Moltiplicazione

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3 × 4 = 12, quindi dodici punti possono essere organizzati in tre righe di quattro punti (o in quattro colonne di tre)

La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato prodotto, mentre i due numeri moltiplicati sono detti fattori se considerati insieme, e rispettivamente moltiplicando e moltiplicatore se presi individualmente.

Notazione[modifica | modifica sorgente]

Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano "cinque volte due" ed entrambe si leggono cinque per due:

\begin{matrix}
5 \times 2\\
5 \cdot 2
\end{matrix}

Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, è possibile anche semplicemente giustapporli, come in:

\,2 z
\,2 (z + 2)

anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c'è rischio di equivoco si può omettere il per, come nella prima (due zeta), altrimenti verrà detto, come nella seconda (due per, aperta parentesi, zeta più due, chiusa parentesi o due per, tra parentesi, zeta più due) o infine due che moltiplica zeta più due.

Nei linguaggi di programmazione e nelle calcolatrici, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l'asterisco (*), grazie ad una consuetudine nata dal linguaggio di programmazione FORTRAN[senza fonte].

Definizione per numeri naturali[modifica | modifica sorgente]

La definizione del prodotto di due numeri interi positivi n e m non è altro che:

m\times n := \underbrace{n+n+\dots +n}_{m \text{ volte}}

ovvero "m volte n".

Usando una formula più ristretta, con il simbolo di sommatoria:

m\times n := \sum_{k=1}^m n

Quindi per esempio

  • 5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
  • 2 × 5 = 5 + 5 = 10
  • 4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
  • 6 × m = m + m + m + m + m + m

Proprietà algebriche[modifica | modifica sorgente]

A partire dalla definizione, si può dimostrare che la moltiplicazione ha le seguenti proprietà:

Proprietà commutativa
Non ha importanza l'ordine con cui vengono moltiplicati due numeri. Infatti, per ogni coppia di numeri x e y,
x\cdot y = y\cdot x
È importante sottolineare che questa proprietà vale solo per i numeri (interi, razionali, reali, complessi), ma non vale sempre, ad esempio non vale quando si moltiplicano tra loro matrici e quaternioni.
Proprietà associativa
Per ogni terna di numeri x, y e z,
(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)
cioè non è importanza l'ordine con cui vengono eseguite le operazioni se queste coinvolgono solo le moltiplicazioni.
Proprietà distributiva rispetto all'addizione
Si può "distribuire" la moltiplicazione ai vari addendi di una somma:
x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z
Elemento neutro
Ogni numero moltiplicato per 1 è pari a se stesso:
x\cdot 1 = x
1\cdot x = x
Il numero 1 è detto anche elemento neutro per la moltiplicazione.
Elemento zero
La moltiplicazione di qualsiasi numero per zero ha zero come risultato:
x\cdot 0 = 0
per un qualunque x (finito).
Questa definizione è coerente con la proprietà distributiva, infatti:
x \cdot y = x \cdot (y + 0) = (x \cdot y) + (x \cdot 0)
Esistenza dell'inverso
Qualsiasi numero x, ad eccezione dello zero, ha un inverso rispetto alla moltiplicazione, \frac{1}{x}, cioè un numero definito in modo tale che:
x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) = 1

La moltiplicazione con gli assiomi di Peano[modifica | modifica sorgente]

Nel libro Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano propose un nuovo sistema assiomatico per la moltiplicazione, basato sugli assiomi per i numeri naturali:

a\times 1=a
a\times b'=(a\times b)+a

Qui b' rappresenta l'elemento dei numeri naturali successivo di b. Con gli altri nove assiomi di Peano, è possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprietà distributiva e associativa. Questa nuova assiomatizzazione permette anche di costruire una possibile definizione ricorsiva della moltiplicazione.

Numeri negativi e regola dei segni[modifica | modifica sorgente]

Estendiamo l'operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale

 (-1)\cdot x = -x

dove con − x si intende l'inverso additivo di x :

 x + (-1)\cdot x = 0

Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di -1.

Lo schema che ne deriva è detto regola dei segni:

  • Il prodotto di due numeri positivi è un numero positivo:
+\cdot\ + =\ +
ovvero "più per più fa più".
  • Il prodotto di un numero negativo per un numero positivo, o viceversa, è un numero negativo:
+\cdot\ - =\ -
-\cdot\ + =\ -
ovvero "più per meno fa meno".
  • Il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo:
-\cdot\ - =\ +
ovvero "meno per meno fa più".

Quest'ultima regola pratica ha un'interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare m euro l'anno; tra n anni avremo mn euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora n anni fa (cioè "tra meno n anni") avevamo mn euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo m euro l'anno (cioè guadagnassimo "meno m euro"), tra n anni ne avremo mn in meno, ma n anni fa ne avevamo mn in più di quanti ne abbiamo ora!

Numeri razionali, reali e complessi[modifica | modifica sorgente]

La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.

Per i numeri razionali abbiamo che

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}

Per i numeri reali, una definizione di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come sezione di Dedekind: dati due numeri reali, rappresentati come sezioni in campo razionale, moltiplicando (con opportuni accorgimenti) i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro si ottiene ancora una sezione, che rappresenta il prodotto dei due numeri.

Per i numeri complessi, infine, si ha:

( a + ib ) \cdot ( c + id ) = [ (ac - bd) + i(bc + ad) ].

Una definizione ricorsiva della moltiplicazione può essere data dalle regole:

x · 0 = 0
x · y = x + x·(y − 1)

dove x è un numero reale, e y un numero naturale. Una volta data una definizione per i naturale, è facile estenderla agli interi, ai reali e infine ai numeri complessi.

Computazione[modifica | modifica sorgente]

  • Metodi manuali:
    • per moltiplicare due numeri con carta e penna, l'approccio più comune fa uso della tavola pitagorica, e di un algoritmo che ottiene il prodotto finale come somma di tanti prodotti di moltiplicazioni più semplici. Il tempo impiegato con questo metodo cresce con l'aumentare delle cifre dei numeri da moltiplicare; se si vuole risparmiare tempo, ed è sufficiente un risultato approssimato, si possono usare l'algoritmo di prostaferesi, o meglio ancora quello dei logaritmi.
    • il supporto strumentale più antico è l'abaco che permette di ottenere risultati esatti. Risale al XV secolo il regolo calcolatore che da risultati approssimati (ma è molto più rapido). Nel XX secolo, più per sfizio accademico che per reale necessità pratica, è stato progettato un regolo prostaferico
    • nel 1962 il matematico russo Anatoly Karatsuba definisce il primo algoritmo per la moltiplicazione con complessità meno che quadratica; nel 1963 un altro russo, Andrei Toom, pone le basi per l'algoritmo di Toom-Cook, con complessità ancora inferiore.
  • Metodi elettronici:
    • Le moderne calcolatrici tascabili racchiudono la logica degli algoritmi in un microchip.
    • Una panoramica dei modi per implementare informaticamente la moltiplicazione è disponibile su questa pagina.

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