Insieme di definizione

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In matematica, prima della formalizzazione del concetto di funzione, si poneva il problema di determinare il massimo insieme (o campo) di definizione (o di esistenza) di una funzione di variabile reale, a partire dalla sua regola di associazione x\mapsto f(x). Questo problema viene attualmente affrontato solo nelle scuola secondaria.

Composizione di funzioni[modifica | modifica wikitesto]

In matematica una funzione f\colon A\to B\colon a\mapsto f(a) è definita tramite il dominio A, il codominio B e la legge di associazione a\mapsto f(a). La composizione di due funzioni è possibile solo se il dominio di una coincide con il codominio dell'altra:

f\colon A\to B
g\colon B\to C
g\circ f\colon A\stackrel{f}{\to} B\stackrel{g}{\to} C

In generale, se f\colon A\to B e g\colon C\to D, si può determinare un insieme di definizione (anche vuoto) A'\subset A, in modo che f(A')\subset C, quindi che sia possibile definire delle restrizioni con una composizione

\tilde{g}\circ\tilde{f}\colon\begin{array}[t]{ccccc}A' &\to& B' &\to& C' \\a & \mapsto & f(a) & \mapsto & g(f(a))\end{array}

Con abuso di notazione, \tilde{f} e \tilde{g} vengono spesso indicate f e g.

Poiché l'unione di due simili insiemi di definizione è ancora un insieme di definizione, l'unione di tutti i possibili insiemi di definizione è il massimo sottoinsieme di A che può essere scelto come dominio di una funzione g\circ f.

Scuole superiori[modifica | modifica wikitesto]

Il problema, così come viene posto nelle scuole superiori, chiede di determinare il massimo sottoinsieme A\subset\mathbb{R} sul quale è possibile definire una funzione f\colon A\to\mathbb{R} con una determinata associazione a\mapsto f(a), o più precisamente l'insieme di tutti i numeri reali a\in\mathbb{R} per i quali l'espressione f(a) è ben definita.

Gli esercizi si basano sulla definizione non formale dei domini delle usuali funzioni ed operazioni binarie:

  • non si può dividere per 0
\div\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{R}\times\mathbb{R}^\ast&\to&\mathbb{R}\\(a,b)&\mapsto&a/b\end{array}
  • non si può estrarre la radice quadrata di un numero negativo
\sqrt{\bullet}\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{R}^+_0&\to&\mathbb{R}\\a&\mapsto&\sqrt{a}\end{array}
  • non si può calcolare il logaritmo di un numero non positivo
\log\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{R}^+&\to&\mathbb{R}\\a&\mapsto&\log{a}\end{array}

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

  • L'espressione f(x) = \log\frac{\sqrt{x+2}}{x-5} è priva di significato se è verificata una delle seguenti
\frac{\sqrt{x+2}}{x-5}\leqslant0
x+2<0
x-5=0

dunque il massimo dominio reale sul quale può essere definita una funzione di variabile reale f\colon A\to\mathbb{R} con questa associazione è dato dall'insieme delle soluzioni del sistema:

\begin{cases}\frac{\sqrt{x+2}}{x-5} > 0 \\ x+2 \geqslant 0 \\ x-5 \neq 0  \end{cases}

ovvero per ogni

D\subset A=]5,\infty[

è possibile definire una funzione

f\colon\begin{array}[t]{ccc}D&\to&\mathbb{R}\\x&\mapsto&\log\frac{\sqrt{x+2}}{x-5}\end{array}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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