Matrice quadrata

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In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice è detta quadrata se ha un numero uguale di righe e colonne, detto ordine della matrice. Viene altrimenti detta "matrice  n \times n ".

Si tratta del tipo più comune e più importante di matrice, l'unico su cui sono definiti concetti come determinante, traccia, autovalore.

Le matrici quadrate sono utili a modellizzare le trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale in se stesso (più precisamente, i suoi endomorfismi), le forme bilineari ed i prodotti scalari.

Algebra di matrici[modifica | modifica sorgente]

Anello[modifica | modifica sorgente]

L'insieme di tutte le matrici quadrate a valori in un campo  K fissato (ad esempio, i numeri reali o complessi) costituisce, rispetto alle operazioni di somma e di prodotto fra matrici, un anello. Eccetto il caso  n=1 , tale anello non è commutativo. Viene indicato generalmente con  M(n,K) .

L'elemento neutro per la somma è la matrice nulla, avente zeri ovunque. L'elemento neutro per la moltiplicazione è la matrice identità  I_n , contenente elementi pari a 1 nella diagonale principale e elementi nulli altrove. Per esempio, se  n=3 :


  I_3 =
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}

Spazio vettoriale[modifica | modifica sorgente]

Considerato anche con l'operazione di moltiplicazione per scalare, l'insieme M(n,K) è anche uno spazio vettoriale su  K , di dimensione  n^2 .

Le due strutture di anello e spazio vettoriale formano insieme una struttura di algebra su campo.

Elementi invertibili[modifica | modifica sorgente]

Gli elementi invertibili nell'anello si dicono matrici invertibili. Una matrice quadrata  A è invertibile se e solo se esiste una matrice quadrata  B tale che:

AB = I_n = BA

In tal caso,  B è la matrice inversa di A, ed è indicata con A^{-1} .

L'insieme di tutte le matrici invertibili di tipo  n\times n , dotato dell'operazione di moltiplicazione, è un gruppo, chiamato gruppo generale lineare: si tratta di un particolare gruppo di Lie.

Autovettori e autovalori[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi autovettore e autovalore e diagonalizzabilità.

Se \lambda è un numero in K e v è un vettore non nullo in K^n tali che

 Av=\lambda v

si dice che  v è un autovettore di  A e \lambda è l'autovalore ad esso associato. Lo studio degli autovalori e autovettori è di fondamentale importanza in algebra lineare, e porta al concetto di diagonalizzabilità. Gli autovalori di una matrice sono le radici del suo polinomio caratteristico, definito come

 p(\lambda) = \det (A-\lambda I)

Determinante e traccia[modifica | modifica sorgente]

Il determinante di una matrice quadrata è una quantità importante che può essere definita in numerosi modi diversi, tutti equivalenti fra di loro. I determinanti caratterizzano l'invertibilità di una matrice quadrata: una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo.

La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi della sua diagonale principale.

Il polinomio caratteristico, oltre ad essere uno strumento utile per il calcolo degli autovalori, è anche un oggetto che ha fra i suoi coefficienti il determinante, la traccia ed altri valori numerici simili.

Quando una matrice è diagonalizzabile, determinante e traccia sono rispettivamente il prodotto e la somma degli autovalori della matrice.

La funzione esponenziale di matrice è definita per matrici quadrate attraverso una serie di potenze.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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