Spazio affine

Lo spazio affine è una struttura matematica strettamente collegata a quella di spazio vettoriale. Intuitivamente, uno spazio affine si ottiene da uno spazio vettoriale facendo in modo che tra i suoi punti non ve ne sia uno, l'origine, "centrale" e "privilegiato" rispetto agli altri.

Lo spazio affine tridimensionale è lo strumento naturale per modellizzare lo spazio della fisica classica, le cui leggi sono infatti indipendenti dalla scelta di un sistema di riferimento. Come gli spazi vettoriali, gli spazi affini vengono studiati con gli strumenti dell'algebra lineare.

Definizione

La nozione di spazio affine può essere definita in molti modi equivalenti. Una possibile definizione è la seguente.

Uno spazio affine $A$ è un insieme di elementi chiamati punti affini (o semplicemente punti) dotato di una funzione

$\phi: A \times A \to V\,\!$

a valori in uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ che soddisfi i requisiti seguenti:

1. per ogni punto $P$ fissato, la mappa che associa a $Q$ il vettore $\phi(P,Q)$ è una biiezione da $A$ in $V$;
2. per ogni terna di punti $P$, $Q$, $R$ vale la relazione

   $\phi(P,Q) + \phi(Q,R) = \phi(P,R).\,\!$

L'immagine $\phi(P,Q)$ è chiamata vettore applicato da $P$ in $Q$ ed è indicata generalmente con il simbolo seguente

$\overrightarrow {PQ}$

o, più brevemente, con $Q-P$.

Definizione alternativa

La definizione seguente è equivalente alla precedente.

Uno spazio affine $A$ è un insieme dotato di una funzione

$f:A\times V \to A\,\!$

dove $V$ è uno spazio vettoriale su un campo $K$, generalmente indicata con il segno + nel modo seguente

$f(P,v) = P + v \,\!$

tale che

1. per ogni punto $P$ fissato, la mappa che associa al vettore $v$ il punto $P+v$ è una biiezione da $V$ in $A$;
2. per ogni punto $P$ in $A$ e ogni coppia di vettori $v, w$ in $V$ vale la relazione

   $(P+v)+w = P+(v+w).\,\!$

Le due definizioni sono collegate dalla relazione

$P + \overrightarrow {PQ} = Q.$

Due elementi di questa relazione determinano il terzo. Ad esempio, $Q$ è il punto raggiunto applicando il vettore $\overrightarrow {PQ}$ a $P$, mentre $\overrightarrow{PQ}$ è l'unico vettore che "collega" i due punti $P$e $Q$.

Esempi

Spazio vettoriale

Per approfondire, vedi la voce Spazio vettoriale.

Ogni spazio vettoriale $V$ è uno spazio affine, avente come spazio vettoriale associato $V$ stesso. La mappa $\phi$ è definita come

$\phi(v,w) = w-v\,\!$

mentre la funzione $f$ è la semplice somma fra vettori in $V$.

Riferimento affine

Come per gli spazi vettoriali dove è possibile avere una base dello spazio, in uno spazio affine $\mathbb{A}$ si può considerare un riferimento affine, ovvero un insieme di punti $a_0, \dots, a_k$ dello spazio affinemente indipendenti tali che la loro combinazione affine generi tutto lo spazio, ovvero $<a_0, \dots, a_k> = \mathbb{A}$.

Sottospazi affini

Per approfondire, vedi la voce Sottospazio affine.

Definizione

Un sottospazio affine $S$ di $A$ è un sottoinsieme del tipo

$S = P + W = \{P + w \ |\ w \in W\}$

dove $P$ è un punto fissato, che risulta appartenere al sottospazio.

Giacitura

Lo stesso sottospazio può essere definito in varie forme diverse come $S=P+W$. In tutte queste rappresentazioni, $P$ può variare (può essere un punto qualsiasi di $S$, a conferma che in geometria affine non ci sono "punti privilegiati"), ma $W$ risulta essere sempre lo stesso: questo sottospazio di $V$ è chiamato giacitura di $S$. La giacitura è definita intrinsecamente come

$W = \{\overrightarrow {PQ}\ |\ P,Q\in S \}.$

La dimensione di $S$ è definita come la dimensione di $W$.

Sottospazio generato

Il sottospazio affine generato da alcuni punti $x_1, \ldots, x_k$ in $A$ è il più piccolo sottospazio che li contiene.

Sottospazi affini in spazi vettoriali

Per quanto detto sopra, uno spazio vettoriale $V$ è anche affine, e quindi abbiamo definito anche la nozione di sottospazio affine di $V$: in questo caso, un sottospazio affine è il risultato di una traslazione di un sottospazio vettoriale $W$ lungo il vettore $P$.

Relazioni

Due sottospazi affini sono detti:

• incidenti quando hanno intersezione non vuota,
• paralleli quando una delle due giaciture è contenuta nell'altra,
• sghembi quando l'intersezione è vuota e le due giaciture si intersecano solo nell'origine,
• esiste un altro caso che si presenta solo in spazi affini di dimensione 4 o superiore, ovvero quando i due sottospazi hanno intersezione vuota, nessuna delle due giaciture è contenuta nell'altra ma queste si intersecano in un sottospazio più grande dell'origine.

Per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann: questo è il prezzo da pagare per aver liberato i sottospazi dalla costrizione di passare per un punto privilegiato. La geometria proiettiva risolve questo problema (cioè recupera la formula di Grasmann) aggiungendo allo spazio dei "punti all'infinito".

Voci correlate

• Geometria affine
• Sottospazi affini
• Trasformazione affine

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