Serie geometrica

Una serie geometrica è una serie tale per cui il rapporto tra due termini successivi è costante.

Definizione

La serie geometrica è una serie del tipo $\sum_{k=0}^{\infty}x^k$. In modo equivalente, può essere definita come il limite della successione delle somme parziali $\{s_n : n \in \N \}$, in cui:

$s_n = \sum_{k=0}^{n}x^k = 1 + x + x^ 2 + \dots + x ^ n.$

La somma parziale n-esima di una serie geometrica è dunque la somma per $k$ che va da zero ad $n$ di $x^k$. Il rapporto di ogni termine della somma rispetto al termine precedente è costantemente uguale a $x$ ed è detto ragione della serie.

Questo tipo di serie ricorre con una particolare frequenza nell'analisi degli algoritmi; in molti casi il valore di questi ultimi può essere calcolato direttamente con le formule che vengono presentate in questo articolo. Una delle espressioni più comuni è proprio la somma parziale della nota serie geometrica.

Formule

Possiamo dimostrare che $\sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ in diversi modi.

Dimostrazione 1

Consideriamo :$s_n = \sum_{k=0}^{n}x^k = 1 + x + x^ 2 + \dots + x ^ n.$ Moltiplicando entrambi i membri della precedente equazione per $(1-x)$. Vediamo che i termini del polinomio da 1 a $n$ si semplificano con i corrispondenti della sommatoria:

$(1-x) \sum_{k=0}^{n} x^k = 1-x^{n+1}$

Spostando il termine $(1-x)$ al secondo membro si ottiene rapidamente la somma per la serie geometrica:

$\sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

Dimostrazione 2

Un altro modo semplicemente algebrico per arrivare alla somma da 0 ad n consiste nel partire da:

$s_{n}=1+x+x^{2}+\dots+x^{n}$ quindi sottrarre 1 e dividere tutto per x ambo i membri

$\frac{s_{n}-1}{x}=1+x+x^{2}+\dots+x^{n-1}=s_{n-1}$ poiché $s_{n-1}=s_{n}-x^{n}$ allora possiamo scrivere

$\frac{s_{n}-1}{x}=s_{n}-x^{n}$ facendo tutti i passaggi algebrici, da quest'ultima equazione, otteniamo:

$s_{n}(1-x)=1-x^{n+1}$ con un ultimo passaggio $s_{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ è la somma che stavamo cercando.

Dimostrazione 3

È possibile dimostrare che $\sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ anche per induzione. Osserviamo che per $n=0$ si ottiene $\frac{1-x}{1-x}=1$ pertanto la base induttiva è verificata. Supponiamo che la formula sia vera per $n$, ovvero che la somma dei primi $n$ termini valga proprio $\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$, allora la somma dei primi $n+1$ termini vale

$x^{n+1} + \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = \frac{x^{n+1} - x^{n+2} + 1 - x^{n+1}}{1-x} = \frac{1-x^{n+2}}{1-x}$

Pertanto la formula, supposta vera per i primi $n$ termini, è vera anche per i primi $n+1$ termini, pertanto è stato dimostrato per induzione matematica che :$\sum_{k=0}^{n}x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

Osserviamo che tale formula è valida per $x \ne 1$, se $x = 1$ la somma vale banalmente $1+n$.

Se la serie non parte da 0, ma da un altro termine m, allora

$\sum_{k=m}^n x^k=\frac{x^m-x^{n+1}}{1-x}$

Derivando la somma rispetto a x si possono trovare formule per somme del tipo

$\sum_{k=0}^n k^s x^k$

ad esempio:

$\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^nx^k = \sum_{k=0}^nkx^{k-1}= \frac{1-x^{n+1}}{(1-x)^2}-\frac{(n+1)x^n}{1-x}$

Comportamento della serie

La serie ha il seguente carattere:

• divergente per $x\,\ge \,1$ perché si ha $s_n = 1 + x + x^2 + \dots +x ^ n \, \ge \, n x + 1$ e per il teorema del confronto diverge.
• indeterminata per $x\,<\,-1$ perché si ha $s_n = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$ e $\lim_{n\to +\infty}x^n$ non esiste (alcuni testi riportano, per questo caso, il carattere divergente, intendendo che $s_n\to\infty$ o, in altri termini, che $|s_n|\to +\infty$).
• indeterminata nel caso $x = -1$, poiché la funzione somma oscilla tra 1 e 0.
• convergente quando $|x|\,<\,1$

Se infatti $|x|\,<\,1$ la somma della serie esiste e vale

$\sum_{k=0}^{\infty}x^k = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 0}^{n}{x}^k = \lim_{n \to \infty} {{1 - x ^ {n+1}} \over {1 - x}} = \frac{1}{1-x}$.

Quest'ultima formula è valida in ogni algebra di Banach con la condizione che la norma di x sia minore di uno, e anche nel campo dei numeri p-adici se |x|_p < 1. In particolare è valida nel campo dei numeri complessi con l'usuale definizione di valore assoluto.

Dimostrazione alternativa

Si ha che $S = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$ ;

allora $xS = x(1 + x + x^2 + x^3 + \dots) = x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots = \sum_{n=0}^\infty x^n - 1 = S - 1$ .

Pertanto vale $xS = S - 1 \rightarrow S - xS = 1 \rightarrow S(1 - x) = 1$.

A questo punto, se e solo se $x < 1$, ha senso scrivere: $S = \frac{1}{1-x}$ , c.v.d.

Come nel caso delle somme finite, possiamo derivare la serie per trovare le formule di somme analoghe. Ad esempio:

$\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^\infty x^k = \sum_{k=0}^\infty kx^{k-1}= \frac{1}{(1-x)^2}$

Questa formula naturalmente è valida solo per |x| < 1.

Stima della somma

Per effettuare la stima della somma geometrica infinita in modo generale spezziamo la serie come segue

$\sum_{i=0}^n x^i + \sum_{i=n+1}^{\infty} x^i$

ricordando che la serie geometrica ha somma pari a $\frac {1}{1-x}$ otteniamo che

$\frac {1}{1-x} - x^{n+1}\sum_{i=0}^{\infty} x^i = \frac {1-x^{n+1}}{1-x}.$

Serie geometrica troncata

Se si pone che $f_n(x) = \sum_{i=0}^n x^i$ si ha che:

$f_n(1) = \lim_{x\to 1} \frac {1-x^{n+1}}{1-x} = n + 1$

$f(n)$ viene chiamata serie geometrica troncata.

La serie geometrica troncata è alla base delle stime di somme molto complesse. Utilizzando l'operatore $xD$ (dove per $D$ si intende la derivata) si ha che

$xD f_n(x) = xD( \sum_{i = 0}^n x^ i )= x \sum_{i = 0}^n i x^{i-1} = \sum_{i = 1 }^n i x^i$

riconducensi alla serie geometrica troncata.

Stima della somma parziale per i = 1

Si consideri la somma delle potenze di grado 1:

$\sum_{i=1}^n i x^i = xD(f_n(X)) = \frac {n x ^ {n+2} - (n+1) x ^ {n+1} + x } {(1-x)^2}$

Esempi

Si vuole valutare la seguente sommatoria:

$\sum_{k=1}^n k 2^k$.

Consideriamo la funzione

$t_n(x) = \sum_{k=0}^n x ^ k$

e osserviamo che la sua derivata è data da

$t_n'(x) = \sum_{k=1}^n k x ^{k-1}$

questo significa che

$2t_n'(2) = \sum_{k=1}^n k 2 ^ k$

e quindi il nostro problema si riduce a valutare la derivata di $t_n(x)$ in 2. Poiché $t_n(x) = {{x^{n+1} - 1}\over{x-1}} \ \forall x \not= 1$ otteniamo

$t_n'(x) = {{(n+1)x^n(x-1) - x^{n+1} +1}\over{(x-1)^2}}$

e di conseguenza

$\sum_{k=0}^n k 2^k = 2t_n'(2) = 2{{(n+1)2^n(2-1) - 2^{n+1} +1}\over{(2-1)^2}} = (n-1) 2^{n+1} +2$

Bibliografia

• Giulio Barozzi, Primo corso di analisi matematica, Zanichelli Editore, ISBN 8808011690

Voci correlate

• Serie
• Serie esponenziale
• Serie armonica
• Serie di Mengoli
• Progressione geometrica

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