Matrice quadrata

In algebra una matrice è quadrata se ha un numero uguale di righe e colonne, detto ordine della matrice. Viene altrimenti detta "matrice $n \times n$".

Si tratta del tipo più comune e più importante di matrice, l'unico su cui sono definiti concetti come determinante, traccia, autovalore.

Le matrici quadrate sono utili a modellizzare le trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale (più precisamente, i suoi endomorfismi), le forme bilineari ed i prodotti scalari.

Algebra di matrici

Anello

L'insieme di tutte le matrici quadrate a valori in un campo $K$ fissato (ad esempio, i numeri reali o complessi) costituisce, rispetto alle operazioni di somma e di prodotto fra matrici, un anello. Eccetto il caso $n=1$, tale anello non è commutativo. Viene indicato generalmente con $M(n,K)$.

L'elemento neutro per la somma è la matrice nulla, avente zeri ovunque. L'elemento neutro per la moltiplicazione è la matrice identità $I_n$, contenente elementi pari a 1 nella diagonale principale e elementi nulli altrove. Per esempio, se $n=3$:

$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Spazio vettoriale

Considerato anche con l'operazione di moltiplicazione per scalare, l'insieme $M(n,K)$ è anche uno spazio vettoriale su $K$, di dimensione $n^2$.

Le due strutture di anello e spazio vettoriale formano insieme una struttura di algebra su campo.

Elementi invertibili

Gli elementi invertibili nell'anello si dicono matrici invertibili. Una matrice quadrata $A$ è invertibile se e solo se esiste una matrice quadrata $B$ tale che:

$AB = I_n = BA$

In tal caso, $B$ è la matrice inversa di $A$, ed è indicata con $A^{-1}$.

L'insieme di tutte le matrici invertibili di tipo $n\times n$, dotato dell'operazione di moltiplicazione, è un gruppo, chiamato gruppo generale lineare: si tratta di un particolare gruppo di Lie.

Autovettori e autovalori

Per approfondire, vedi autovettore e autovalore e diagonalizzabilità.

Se $\lambda$ è un numero in $K$ e $v$ è un vettore non nullo in $K^n$ tali che

$Av=\lambda v$

si dice che $v$ è un autovettore di $A$ e $\lambda$ è l'autovalore ad esso associato. Lo studio degli autovalori e autovettori è di fondamentale importanza in algebra lineare, e porta al concetto di diagonalizzabilità. Gli autovalori di una matrice sono le radici del suo polinomio caratteristico, definito come

$p(\lambda) = \det (A-\lambda I)$

Determinante e traccia

Il determinante di una matrice quadrata è una quantità importante che può essere definita in numerosi modi diversi, tutti equivalenti fra di loro. I determinanti caratterizzano l'invertibilità di una matrice quadrata: una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo.

La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi della sua diagonale principale.

Il polinomio caratteristico, oltre ad essere uno strumento utile per il calcolo degli autovalori, è anche un oggetto che ha fra i suoi coefficienti il determinante, la traccia ed altri valori numerici simili.

Quando una matrice è diagonalizzabile, determinante e traccia sono rispettivamente il prodotto e la somma degli autovalori della matrice.

La funzione esponenziale di matrice è definita per matrici quadrate attraverso una serie di potenze.

Voci correlate

• Matrice
• Determinante
• Sistema lineare

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