Norma (matematica)

In algebra lineare, analisi funzionale e aree correlate della matematica, una norma è una funzione che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale, tranne lo zero, una lunghezza positiva.

Definizione

Una norma su uno spazio vettoriale reale o complesso X è una funzione:

$\begin{matrix} \| \cdot \|:& X & \longrightarrow & [0,+\infty)\\ & x & \mapsto &\| x \| \end{matrix}$

che verifica le seguenti condizioni:

• $\|x\| \ge 0 \quad \forall x \in X$ e $\| x \|=0$ se e solo se x = 0 (funzione definita positiva)
• $\| \lambda x \|=|\lambda| \| x \|$ per ogni scalare λ (omogeneità)
• $\| x+y \|\leq \| x \|+ \| y \|$ per ogni $x,y \in X$ (disuguaglianza triangolare)

La coppia $(X,\left \| \cdot \right \| )$ costituisce uno spazio normato.

Una funzione che verifichi soltanto la seconda e la terza condizione viene chiamata seminorma: la seminorma assegna la lunghezza zero anche ad un vettore diverso da zero. Una delle due implicazioni della prima condizione (in particolare $\|0\|=0$) è comunque automatica dalla seconda condizione e dalle proprietà di uno spazio vettoriale.

Esempi

Norme diverse nel piano possono essere visualizzate disegnando la sfera unitaria.

Spazi a dimensione finita

Sono norme di $\mathbb R^n$ e di $\mathbb C^n$ le $p \in \mathbb R - {0}$ funzioni

$\left \| \mathbf x \right \|_p:=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{\frac 1 p}$,

che si restringono tutte al valore assoluto per n=1, cioè per x scalare $x \in \mathbb R$.

La norma 1 è banalmente la somma dei valori assoluti dei componenti: $\left \| \mathbf x \right \|_1:=\sum_{i=1}^n |x_i|$

L'esempio più noto è invece la norma 2 (tanto che il 2 viene solitamente omesso), detta anche norma euclidea, che nello dello spazio euclideo tridimensionale fisico $\mathbb R^3$ diventa:

$\left \| \mathbf x \right \|:=\sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}$ (detta "norma euclidea")

La norma ∞ è notevolmente (impiegando la nozione di limite di una funzione) il massimo dei componenti in valore assoluto: $\left \| \mathbf x \right \|_\infty:=\max_i |x_i|$

La norma -∞ è notevolmente (impiegando la nozione di limite di una funzione) il minimo dei componenti in valore assoluto: $\left \| \mathbf x \right \|_{-\infty}:=\min_i |x_i|$

Spazi a dimensione infinita

Per ogni K sottoinsieme compatto di $\mathbb R^n$ si consideri lo spazio vettoriale delle funzioni continue a valori reali $C(K,\mathbb R)$ si definiscono allora le L^p (1<p<∞) seminorme:

$\psi \mapsto \left\| \psi \right\|_{L^p} := \left(\int_\mathbb{R}\left|\psi(x)\right|^p dx \right)^{1/p}$

Fissato A insieme arbitrario, la stessa funzione definisce una norma sullo spazio vettoriale delle funzioni limitate a valori in ${\mathbb R}$. La norma uniforme in analogia col caso di spazi a dimensione finita è: $f \mapsto \left \| f \right \|_\infty:=\sup_{x \in K} |f(x)|$ Nello spazio vettoriale delle funzioni a quadrato sommabile L² si definisce la seminorma euclidea:

$\psi \mapsto \left\| \psi \right\|_{L^2} := \left(\int_\mathbb{R}\left|\psi(x)\right|^2 dx \right)^{1/2}$

Prodotto scalare, distanza

In generale, ogni prodotto scalare definito positivo induce una norma

$\| x \| := \sqrt{\langle x, x \rangle}$.

Se una distanza definita in uno spazio vettoriale soddisfa le proprietà

d(x,y) = d(x + a,y + a) (invarianza per traslazioni)

d(αx,αy) = | α | d(x,y) (omogeneità)

allora la funzione

$\|x\|:=d(x,0)$

è una norma.

Proprietà

• La non negatività si potrebbe anche ricavare come conseguenza delle sue proprietà: infatti la proprietà di omogeneità implica che

$\| \vec 0 \| = \| 0 \cdot \vec 0 \| = 0 \| \vec 0 \| = 0$,

e quindi con la disuguaglianza triangolare si ottiene

$0 = \| \vec 0 \| = \| x - x \| \le \| x \| + \| -x \| = \| x \| + \| x \| = 2 \| x \|$ per ogni $x \in X$.

• Disuguaglianza triangolare inversa:

Per ogni $x, y \in X$,

$| \| x \| - \| y \| | \leq \| x - y \|$.

Infatti,

$\| x \| = \| x - y + y \| \leq \| x - y \| + \| y \|$,

da cui

$\| x \| - \| y \| \leq \| x - y \|$,

e analogamente

$\| y \| - \| x \| \leq \| y - x \| = \| x - y \|$.

Struttura topologica

La norma induce una metrica tramite

$d(x,y) := \|x - y\|$ ($x, y \in X$),

e quindi una topologia, definendo come intorno di $x \in X$ ogni insieme che contenga una palla

$B_r(x) := \{y \in X : \|x - y\| < r\}$ per un r > 0.

La disuguaglianza triangolare inversa implica che la funzione norma è continua rispetto alla topologia che essa stessa induce.

Norme equivalenti

Due norme $\|\cdot\|_1$ e $\|\cdot\|_2$ definite su uno stesso spazio vettoriale V sono equivalenti se esistono due costanti c e C strettamente positive tali che

$c\|x\|_1 \le \|x\|_2 \le C\|x\|_1$

per ogni elemento x di V. Due norme equivalenti definiscono la stessa struttura topologica.

Ad esempio, moltiplicando una norma per una costante fissata positiva, si ottiene una norma equivalente alla precedente.

Dimensione finita

Tutte le norme definibili su uno spazio vettoriale V di dimensione finita n sono equivalenti. In particolare, lo sono le norme p e $\infty$ descritte sopra.

Tutte le norme definibili su V inducono quindi la stessa topologia, equivalente alla topologia standard euclidea di $\R^n$.

Dimensione infinita

In dimensione infinita esistono molti esempi di norme non equivalenti. Si prendano come esempi gli spazi $C(\mathbb K), L^p(\mathbb K)$ definiti precedentemente. Allora nessuna coppia di norme è equivalente ad un'altra.

Voci correlate

• Spazio vettoriale
• Distanza
• Seminorma
• Valore assoluto
• Sfera unitaria
• Prodotto scalare
• Spazio di Banach
• Norma matriciale

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