Moltiplicazione

3 × 4 = 12, quindi dodici punti possono essere organizzati in tre righe di quattro punti (o in quattro colonne di tre)

La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato prodotto, mentre i due numeri moltiplicati sono detti fattori se considerati insieme, e rispettivamente moltiplicando e moltiplicatore se presi individualmente.

Notazione

Per approfondire, vedi la voce Produttoria.

Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano "cinque volte due" ed entrambe si leggono "cinque per due":

$5 \times 2$

$5 \cdot 2$ .

Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, è possibile anche semplicemente giustapporli, come in:

2β

2(β + 2) ;

anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c'è rischio di equivoco si può omettere il "per", come nella prima ("due beta"), altrimenti verrà detto, come nella seconda ("due per, aperta parentesi, beta più due, chiusa parentesi" o "due per, tra parentesi, beta più due") o infine "due che moltiplica beta più due".

Nei linguaggi di programmazione e nelle calcolatrici, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l'asterisco ("*"), grazie ad una consuetudine nata dal linguaggio di programmazione FORTRAN.

Definizione per numeri naturali

La definizione del prodotto di due numeri interi positivi n e m non è altro che:

$mn := \sum_{k=1}^m n$

o per dirla in maniera più naturale, " m volte n", come si può vedere espandendo la sommatoria:

m × n = n + n + n + ... + n

Quindi per esempio

• 5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
• 2 × 5 = 5 + 5 = 10
• 4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
• 6 × m = m + m + m + m + m + m

Proprietà algebriche

A partire dalla definizione, è facile dimostrare che la moltiplicazione ha le proprietà:

Proprietà commutativa

Non ha importanza l'ordine con cui vengono moltiplicati due numeri. Infatti, per ogni coppia di numeri x e y,

$x\cdot y = y\cdot x$

È importante sottolineare che questa proprietà vale solo per i numeri (interi, razionali, reali, complessi), ma non vale sempre, ad esempio non vale quando si moltiplicano tra loro matrici e quaternioni.

Proprietà associativa

Per ogni terna di numeri x, y e z,

$(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)$

cioè non è importanza l'ordine con cui vengono eseguite le operazioni se queste coinvolgono solo le moltiplicazioni.

Proprietà distributiva rispetto all'addizione

Si può "distribuire" la moltiplicazione ai vari addendi di una somma:

$x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z$

Esistenza dell'identità

Ogni numero moltiplicato per 1 è pari a se stesso:

$x\cdot 1 = x$

$1\cdot x = x$

Il numero 1 è detto anche elemento neutro per la moltiplicazione.

Elemento zero

La moltiplicazione di qualsiasi numero per zero ha zero come risultato:

$x\cdot 0 = 0$

per un qualunque x (finito).

Questa definizione è coerente con la proprietà distributiva, infatti:

$x \cdot y = x \cdot (y + 0) = (x \cdot y) + (x \cdot 0)$

Esistenza dell'inverso

Qualsiasi numero x, ad eccezione dello zero, ha un inverso rispetto alla moltiplicazione, $\frac{1}{x}$, cioè un numero definito in modo tale che:

$x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) = 1$

La moltiplicazione con gli assiomi di Peano

Nel libro Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano propose un nuovo sistema assiomatico per la moltiplicazione, basato sugli assiomi per i numeri naturali:

$a\times 1=a$

$a\times b'=(a\times b)+a$

Qui b' rappresenta l'elemento dei numeri naturali successivo di b. Con gli altri nove assiomi di Peano, è possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprietà distributiva e associativa. Questa nuova assiomatizzazione permette anche di costruire una possibile definizione ricorsiva della moltiplicazione.

Numeri negativi

Estendiamo l'operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale

• $(-1)\cdot x = -x$

dove con - x si intende l'inverso additivo di x :

• $x + (-1)\cdot x = 0$

Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di − 1.

La regola pratica "meno per meno fa più" ha un'interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare m euro l'anno; tra n anni avremo mn euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora n anni fa (cioè "tra meno n anni") avevamo mn euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo m euro l'anno (cioè guadagnassimo "meno m euro"), tra n anni ne avremo mn in meno, ma n anni fa ne avevamo mn in più di quanti ne abbiamo ora!

Numeri razionali, reali e complessi

La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.

Per i numeri razionali abbiamo che

$a/b \cdot c/d = ac/bd$

Per i numeri reali, una definizione adatta di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come taglio; a questo punto si moltiplicano i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro e si dimostra che si ha ancora un taglio.

Per i numeri complessi, infine, abbiamo che

$( a + ib ) \cdot ( c + id ) = ( (ac - bd) + i(bc + ad) ). \,$

Meno immediato, almeno a prima vista, è il concetto che il risultato di moltiplicare nessun numero sia 1, e non zero. La cosa si ottiene subito, vedendo che un qualunque numero può vedersi come se fosse moltiplicato per il prodotto vuoto.

Una definizione ricorsiva della moltiplicazione può essere data dalle regole:

x · 0 = 0

x · y = x + x·(y − 1)

dove x è un numero reale, e y un numero naturale. Una volta data una definizione per i naturale, è facile estenderla agli interi, ai reali e infine ai numeri complessi.

Computazione

• Metodi manuali:
  • per moltiplicare due numeri con carta e penna, l'approccio più comune fa uso della tavola pitagorica, e di un algoritmo che ottiene il prodotto finale come somma di tanti prodotti di moltiplicazioni più semplici. Il tempo impiegato con questo metodo cresce con l'aumentare delle cifre dei numeri da moltiplicare; se si vuole risparmiare tempo, ed è sufficiente un risultato approssimato, si possono usare l'algoritmo di prostaferesi, o meglio ancora quello dei logaritmi.
  • il supporto strumentale più antico è l'abaco che permette di ottenere risultati esatti. Risale al XV secolo il regolo calcolatore che da risultati approssimati (ma è molto più rapido). Nel XX secolo, più per sfizio accademico che per reale necessità pratica, è stato progettato un regolo prostaferico
  • nel 1962 il matematico russo Anatoly Karatsuba definisce il primo algoritmo per la moltiplicazione con complessità meno che quadratica; nel 1963 un altro russo, Andrei Toom, pone le basi per l'algoritmo di Toom-Cook, con complessità ancora inferiore.

• Metodi meccanici:
  • Nel XVIII secolo Gottfried Leibniz perfeziona la pascalina aggiungendo la moltiplicazione alle funzioni disponibili.

• Metodi elettronici:
  • Le moderne calcolatrici tascabili racchiudono la logica degli algoritmi in un microchip.
  • Una panoramica dei modi per implementare informaticamente la moltiplicazione è disponibile su questa pagina.

Voci correlate

• Addizione
• Differenza
• Divisione
• Potenza
• Elemento inverso
• Produttoria
• Prodotto vuoto
• Regola dei segni del prodotto
• Moltiplicazione (musica)

Altri progetti

• Commons

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