Numero complesso

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Con l'espressione numero complesso si intende un numero formato da una parte immaginaria e da una parte reale. Può essere perciò rappresentato dalla somma di un numero reale e di un numero immaginario (cioè un multiplo dell'unità immaginaria, indicata con la lettera i). I numeri complessi sono usati in tutti i campi della matematica, in molti campi della fisica (e notoriamente in meccanica quantistica), nonché in ingegneria, specialmente in elettronica/telecomunicazioni o elettrotecnica, per la loro utilità nel rappresentare onde elettromagnetiche e correnti elettriche ad andamento temporale sinusoidale.

In matematica, i numeri complessi formano un campo (nonché un'algebra reale bidimensionale) e sono generalmente visualizzati come punti del piano, detto piano complesso. La proprietà più importante che caratterizza i numeri complessi è il teorema fondamentale dell'algebra, che asserisce che qualunque equazione polinomiale di grado n ha esattamente n soluzioni complesse, non necessariamente distinte.

Introduzione informale[modifica | modifica wikitesto]

L'unità immaginaria[modifica | modifica wikitesto]

Nel corso dei secoli gli insiemi dei numeri sono andati man mano allargandosi per rispondere all'esigenza di dare soluzione a equazioni e problemi sempre nuovi.

I numeri complessi sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione

x^2=-1

non ha soluzioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.

Si definisce allora il valore i, chiamato anche unità immaginaria, che gode della seguente proprietà:

i^2=-1

I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale ed una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione:

a + ib

dove a e b sono numeri reali, mentre i è l'unità immaginaria.

Le leggi della somma algebrica e del prodotto nei numeri complessi si applicano facendo i conti nel modo usuale e sapendo che  i^2 = -1 .

Come i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, quelli complessi sono in corrispondenza con i punti del piano, detto piano complesso (o di Argand-Gauss): al numero complesso  a+ ib si associa il punto di coordinate cartesiane  (a,b) .

Equazioni con soluzioni non reali[modifica | modifica wikitesto]

Usando la relazione i^2=-1 si possono risolvere tutte le equazioni di secondo grado

ax^2 + bx + c = 0, \;

incluse quelle che non hanno soluzioni reali perché dotate di discriminante negativo:

\Delta=b^2-4ac<0.

Le soluzioni sono determinate dalla formula risolutiva dell'equazione

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

che nel caso in cui il discriminante sia negativo, si svolge nel modo seguente:

\sqrt{-\Delta} = \sqrt{(-1)(\Delta)} = \sqrt{-1}\sqrt{\Delta} = i\sqrt{\Delta}.

Ad esempio:

x^2 + 4x + 8 = 0\,\!\Rightarrow x=\frac{-4\pm\sqrt{16-32}}{2} =\frac{-4\pm\sqrt{-16}}{2} =\frac{-4\pm i\sqrt{16}}{2} =-2\pm 2i.

Cenni storici[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Storia dei numeri complessi.

I numeri complessi hanno avuto una genesi dilatata nel tempo. Cominciarono a essere utilizzati formalmente nel XVI secolo nelle formule di risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado di Tartaglia. I primi che riuscirono ad attribuire soluzioni alle equazioni cubiche furono Scipione Dal Ferro, il Bombelli e anche Niccolò Tartaglia, quest'ultimo, dopo molte insistenze, passò i risultati a Girolamo Cardano con la promessa di non divulgarli. Cardano dopo aver verificato l'esattezza delle soluzioni di Tartaglia non rispettò la sua promessa e pubblicò i risultati, citandone l'autore però, nella sua nota Ars Magna del 1545. Tartaglia aveva molte amicizie tra gli inquisitori e in seguito Cardano ebbe problemi legati alla giustizia del tempo, molti dei quali provenienti da accuse di eresia. Attualmente la comparsa di radici di numeri negativi viene attribuita principalmente a Tartaglia mentre nelle meno numerose pagine dedicate a Cardano non vi è traccia del suo probabile importante contributo a tale rappresentazione numerica.

Inizialmente i numeri complessi non vennero considerati come "numeri" ma solo come artifici algebrici utili a risolvere equazioni. Erano infatti numeri "che non dovrebbero esistere": Cartesio nel XVII secolo li chiamò "numeri immaginari". Abraham de Moivre ed Eulero nel XVIII secolo iniziarono a fornire ai numeri complessi una base teorica, finché questi assunsero piena cittadinanza nel mondo matematico con i lavori di Gauss. Contemporaneamente si affermò l'interpretazione dei numeri complessi come punti del piano.

Terminologia[modifica | modifica wikitesto]

In matematica molti oggetti e teoremi dipendono dalla scelta di un insieme numerico di base: spesso la scelta è fra numeri reali e complessi. L'aggettivo "complesso" è in questo caso usato per specificare questo insieme di base. Per esempio, si definiscono le matrici complesse, i polinomi complessi, gli spazi vettoriali complessi e l'algebra di Lie complessa. Esistono anche il teorema di Sylvester complesso e il teorema spettrale complesso.

Definizione moderna[modifica | modifica wikitesto]

Formalmente un numero complesso si può definire come una coppia ordinata di numeri reali  (a, b) . Si definiscono quindi somma e prodotto di due numeri complessi nel modo seguente:

 ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ),
 ( a , b ) ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ).

Con queste due operazioni, l'insieme dei numeri complessi risulta essere un campo, che viene indicato con  \mathbb{C} oppure con C.

Il numero complesso  (a,0) viene identificato con il numero reale  a , mentre il numero  (0,1) è chiamato unità immaginaria ed è descritto con la lettera  i . L'elemento 1 è l'elemento neutro per la moltiplicazione, mentre si verifica che:

i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1.

Ogni numero complesso  z = (a,b) si scrive facilmente come combinazione lineare nel modo seguente:

z =(a,b)=(a,0) + (0,b) = a  + (b,0) (0,1) = a  + b (0,1) = a + bi.

I numeri a e b sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z. Questa rappresentazione dei numeri complessi rende agevole lo svolgimento delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio:

 (2+4i)(1-i) = 2(1-i)+4i(1-i) = 2-2i+4i-4i^2 = 2+2i-4(-1) = 6+2i.

Definizioni alternative[modifica | modifica wikitesto]

Usando gli strumenti della teoria dei campi, il campo dei numeri complessi può essere definito come la chiusura algebrica del campo dei numeri reali.

Usando gli strumenti della teoria degli anelli, può anche essere introdotto come l'anello quoziente dell'anello dei polinomi reali con una variabile tramite l'ideale generato dal polinomio  x^2+1 :

 \mathbb{C} = \mathbb{R}[ x ] / (x^2 + 1).

Questo è effettivamente un campo perché  x^2+1 è irriducibile. La radice del polinomio  x^2+1 è l'unità immaginaria  i , quindi l'anello quoziente è isomorfo a \mathbb{R}[i]=\mathbb{C}.

Geometria[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Rappresentazione dei numeri complessi e Piano complesso.
Complesso.png

Un numero complesso può essere visto come un punto del piano cartesiano, chiamato in questo caso piano di Gauss. Una rappresentazione di questo tipo si chiama diagramma di Argand-Gauss. Nella figura si vede che

 z = x + iy = r (\cos \varphi + i\sin \varphi )

essendo  \cos \varphi e  \sin \varphi funzioni trigonometriche.

Le formule inverse sono:

 r = \sqrt{x^2 + y^2}
\varphi = \arctan \frac{y}{x} per  x > 0
\varphi = \arctan \frac{y}{x}+\pi per  x < 0

Usando la formula di Eulero, possiamo esprimere  z come

 z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = re^{i\varphi}

tramite la funzione esponenziale. Qui  r è il modulo (o valore assoluto o norma) e  \varphi (detta Anomalia) è l'argomento di  z . L'argomento è determinato da  z se è inteso nell'intervallo  [0,2\pi] , altrimenti è definito solo a meno di somme con  2k\pi per qualche intero  k .

Operazioni con i numeri complessi[modifica | modifica wikitesto]

Modulo e distanza[modifica | modifica wikitesto]

 | z | = \sqrt{x^2 + y^2}

Il valore assoluto (modulo) ha le seguenti proprietà:

 | z + w | \leq | z | + | w |,\,\!
 | z w | = | z | | w |,\,\!
 | z / w | = | z | / | w | \,\! se  w \neq 0 ,

valide per tutti i numeri complessi  z e  w .

La prima proprietà è una versione della disuguaglianza triangolare.

La distanza fra due punti del piano complesso è data semplicemente da

 d(z, w) =|z - w| \,\! .

Coniugato[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Complesso coniugato.

Il complesso coniugato del numero complesso  z = a+ib è definito come

 \bar z = a-ib.

A volte è anche indicato come  z^* . Nel piano complesso \bar{z} è ottenuto da  z per simmetria rispetto all'asse reale. Valgono le seguenti proprietà:

\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w},
\overline{zw} = \bar{z}\bar{w},
\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w},
\bar{\bar{z}}=z,
\bar{z}=z \Longleftrightarrow z\in\R,
|z|=|\bar{z}|,
|z|^2 = z\bar{z},

Reciproco[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Inverso di un numero complesso.

Conoscendo il valore assoluto ed il coniugato di un numero complesso z \neq 0 è possibile calcolare il suo reciproco z^{-1} attraverso la formula:

z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}

Ovvero, se  z = a+ib otteniamo

 z^{-1} = \frac{a-ib}{a^2+b^2}.

Somma algebrica[modifica | modifica wikitesto]

Valgono le relazioni

 ( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ),
 ( a + ib ) - ( c + id ) = ( a - c ) + i ( b - d ).

La somma di due numeri complessi equivale alla usuale somma fra vettori nel piano complesso.

Prodotto[modifica | modifica wikitesto]

Vale

 ( a + ib )( c + id ) = ( ac - bd ) + i ( bc + ad )

Usando la rappresentazione

 z = re^{i\theta}

e le proprietà della funzione esponenziale, il prodotto di due numeri complessi

 z_1 = r_1 e^{i \theta_1}, \quad z_2 = r_2 e^{i \theta_2}\,\!

assume la forma più agevole

z_1\cdot z_2 = r_1 e^{i \theta_1} \cdot r_2 e^{i \theta_2} 
= r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)}.

In altre parole, nel prodotto di due numeri complessi, si sommano gli argomenti e si moltiplicano i moduli.

Questa affermazione consente di dimostrare la Regola dei segni del prodotto: – • – = +. Difatti se si considera che l’argomento di un numero reale negativo è 180º, moltiplicando tra loro due di questi numeri si ottiene un numero con argomento 360° e quindi 0° che è l’argomento di un numero reale positivo.

Una moltiplicazione per un numero complesso può essere vista come una simultanea rotazione e omotetia. Moltiplicare un vettore o equivalentemente un numero complesso per l'elemento  i produce una rotazione di 90°, in senso antiorario, del numero complesso di partenza. Ovviamente la moltiplicazione per  i e poi ancora per  i produce una rotazione di 180º; ciò è logico visto che  i^2 = -1 .

Rapporto[modifica | modifica wikitesto]

Il rapporto fra due numeri complessi  z_1 = a+ib e  z_2 = c+id è dato da:

 {z_1 \over z_2} = {a+ib \over c+id} = {(a+ib) \over (c+id)}{(c-id) \over (c-id)}= \frac{ac+bd+i(cb-ad)}{c^2+d^2}.

Usando la rappresentazione

 z = re^{i\theta}, \,\!

il rapporto di due numeri complessi è

\frac{r_1 e^{i \theta_1}}
{r_2 e^{i \theta_2}}
= \frac{r_1}{r_2} e^{i (\theta_1 - \theta_2)}.

Potenze[modifica | modifica wikitesto]

Rappresentando ogni numero complesso come

 z = re^{i\theta}

è facile descrivere la potenza  n -esima

 z^n = r^ne^{ni\theta}

per ogni  n intero. Con una notazione lievemente differente:

z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta )

Si ottiene la formula di De Moivre:

z^n = |z|^n ( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) )

Inoltre, ogni numero complesso ha esattamente n radici n-esime: in particolare non esiste un modo univoco di definire la radice quadrata di un numero complesso.

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Radice dell'unità.

Esponenziale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi esponenziale complesso.

La funzione esponenziale complessa e^z è definita facendo uso delle serie e degli strumenti del calcolo infinitesimale, nel modo seguente:

e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}.

In particolare, se z = a+ib si ottiene

e^{a+ib} = e^ae^{ib} = e^a(\cos b + i \sin b)

facendo uso della formula di Eulero.

Logaritmo[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi logaritmo complesso.

Il logaritmo naturale \ln z di un numero complesso z è per definizione un numero complesso w tale che

e^w = z.

Se

z = a+ib = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)

il logaritmo di z è un qualsiasi numero complesso w del tipo

w = \ln z = \ln (re^{i\theta}) = \ln r + i(\theta +2k\pi)

dove k è un numero intero qualsiasi. Poiché il valore k è arbitrario, un numero complesso ha una infinità di logaritmi distinti, che differiscono per multipli interi di 2\pi i.

Se a>0 si può scrivere

\ln(a+ib)=\ln\sqrt[2]{a^2+b^2}+i\arctan\frac{b}{a}.

In questo caso, se  z è reale (cioè se b=0) fra gli infiniti valori ce n'è uno reale, che corrisponde all'usuale logaritmo di un numero reale positivo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di voler individuare i numeri complessi z tali che

 4z^2=\bar z^4.

La prima possibilità è quella di porre  z=a+ib e di uguagliare la parte reale di  4z^2 alla parte reale del coniugato di  z^4 e analogamente per le rispettive parti immaginarie. Seguendo questa strada si ottengono due equazioni:

 ab(a^2-b^2+2)=0,\,\!
 a^4+b^4-6(ab)^2=4(a^2-b^2).\,\!

da cui si ricavano 7 soluzioni:

 z=0, -2, 2, i\sqrt{3}+1, -i\sqrt{3}+1, i\sqrt{3}-1, -i\sqrt{3}-1.

In alternativa, si può usare la rappresentazione polare

 z = r (\cos \varphi + i\sin \varphi)

e uguagliare le norme e gli argomenti di  4z^2 e del coniugato di  z^4 , ottenendo anche qui due equazioni:

  4r^2=r^4,\,\!
  6\varphi=2k\pi.

con  k=0,1,...,5 . Ovviamente si ottengono le stesse soluzioni, per esempio

 z=i\sqrt{3}+1=2e^{i{\pi}/3}.

Alcune proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Perdita dell'ordinamento[modifica | modifica wikitesto]

Diversamente dai numeri reali, i numeri complessi non possono essere ordinati in modo compatibile con le operazioni aritmetiche. Non è cioè possibile definire un ordine tale che

a\leq b, \Rightarrow a+c\leq b+c,
 0\leq a, 0\leq b \Rightarrow 0 \leq ab

come avviene con i numeri reali. Quindi non ha senso chiedere ad esempio se  i è maggiore o minore di 0, né studiare disequazioni nel campo complesso. Infatti in ogni campo ordinato tutti i quadrati devono essere maggiori di zero: per costruzione dell'unità immaginaria, invece i2=-1

Piano cartesiano[modifica | modifica wikitesto]

Funzione logaritmica: tutte le coppie (x;y) con x negativa sono numeri complessi e non possono essere rappresentati nel piano, prescindendo dalla base scelta: rosso per la base e, verde per la base 10 e viola per la base 1,7.

Quando si disegna una funzione nel piano cartesiano il cui codominio contiene numeri dell'insieme immaginario, tali numeri non possono essere rappresentati da una coppia di coordinate (x;y), poiché essendo y complesso non può avere ordinamento rispetto alla retta y.

Spazio dei vettori reali[modifica | modifica wikitesto]

 \mathbb{C} è contemporaneamente uno spazio vettoriale complesso ad una dimensione (come tutti i campi), ed uno spazio vettoriale reale a due dimensioni. In quanto spazio vettoriale reale a dimensione finita è inoltre uno spazio normato completo, cioè uno spazio di Banach, e più in particolare uno spazio di Hilbert.

Soluzioni delle equazioni polinomiali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema fondamentale dell'algebra.

Una radice complessa di un polinomio p a coefficienti reali è un numero complesso z tale che p(z)=0. Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado n ha esattamente n soluzioni complesse, contate con molteplicità. Questo risultato indica che i numeri complessi sono (a differenza dei reali) un campo algebricamente chiuso.

Analisi complessa[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Analisi complessa.

Lo studio delle funzioni con variabili complesse è chiamata analisi complessa ed è usatissima nella matematica applicata e nella teoria dei numeri oltre che in altre branche della matematica, della fisica e dell'ingegneria. Spesso, le dimostrazioni più semplici per gli enunciati dell'analisi reale o persino della teoria dei numeri impiegano tecniche di analisi complessa (vedi teorema dei numeri primi per un esempio). Diversamente dalle funzioni reali, che sono rappresentate comunemente come grafici bidimensionali, le funzioni complesse hanno grafici a quattro dimensioni e spesso vengono rappresentate come grafici colorati dove il colore sopperisce alla dimensione mancante (si veda, ad esempio, la voce Immagini conformi). Si possono anche usare delle animazioni per mostrare la trasformazione dinamica della funzione complessa del piano complesso.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

In matematica[modifica | modifica wikitesto]

I numeri complessi sono presenti in tutta la matematica, e sono protagonisti di interi settori, come l'analisi complessa o la geometria algebrica. Elenchiamo qui soltanto alcune applicazioni dei numeri complessi a settori della matematica in cui questi non hanno un ruolo dominante.

  • Equazioni differenziali: Le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti si risolvono trovando le radici complesse di un polinomio associato all'equazione.

In fisica[modifica | modifica wikitesto]

  • Dinamica dei fluidi: Nella dinamica dei fluidi i numeri complessi vengono utilizzati per descrivere il flusso potenziale in 2 dimensioni.

Ingegneria[modifica | modifica wikitesto]

I numeri complessi sono utilizzati per la risoluzione delle equazioni differenziali associate al moto di tipo vibratorio dei sistemi meccanici.

Analisi dei segnali[modifica | modifica wikitesto]

I numeri complessi vengono utilizzati nell'analisi dei segnali e in tutti i campi dove si trattano segnali che variano sinusoidalmente nel tempo, o anche semplicemente periodici. Il valore assoluto di |z| è interpretato come l'ampiezza del segnale mentre l'argomento di z è interpretato come la fase. I numeri complessi rendono possibile anche l'analisi di Fourier, che rende possibile scomporre un generico segnale tempo-invariante in una somma di infinite sinusoidi: ogni sinusoide è scritta come un singolo numero complesso

 f ( t ) = z e^{j\omega t}

dove ω è la pulsazione della sinusoide e z la sua ampiezza.

Nell'ingegneria elettrica ed elettronica vengono utilizzati per indicare la tensione e la corrente. L'analisi dei componenti resistivi, capacitivi e induttivi è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta impedenza, semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera j per indicare l'unità immaginaria, dato che la i è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del XX secolo, stabilivano j = -i, cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. Anche se, la stragrande maggioranza delle volte, nella letteratura tecnica con j oramai si intende l'unità immaginaria stessa, per cui j=i

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Lars Ahlfors, Complex Analysis, 3rd, McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7.
  • (EN) E. Freitag, R. Busam, Complex Analysis; Springer-Verlag (2005).
  • (EN) P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-59916-4.
  • (EN) Paul J. Nahin, An Imaginary Tale; Princeton University Press; ISBN 0-691-02795-1 (hardcover, 1998). Una semplice introduzione ai numeri complessi e all'analisi complessa.
  • (EN) Tristan Needham, Visual Complex Analysis; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). Storia dei numeri complessi e dell'analisi complessa con un'utile interpretazione geometrica.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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