Gruppo ciclico

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In matematica, più precisamente nella teoria dei gruppi, un gruppo ciclico è un gruppo che può essere generato da un unico elemento.

Un tale gruppo è isomorfo al gruppo \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} delle classi di resto modulo n, oppure al gruppo \mathbb{Z} dei numeri interi. Quindi i gruppi ciclici sono fra i più semplici, e sono completamente classificati.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un gruppo G è ciclico se esiste un elemento g del gruppo (detto generatore) tale che G è l'insieme delle potenze di g ad esponente intero, in simboli

G = \{ g^n : n \in \mathbb{Z}\}.

Stiamo qui usando la notazione moltiplicativa. Quando si usa la notazione additiva, invece che di potenze si parla di multipli, dunque in simboli

G = \{ ng : n \in \mathbb{Z}\}.

Ad esempio, se

G = \{e, g^1, g^2, g^3, g^4, g^5\},

allora G è ciclico.

In altre parole, G coincide con il sottogruppo \left\langle g\right\rangle generato da g. Si usa quindi scrivere G = \left\langle g\right\rangle oppure G = [g].

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Classi di resto[modifica | modifica wikitesto]

L'esempio seguente, fornito dalla aritmetica modulare, è fondamentale.

Poiché n\mathbb{Z} è un sottogruppo normale di \mathbb{Z} di indice n, il gruppo quoziente \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} è un gruppo commutativo finito con n elementi, che possiamo scrivere \{0,1,2,\dots,n-1\}. La somma fra due elementi a e b è il resto della divisione di a+b per n. Poiché ogni elemento si scrive come n=1+\dots+1 (sommato n volte), il numero 1 è generatore del gruppo. Quindi \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} è un gruppo ciclico.

Quando non si crea confusione con i numeri p-adici, si usa la notazione più stringata \mathbb{Z}_n invece di \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.

Altri esempi[modifica | modifica wikitesto]

Proprietà dei gruppi ciclici[modifica | modifica wikitesto]

Gruppo abeliano[modifica | modifica wikitesto]

Un gruppo ciclico è abeliano.

Classificazione[modifica | modifica wikitesto]

Un gruppo ciclico G con n elementi è isomorfo al gruppo \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} delle classi di resto modulo n se n è finito, ed isomorfo al gruppo \mathbb{Z} dei numeri interi se n è infinito.

L'isomorfismo può essere costruito nel modo seguente. La funzione \mathbb{Z} \to G che manda l'intero i nella potenza g^i del generatore g di G è un omomorfismo di gruppi suriettivo. Se G è infinito, la funzione è anche iniettiva, dunque un isomorfismo. Se invece G è finito, di ordine n, il nucleo della funzione è n\mathbb{Z} ed il primo teorema d'isomorfismo fornisce un isomorfismo \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to G.

Ordine[modifica | modifica wikitesto]

Per quanto scritto sopra, un gruppo ciclico è identificato, a meno di isomorfismo, dal suo ordine n.

Sia G un gruppo ciclico finito, con generatore a. In questo caso, l'ordine è il più piccolo intero n tale che a^n=e. Più in generale, a^m=e se e solo se m è un multiplo di n.

Per ogni altro elemento b del gruppo, vale comunque la relazione b^n=e.

Generatori[modifica | modifica wikitesto]

L'elemento m è generatore di \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} se e solo se m è coprimo con n. Quindi ci sono \varphi(n) generatori distinti in un gruppo ciclico con n elementi, dove \varphi è la funzione φ di Eulero.

Sottogruppi[modifica | modifica wikitesto]

Ogni sottogruppo ed ogni gruppo quoziente di un gruppo ciclico è ciclico.

Se G è ciclico di ordine n ed m divide n allora esiste un solo sottogruppo ciclico di ordine m.

Prodotti di gruppi ciclici[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine p e q ha ordine pq ed è ciclico se e solo se p e q sono coprimi.

D'altra parte, il teorema fondamentale per i gruppi abeliani finitamente generati asserisce che ogni gruppo abeliano finitamente generato è prodotto di gruppi ciclici.

Gruppi con p elementi[modifica | modifica wikitesto]

Se p è un numero primo, ogni gruppo G con p elementi è isomorfo a \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}. In altre parole, ogni gruppo con p elementi è isomorfo ad un gruppo ciclico.

Un tale gruppo possiede solo i due sottogruppi banali \{e\} e G stesso.

Struttura di anello di Z/n Z[modifica | modifica wikitesto]

Anello[modifica | modifica wikitesto]

Il sottogruppo n\mathbb{Z} è anche un ideale nell'anello commutativo \mathbb{Z}, e quindi \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} eredita anche una struttura di anello commutativo. In altre parole, si può fare il prodotto fra due numeri: il prodotto fra a e b è il resto della divisione di ab per n.

Se n è primo, l'anello \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} è in verità un campo. Se n non è primo, abbiamo n=ab per qualche a,b<n. Questa relazione nel gruppo diventa ab=0: quindi l'anello non è un dominio di integrità, e quindi a maggior ragione non può essere un campo.

Gruppo delle unità[modifica | modifica wikitesto]

Le unità dell'anello \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} sono i numeri primi con n, ovvero i generatori del gruppo. Formano un gruppo con la moltiplicazione, di \varphi(n) elementi (vedi sopra), indicato generalmente come \mathbb{Z}_n^*.

Ad esempio, i gruppi \mathbb{Z}_6^*=\{1,5\} e \mathbb{Z}_8^*=\{1,3,5,7\} sono isomorfi rispettivamente a \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} e \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.

In generale, \mathbb{Z}_n^* è ciclico se e solo se n è 2, 4, p^k o 2p^k dove p è un primo dispari e k\geq 1.

In particolare, il gruppo \mathbb{Z}_p^* è ciclico con p-1 elementi per ogni primo p. Più in generale, ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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