Gruppo ortogonale

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In matematica, il gruppo ortogonale di grado n su un campo K è il gruppo delle matrici ortogonali n × n a valori in K. Si indica con O(n,K).

Quando K è il campo dei numeri reali, il gruppo può essere interpretato come il gruppo delle isometrie dello spazio euclideo di dimensione n. Le matrici aventi determinante uguale a +1 formano un sottogruppo, che si indica con SO(n), detto gruppo ortogonale speciale. Il gruppo ortogonale speciale è il gruppo delle rotazioni dello spazio.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo ortogonale è un sottogruppo del gruppo generale lineare GL(n, K) di tutte le matrici invertibili, definito come segue:

\{ Q \in GL(n,K)\ |\ Q^T Q = Q Q^T = I\ \}.

In altre parole, è il sottogruppo formato da tutte le matrici ortogonali.

Quando il campo K non è menzionato, si sottointende che K è il campo dei numeri reali R. In questa voce, parleremo soltanto del caso K = R.

Proprietà basilari[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice ortogonale ha determinante +1 oppure − 1. Il sottoinsieme di O(n) formato da tutte le sottomatrici con determinante +1 è a sua volta un sottogruppo, detto gruppo ortogonale speciale. Viene indicato con SO(n). Gli elementi di questo gruppo sono rotazioni.

Il gruppo O(n) è il gruppo delle isometrie della sfera di dimensione n − 1. Il sottogruppo SO(n) è dato da tutte le isometrie che preservano l'orientazione della sfera.

Topologia[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo O(n) è una varietà differenziabile, e assieme alla sua struttura di gruppo forma un gruppo di Lie compatto. Non è connesso: ha infatti due componenti connesse, una delle quali è SO(n).

Dimensioni basse[modifica | modifica wikitesto]

  • Per n = 1, il gruppo O(1) consta di due elementi, 1 e − 1.
  • Per n = 2, il gruppo SO(2) è isomorfo al gruppo quoziente R/Z dove R sono i numeri reali e Z il sottogruppo dei numeri interi. Questo gruppo è solitamente indicato con S 1 , e topologicamente è una circonferenza.
  • Per n = 3, il gruppo SO(3) è omeomorfo allo spazio proiettivo reale di dimensione 3, che si indica solitamente come P3(R).

Gruppo fondamentale[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo fondamentale di SO(2) è Z, il gruppo dei numeri interi. Per ogni n > 2 il gruppo fondamentale di SO(n) è invece Z/2Z, il gruppo ciclico con due elementi. Ha quindi un rivestimento universale compatto, che viene indicato con Spin(n), e che risulta anch'esso essere un gruppo di Lie. Il gruppo Spin(n) è chiamato gruppo Spin.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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