Gruppo generale lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il gruppo generale lineare è il gruppo di tutte le matrici invertibili n × n a valori in un campo K. Viene indicato con GL(n, K).

Il gruppo speciale lineare è il sottogruppo delle matrici aventi determinante uguale a +1. Viene indicato con SL(n, K).

Definizione e proprietà basilari

L'insieme GL(n, K) forma un gruppo con l'operazione di moltiplicazione fra matrici. Questo è anche l'insieme di tutte le matrici aventi determinante diverso da zero. Per il teorema di Binet, la funzione

$GL(n,K)\to K^*;\qquad A \mapsto \det (A)$

che associa ad una matrice A in GL(n, K) il suo determinante, è un omomorfismo da GL(n, K) in K^*, cioè K meno lo zero (che forma un gruppo con l'operazione prodotto).

Il sottogruppo normale SL(n,K) è il nucleo di questo omomorfismo. In altre parole, è il sottogruppo delle matrici con determinante +1.

Spazi vettoriali

Il gruppo generale lineare GL(V) di uno spazio vettoriale V sopra il campo K è definito come il gruppo di tutti gli automorfismi dello spazio, cioè delle trasformazioni lineari invertibili di V in sé. Se lo spazio ha dimensione n finita, allora GL(V) è isomorfo a GL(n,K). L'isomorfismo non è canonico, perché dipende dalla scelta della base di V: se rappresentiamo l'automorfismo T come

$Te_k = \sum_{j=1}^n a_{jk} e_j\quad \forall k=1,...n$

dove $(e_1,...,e_n)$ è una data base, allora la matrice corrispondente a T è proprio la matrice con entrate $(a_{jk})_{jk}$, cioè la sua matrice associata.

Caso reale

Algebra

• I gruppi GL(n, R) e SL(n, R) non sono mai commutativi per n > 1.
• Le matrici diagonali formano un sottogruppo di GL(n, R).

Topologia

Il gruppo GL(n, R) è anche una varietà differenziabile, e assieme alla struttura di gruppo forma un gruppo di Lie. Non è compatto né connesso, perché il determinante è una funzione continua e suriettiva a valori in R meno lo zero, che non è compatto né connesso. Esso ha due componenti connesse, una delle quali contiene SL(n, R).

È però omotopicamente equivalente al gruppo ortogonale O(n), che è un gruppo di Lie compatto.

Il sottogruppo SL(n, R) è connesso ma non compatto, ma è omotopicamente equivalente al gruppo ortogonale speciale SO(n), che è un gruppo di Lie connesso e compatto.

Voci correlate

• Matrice invertibile
• Gruppo ortogonale

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