dunque soddisfatte le ipotesi per applicare il teorema di de l'Hôpital, e allora il limite nella (1) viene a coincidere con:

\lim_{h \to 0} {{f^{ \prime }(x_0+h)-f^{ \prime }(x_0)-f^{ \prime \prime }(x_0)h-\dots-f^{(n)}(x_0){{h^{n-1}}\over{(n-1)!}}}\over{ n h^{n-1}}} \qquad (2)

nel caso quest'ultimo limite esista. Nelle nostre ipotesi la funzione f^{ \prime }(x)\quad, che è definita in un intorno destro di x_0\quad, è derivabile (n-1)\quad volte in x_0\quad e quindi, ricordando che:

f^{(k)}(x_0)=\left(f^{ (k - 1) }\right)^{ \prime }(x_0) \quad \forall k, 1\leq k \leq n

per l'ipotesi d'induzione (considerando la suddetta espressione come sviluppo di g(x) = f^{ \prime }(x) troncato al termine n - 1, per il quale sappiamo che tale espressione è vera) segue che il limite nella (2)\quad è zero, ossia (data l'eguaglianza dei limiti per la regola di de l'Hôpital):

 f(x_0 + h) - f(x_0) - f^{ \prime }(x_0) h - \dots - f^{(n)}(x_0) \frac{h^n}{n!} =\operatorname o(h^n)

il che dimostra il passo induttivo e conferma la tesi, Q.E.D.

Resto di Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

Il resto nella forma di Lagrange afferma che, se la funzione è derivabile n + 1 volte in un intorno di x_0 (si richiede che sia derivabile almeno n volte in un intorno del tipo [x_0, x), più un'altra volta in (x_0, x) per qualche x) esiste ξ compreso tra x_0 e x tale che

 R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1},

Questa formula permette di interpretare il teorema di Taylor come una generalizzazione del Teorema di Lagrange.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dimostriamo la tesi per induzione, quando n=0 per il teorema del valore medio di Lagrange abbiamo proprio

 R_1(x) = f(x) - f(x_0) = f^{\prime}(\xi) (x-x_0)

per qualche x_0 e x. Supponiamo di aver dimostrato la tesi per n e proviamola per n + 1, consideriamo che

 R_{n+1}^{\prime}(f,x) = f^{\prime}(x) - \operatorname{T}^{\prime}_{n+1}(f,x) = f^{\prime}(x) - \operatorname{T}_n(f^\prime,x) = R_n(f^\prime, x)

quindi ancora per il teorema del valore medio di Lagrange applicato a  R_{n+1}(f,x) abbiamo

 R_{n+1}(f,x) = R_{n+1}(f,x) - R_{n+1}(f,x_0) =  R_n(f^\prime, \xi) (x - x_0) = \frac{f^{n+2}(\zeta)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}

per qualche \xi tra x_0 e x e qualche \zeta tra x_0 e \xi, il che completa la prova.

Resto di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Il resto nella forma di Cauchy afferma che esiste ξ compreso tra x e x0 tale che

  R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-x_0).

Questa forma si può generalizzare nel seguente modo: se G(t) è una funzione continua su [a,x] e differenziabile su (a,x) con derivata non nulla, allora esiste ξ compreso tra x e x0 tale che

 R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n\cdot\frac{G(x)-G(a)}{G^{ \prime }(\xi)},

generalizzando dunque il teorema di Cauchy.

Resto integrale[modifica | modifica wikitesto]

Il resto nella forma integrale, che al contrario dei precedenti è valido anche se f assume valori complessi, afferma che se f^{(n)} è assolutamente continua in [a,x], allora


  R_n(x) = \int_a^x {\frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, \operatorname dt}.

Questa forma mostra il teorema di Taylor come una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo.

Formula di Taylor per funzioni di due variabili[modifica | modifica wikitesto]

Per funzioni di più variabili, la scrittura completa si fa più pesante e fa uso dei multiindici:

f(\mathbf{x})=\sum_{|\alpha|=0}^n\frac{\operatorname D^\alpha f(\mathbf{a})}{\alpha!}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha+\sum_{|\alpha|=n+1}R_{\alpha}(\mathbf{x})(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha
Formula di Taylor di ordine 1

Sia f(x_0,y_0) una funzione di classe C^2 e vogliamo calcolare il polinomio di Taylor in (x_0,y_0) allora:

f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k + R(h,k)

dove h = x - x_0 e k = y - y_0 ed R(h,k) è il resto che equivale a:

R(h,k) = \frac {1}{2!} \left[f_{xx} (x_a,y_a) h^2 + 2 f_{xy}(x_a,y_a) hk + f_{yy}(x_a,y_a) k^2\right]

Vale come per le funzioni di una variabile che se le derivate seconde sono limitate da un numero M, allora l'errore equivale:

|R| \le M(h^2+k^2)
Formula di Taylor di ordine 2

Con le stesse notazioni abbiamo:

f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k +
+ \frac {1}{2!} \left[f_{xx} (x_0,y_0) h^2 + 2 f_{xy}(x_0,y_0) hk + f_{yy}(x_0,y_0) k^2\right] + R(h,k)
Formula di Taylor di ordine 3
f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k +
\frac {1}{2!} \left[f_{xx}(x_0,y_0) h^2 + 2 f_{xy}(x_0,y_0) hk + f_{yy}(x_0,y_0) k^2\right]+
+ \frac {1}{3!} \left[f_{xxx} (x_0,y_0) h^3 + 3 f_{xxy}(x_0,y_0) h^2 k + 3 f_{xyy}(x_0,y_0)h k^2 + f_{yyy} (x_0,y_0) k^3\right] + R(h,k)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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