Spazio di Banach

In matematica gli spazi di Banach sono degli spazi studiati inizialmente da Stefan Banach e da cui hanno preso il nome. Sono un oggetto di studio importante dell'analisi funzionale: molti spazi di funzioni sono spazi di Banach.

Definizione

Uno spazio di Banach è uno spazio normato completo rispetto alla metrica indotta dalla norma.

In altre parole, è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali o complessi, la cui dimensione può essere infinita e sul quale è definita una norma tale che ogni successione di Cauchy è convergente (ha cioè un limite) a un elemento dello spazio.

Una condizione necessaria e sufficiente affinché uno spazio vettoriale normato X sia completo, ovvero sia di Banach, è che tutte le successioni $\{ u_n\}_{n=1}^\infty$ assolutamente sommabili, cioè tali che:

$\sum_{n=1}^\infty \|x_n\|<\infty$

siano anche sommabili:

$\sum_{n=1}^\infty x_n<\infty$

ed in particolare convergano ad un elemento di X.

Esempi

• La retta reale $\R$ con la distanza d(x,y) = | x − y |
• Lo spazio vettoriale $\R^n$ oppure $\mathbb{C}^n$ con una delle distanze:

  $d_p (\vec x, \vec y) = \left( \sum_{k=1}^{n} |x_k - y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}}$

  determinate da un numero reale p > 0
• Un esempio di spazio infinito dimensionale è lo spazio l^p delle successioni di numeri reali o complessi convergenti con la distanza:

  $d_p (\vec x, \vec y) = \left( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k - y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}}$.

• Spazio infinito dimensionale delle successioni limitate $l_{\infty}$ con la distanza:

  $d_{\infty} (\vec x, \vec y) = sup_k |x_k - y_k|$.

• Spazio infinito dimensionale delle funzioni continue C[a,b] su un intervallo [a,b] con la distanza:

  $d_{\infty} (f, g) = max_t |f(t) - g(t)|$.

• Spazio infinito dimensionale delle funzioni continue tale che:

  $\int_{a}^{b} f(x) dx < \infty$

  (inteso come integrale di Lebesgue), con la distanza:

  $d_{p} (f, g) = \left( \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)|^p \right)^{\frac{1}{p}}$.

  Questo spazio è un sottospazio dello spazio L^p, uno spazio di Banach importante in analisi funzionale.

Bibliografia

• H. Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Liguori, Napoli, 1990, ISBN 8820715015.
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341
• (EN) Michael Reed; Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2^a ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506

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