Spazio di Banach

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In matematica uno spazio di Banach è uno spazio normato completo rispetto alla metrica indotta dalla norma.[1]

Gli spazi di Banach furono studiati inizialmente da Stefan Banach, da cui hanno preso il nome, e si tratta di un oggetto di studio molto importante dell'analisi funzionale: molti spazi di funzioni sono infatti spazi di Banach.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio di Banach è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali o complessi, la cui dimensione può essere infinita e sul quale è definita una norma tale che ogni successione di Cauchy è convergente (ha cioè un limite) a un elemento dello spazio.

Una condizione necessaria e sufficiente affinché uno spazio vettoriale normato X sia completo, ovvero sia di Banach, è che tutte le successioni \{ u_n\}_{n=1}^\infty siano assolutamente sommabili, cioè tali che:

\sum_{n=1}^\infty \|x_n\|<\infty

siano anche sommabili:

\sum_{n=1}^\infty x_n<\infty

ed in particolare convergano ad un elemento di X.[2]

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • La retta reale \R con la distanza d(x, y) = |x-y|.
  • Lo spazio vettoriale \R^n oppure  \mathbb{C}^n con una delle distanze:
d_p (\vec x, \vec y) = \left( \sum_{k=1}^{n} |x_k - y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}}
determinate da un numero reale p>0.
d_p (\vec x, \vec y) = \left( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k - y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}}
  • Spazio infinito dimensionale delle successioni limitate l_{\infty} con la distanza:
d_{\infty} (\vec x, \vec y) = sup_k |x_k - y_k|
  • Spazio infinito dimensionale delle funzioni continue C[a,b] su un intervallo [a,b] con la distanza:
d_{\infty} (f, g) = max_t |f(t) - g(t)|
\int_{a}^{b} f(x) dx < \infty

(inteso come integrale di Lebesgue), con la distanza:

d_{p} (f, g) = \left( \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)|^p \right)^{\frac{1}{p}}

Questo spazio è un sottospazio dello spazio Lp, uno spazio di Banach importante in analisi funzionale.

Base di Schauder[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Base di Schauder.

Una base di Schauder in uno spazio di Banach X è una successione \{ e_n \}_{n \ge 0} di vettori in X tali per cui per ogni vettore x \in X esiste un insieme di scalari \{ x_n \}_{n \ge 0}, definito in modo unico, tale che:

 x = \sum_{n=0}^{\infty} x_n e_n

ovvero:

 x = \lim_n P_n(x) \qquad P_n(x) := \sum_{k=0}^n x_k e_k

Per il principio dell'uniforme limitatezza segue che le trasformazioni lineari P_n sono uniformemente limitate da una qualche costante C.

I funzionali lineari \{ e_n^* \} che ad ogni x \in X associano le rispettive coordinate \{ x_n \} sono detti funzionali biortogonali. Se i vettori di base hanno norma 1, allora i funzionali coordinati hanno norma minore di 2C nel duale di X.

Riflessività[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Spazio riflessivo.

Una parte consistente dello studio degli spazi di Banach riguarda i criteri che lo rendono uno spazio riflessivo, ovvero uno spazio (in generale localmente convesso) che coincide con il suo biduale (il duale continuo del suo spazio duale continuo) sia come spazio vettoriale che come spazio topologico.

Derivate[modifica | modifica sorgente]

Negli spazi di Banach si utilizzano diverse generalizzazioni della derivata, in particolare le derivate di Fréchet e Gâteaux. La prima consente di caratterizzare l'estensione della derivata direzionale in uno spazio di Banach, mentre la derivata di Gâteaux riguarda la derivata direzionale in spazi localmente convessi (si tratta di una condizione per la differenziabilità che è più debole rispetto a quella di Fréchet: una via intermedia si ha con la quasi-derivata).

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Esistono diverse importanti generalizzazioni dello spazio di Banach in analisi funzionale; ad esempio lo spazio delle distribuzioni su \R è completo, ma non è normato. Negli spazi di Fréchet si hanno metriche complete, mentre gli spazi LF sono spazi vettoriali uniformi che estendono gli spazi di Fréchet.

Algebre di Banach[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Algebra di Banach.

Un'algebra di Banach è un'algebra associativa A sui numeri reali o sui numeri complessi che è anche uno spazio di Banach. L'algebra della moltiplicazione e lo spazio normato di Banach devono essere collegati dalla disuguaglianza:

 \forall x, y \in A , \|x \, y\| \ \leq  \|x \| \, \| y\|

che stabilisce che la norma del prodotto è minore o uguale del prodotto delle norme. Questo assicura che l'operazione di moltiplicazione è una funzione continua.

Tra gli esempi più significativi, l'insieme dei numeri reali (o complessi) è un'algebra di Banach con la norma del valore assoluto, mentre l'insieme di tutte le matrici reali o complesse n per n è un'algebra di Banach se si associa loro una norma. Anche l'algebra di tutte le funzioni continue limitate a valori reali o complessi su uno spazio localmente compatto (con l'operazione di moltiplicazione definita puntualmente e la norma dell'estremo superiore) è un'algebra di Banach, così come quella degli operatori lineari continui su uno spazio di Hilbert, che formano una C*-algebra e quindi un'algebra di Banach.

Alcuni tra gli spazi di Banach più diffusi[modifica | modifica sorgente]

Detto K un campo che può essere \R o \C, siano X uno spazio di Hausdorff compatto, I=[a,b] un intervallo, p e q numeri reali con p>1 e q < \infty e tali che 1/p + 1/q =1. Sia inoltre \Sigma una sigma-algebra, \Xi un'algebra di insiemi e \mu una misura con variazione totale |\mu|.

spazio duale riflessivo sequenzialmente completo (convergenza debole) norma note
Kn Kn si si \|x\|_2 = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^2\right)^{\frac{1}{2}} Spazio euclideo
np nq si si \|x\|_p = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}
n n1 si si \|x\|_\infty = \max\nolimits_{1\le i\le n} |x_i|
p q si si \|x\|_p = \left(\sum_{i=1}^\infty |x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}
1 no si \|x\|_1 = \sum_{i=1}^\infty |x_i|
bv no no \|x\|_\infty = \sup\nolimits_i |x_i|
c 1 no no \|x\|_\infty = \sup\nolimits_i |x_i|
c0 1 no no \|x\|_\infty = \sup\nolimits_i |x_i| Isomorfo, ma non isometrico, allo spazio c.
bv no si \|x\|_{bv} = |x_1| + \sum_{i=1}^\infty|x_{i+1}-x_i| Isometricamente isomorfo a ℓ1.
bv0 no si \|x\|_{bv_0} = \sum_{i=1}^\infty|x_{i+1}-x_i| Isometricamente isomorfo a ℓ1.
bs ba no no \|x\|_{bs} = \sup\nolimits_n\left|\sum_{i=1}^nx_i\right| Isometricamente isomorfo a ℓ.
cs 1 no no \|x\|_{bs} = \sup\nolimits_n\left|\sum_{i=1}^nx_i\right| Isometricamente isomorfo allo spazio c.
B(X, Ξ) ba(Ξ) no no \|f\|_B = \sup\nolimits_{x\in X}|f(x)|
C(X) rca(X) no no \|x\|_{C(X)} = \max\nolimits_{x\in X} |f(x)|
ba(Ξ)  ? no si \|\mu\|_{ba} = \sup\nolimits_{A\in\Sigma} |\mu|(A)
ca(Σ)  ? no si \|\mu\|_{ba} = \sup\nolimits_{A\in\Sigma} |\mu|(A) Sottospazio chiuso di ba(Σ).
rca(Σ)  ? no si \|\mu\|_{ba} = \sup\nolimits_{A\in\Sigma} |\mu|(A) Sottospazio chiuso di ca(Σ).
Lp(μ) Lq(μ) si si \|f\|_p = \left (\int |f|^p\,d\mu\right)^{\frac{1}{p}}
L1(μ) L(μ) no si \|f\|_1 = \int |f|\,d\mu Il duale è L(μ) se μ è una misura σ-finita.
BV(I)  ? no si \|f\|_{BV} = V_f(I) + \lim\nolimits_{x\to a^+}f(x) Vf (I) è la variazione totale di  f
NBV(I)  ? no si \|f\|_{BV} = V_f(I) NBV(I) è formato dalle funzioni BV(I) tali che \lim\nolimits_{x\to a^+}f(x)=0
AC(I) K + L(I) no si \|f\|_{BV} = V_f(I) + \lim\nolimits_{x\to a^+}f(x) Isomorfo allo spazio di Sobolev W 1,1(I).
Cn([a, b]) rca([a,b]) no no \|f\| = \sum_{i=0}^n \sup\nolimits_{x\in [a,b]} \left |f^{(i)}(x) \right | Isomorfo a  \R^n \oplus C([a,b]), essenzialmente per il teorema di Taylor.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 95
  2. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 71

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • H. Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Liguori, Napoli, 1990, ISBN 8820715015.
  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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