Classe di coniugio

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In matematica e specialmente in teoria dei gruppi, gli elementi di un gruppo possono essere divisi in classi di coniugio; gli elementi di una stessa classe di coniugio condividono molte proprietà, e il loro studio nel caso di gruppi non abeliani può essere di aiuto per la comprensione della loro struttura. Nel caso di gruppi abeliani, al contrario, ogni classe di coniugio è formata da un singolo elemento del gruppo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia G un gruppo. Due elementi a e b di G sono detti coniugati se esiste un terzo elemento g in G tale che gag^{-1} = b. Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di G in classi di equivalenza dette classi di coniugio:

Cl(a) = \{gag^{-1}: g\in G\}

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • L'unità appartiene sempre ad una propria classe di coniugio: Cl(e) = \{e\}.
  • Se G è abeliano, Cl(a)=\{a\} per ogni a in G.
  • Se due elementi a e b appartengono alla stessa classe di coniugio, allora condividono lo stesso ordine.
  • Un elemento di G appartiene al centro Z(G) di G se e solo se la sua classe di coniugio è formata solo dall'elemento stesso.
  • Se due elementi a e b sono coniugati, allora lo sono anche le loro potenze di ordine k, cioè a^k e b^k.

Coniugio come azione di gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Si può definire l'azione di coniugio come l'azione di G in sé stesso:

g\cdot x = gxg^{-1}

Le orbite dell'azione di coniugio non sono altro che le classi di coniugio, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento è il suo centralizzatore.

Allo stesso modo si può definire l'azione di G sulla famiglia dei sottinsiemi o dei sottogruppi di G:

g\cdot S = gSg^{-1} = \{gxg^{-1}:x \in S\}

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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