Norma (matematica)

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In algebra lineare, analisi funzionale e aree correlate della matematica, una norma è una funzione che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale, tranne lo zero, una lunghezza positiva.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una norma su uno spazio vettoriale reale o complesso X è una funzione:

\begin{matrix} \| \cdot \|:& X & \longrightarrow & [0,+\infty)\\
 & x & \mapsto &\| x \|
\end{matrix}

che verifica le seguenti condizioni:

La coppia (X,\left \| \cdot \right \| ) costituisce uno spazio normato.

Una funzione che verifichi soltanto la seconda e la terza condizione viene chiamata seminorma: la seminorma assegna la lunghezza zero anche ad un vettore diverso da zero. Una delle due implicazioni della prima condizione (in particolare \|0\|=0) è comunque automatica dalla seconda condizione e dalle proprietà di uno spazio vettoriale. Ogni spazio vettoriale V con una seminorma p(v) induce uno spazio normato V/W, detto spazio vettoriale quoziente, in cui il sottospazio W di V è l'insieme di tutti i vettori v \in V tali che p(v)=0. La norma indotta su V/W è ben definita, ed è data da p(W + v) = p(v).

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Norme diverse nel piano possono essere visualizzate disegnando la sfera unitaria.

Spazi a dimensione finita[modifica | modifica sorgente]

Sono norme di \mathbb R^n e di \mathbb C^n le p \in [1,+\infty) funzioni:

\left \| \mathbf x  \right \|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right) ^ {\frac 1 p}

che si restringono tutte al valore assoluto per n=1, cioè per x scalare x \in \mathbb R.

La norma 1 è banalmente la somma dei valori assoluti dei componenti, solitamente indicato secondo la contrazione tensoriale con: |x|:=\sum_{i=1}^n |x_i|, indicando esplicitamente come questa generalizzi il valore assoluto al caso vettoriale.

L'esempio più noto è invece la norma 2 (tanto che il 2 viene solitamente omesso), detta anche norma euclidea, che nello spazio euclideo n-dimensionale \mathbb R^n diventa:

\left \| \mathbf x  \right \|:=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}

e viene detta norma euclidea.

La norma ∞ è notevolmente (impiegando la nozione di limite di una funzione) il massimo dei componenti in valore assoluto:

\left \| \mathbf x  \right \|_\infty:=\max_i |x_i|

La norma -∞ è notevolmente (impiegando la nozione di limite di una funzione) il minimo dei componenti in valore assoluto:

\left \| \mathbf x  \right \|_{-\infty}:=\min_i |x_i|

Spazi a dimensione infinita[modifica | modifica sorgente]

Per ogni sottoinsieme compatto K di \mathbb R^n si consideri lo spazio vettoriale C(K,\R) delle funzioni continue a valori reali. Si definiscono allora le Lp (1<p<∞) seminorme:

\psi \mapsto \left\| \psi \right\|_{L^p} := \left(\int_\mathbb{R}\left|\psi(x)\right|^p dx \right)^{1/p}

Fissato A insieme arbitrario, la stessa funzione definisce una norma sullo spazio vettoriale delle funzioni limitate a valori in {\mathbb R}.

La norma uniforme, in analogia col caso di spazi a dimensione finita, è:

f \mapsto \left \| f  \right \|_\infty:=\sup_{x \in K} |f(x)|

Nello spazio vettoriale delle funzioni quadrato sommabili L^2 si definisce la seminorma euclidea:

\psi \mapsto \left\| \psi \right\|_{L^2} := \left(\int_\mathbb{R}\left|\psi(x)\right|^2 dx \right)^{1/2}

Prodotto scalare, distanza[modifica | modifica sorgente]

In generale, ogni prodotto scalare definito positivo induce una norma:

\| x \| := \sqrt{\langle x, x \rangle}.

Se una distanza definita in uno spazio vettoriale soddisfa le proprietà:

d(x,y)=d(x+a,y+a) (invarianza per traslazioni)
d(\alpha x, \alpha y)=|\alpha| d(x,y) (omogeneità)

allora la funzione:

\|x\|:=d(x,0)

è una norma.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • La non negatività si potrebbe anche ricavare come conseguenza delle sue proprietà: infatti la proprietà di omogeneità implica che:
\| \vec 0 \| = \| 0 \cdot \vec 0 \| = 0 \| \vec 0 \| = 0
e quindi con la disuguaglianza triangolare si ottiene:
0 = \| \vec 0 \| = \| x - x \| \le \| x \| + \| -x \| = \| x \| + \| x \| = 2 \| x \|
per ogni x \in X.
  • Disuguaglianza triangolare inversa:
Per ogni x, y \in X:
| \| x \| - \| y \| | \leq \| x - y \|
Infatti:
\| x \| = \| x - y + y \| \leq \| x - y \| + \| y  \|
da cui :
\| x \| - \| y \| \leq \| x - y \|
e analogamente:
 \| y \| - \| x \| \leq \| y - x \| = \| x - y \|

Struttura topologica[modifica | modifica sorgente]

La norma induce una metrica tramite:

d(x,y) := \|x - y\| (x, y \in X)

e quindi una topologia, definendo come intorno di x \in X ogni insieme che contenga una palla:

B_r(x) := \{y \in X : \|x - y\| < r\} per un r > 0

La disuguaglianza triangolare inversa implica che la funzione norma è continua rispetto alla topologia che essa stessa induce.

Norme equivalenti[modifica | modifica sorgente]

Due norme \|\cdot\|_1 e \|\cdot\|_2 definite su uno stesso spazio vettoriale V sono equivalenti se esistono due costanti  c e  C strettamente positive tali che:

c\|x\|_1 \le \|x\|_2 \le C\|x\|_1

per ogni elemento x di V. Due norme equivalenti definiscono la stessa struttura topologica.

Ad esempio, moltiplicando una norma per una costante fissata positiva, si ottiene una norma equivalente alla precedente.

Dimensione finita[modifica | modifica sorgente]

Tutte le norme definibili su uno spazio vettoriale V di dimensione finita n sono equivalenti. In particolare, lo sono le norme p e \infty descritte sopra.

Tutte le norme definibili su V inducono quindi la stessa topologia, equivalente alla topologia standard euclidea di \R^n.

Dimensione infinita[modifica | modifica sorgente]

In dimensione infinita esistono molti esempi di norme non equivalenti. Si prendano come esempi gli spazi C(\mathbb K), L^p(\mathbb K) definiti precedentemente. Allora nessuna coppia di norme è equivalente ad un'altra.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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