Gruppo ortogonale

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In matematica, il gruppo ortogonale di grado n su un campo K è il gruppo delle matrici ortogonali n × n a valori in K. Si indica con O(n,K).

Quando K è il campo dei numeri reali, il gruppo può essere interpretato come il gruppo delle isometrie dello spazio euclideo di dimensione n. Le matrici aventi determinante positivo formano un sottogruppo, che si indica con SO(n), detto gruppo ortogonale speciale. Il gruppo ortogonale speciale è il gruppo delle rotazioni dello spazio.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo ortogonale è un sottogruppo del gruppo generale lineare GL(n, K) di tutte le matrici invertibili, definito come segue:

\{ Q \in GL(n,K)\ |\ Q^T Q = Q Q^T = I\ \}.

In altre parole, è il sottogruppo formato da tutte le matrici ortogonali.

Quando il campo K non è menzionato, si sottointende che K è il campo dei numeri reali R. In questa voce, parleremo soltanto del caso K = R.

Proprietà basilari[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice ortogonale ha determinante +1 oppure − 1. Il sottoinsieme di O(n) formato da tutte le sottomatrici con determinante +1 è a sua volta un sottogruppo, detto gruppo ortogonale speciale. Viene indicato con SO(n). Gli elementi di questo gruppo sono rotazioni.

Il gruppo O(n) è il gruppo delle isometrie della sfera di dimensione n − 1. Il sottogruppo SO(n) è dato da tutte le isometrie che preservano l'orientazione della sfera.

Topologia[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo O(n) è una varietà differenziabile, e assieme alla sua struttura di gruppo forma un gruppo di Lie compatto. Non è connesso: ha infatti due componenti connesse, una delle quali è SO(n).

Dimensioni basse[modifica | modifica wikitesto]

  • Per n = 1, il gruppo O(1) consta di due elementi, 1 e − 1.
  • Per n = 2, il gruppo SO(2) è isomorfo al gruppo quoziente R/Z dove R sono i numeri reali e Z il sottogruppo dei numeri interi. Questo gruppo è solitamente indicato con S 1 , e topologicamente è una circonferenza.
  • Per n = 3, il gruppo SO(3) è omeomorfo allo spazio proiettivo reale di dimensione 3, che si indica solitamente come P3(R).

Gruppo fondamentale[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo fondamentale di SO(2) è Z, il gruppo dei numeri interi. Per ogni n > 2 il gruppo fondamentale di SO(n) è invece Z/2Z, il gruppo ciclico con due elementi. Ha quindi un rivestimento universale compatto, che viene indicato con Spin(n), e che risulta anch'esso essere un gruppo di Lie. Il gruppo Spin(n) è chiamato gruppo Spin.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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