Gruppo ordinato

In algebra, un gruppo ordinato è un gruppo G dotato di una struttura d'ordine addizionale che preserva l'operazione di gruppo: se $\leq$ è un ordine su G allora per ogni a,b,c in G deve valere che

$a\leq b$ implica $ac \leq bc$ e $ca \leq cb$

Si dice anche che $\leq$ è invariante per traslazioni (la motivazione del nome è più evidente per gruppi additivi).

Grazie alle proprietà di un gruppo possiamo enunciare la caratterizzazione

$a\leq b$ se e solo se $e\leq a^{-1}b$

dove e è l'elemento neutro del gruppo. L'insieme degli elementi maggiori o uguali di e si denota con $G^+$ e si dice il cono positivo di G.

$G^+$ definisce completamente l'ordine: infatti un gruppo è un gruppo ordinato se e solo se esiste un suo sottoinsieme H (che sarà proprio $G^+$) tale che:

• $e\in H$
• se $a,b\in H$ allora $ab \in H$
• se $a \in H$ allora $b^{-1}ab\in H$ per ogni b (la proprietà precedente e questa implicano che H è un sottogruppo normale di G)
• se $a,a^{-1}\in H$ allora $a=e$

Un omomorfismo tra gruppi ordinati (o O-omomorfismo) è definito come un omomorfismo di gruppi che sia anche una funzione monotona.

Esempi

• Uno spazio vettoriale ordinato e un campo ordinato sono banalmente gruppi ordinati.
• Il prodotto diretto di n copie del gruppo additivo dei numeri interi $\Z^n$ con l'ordinamento "termine a termine" $a_i\leq b_i$ per ogni i=1,...,n è un gruppo ordinato.
• L'insieme delle funzioni da un qualsiasi insieme ad un gruppo ordinato è un gruppo ordinato, con le operazioni definite puntualmente.

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