Serie geometrica

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Una serie geometrica è una serie tale per cui il rapporto tra due termini successivi è costante.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La serie geometrica è una serie del tipo \sum_{k=0}^{\infty}x^k. In modo equivalente, può essere definita come il limite della successione delle somme parziali \{s_n : n \in \N \}, in cui:

s_n = \sum_{k=0}^{n}x^k = 1 + x + x^ 2 + \dots + x ^ n.

La somma parziale n-esima di una serie geometrica è dunque la somma per k che va da zero ad n di x^k. Il rapporto di ogni termine della somma rispetto al termine precedente è costantemente uguale a x ed è detto ragione della serie.

Questo tipo di serie ricorre con una particolare frequenza nell'analisi degli algoritmi; in molti casi il valore di questi ultimi può essere calcolato direttamente con le formule che vengono presentate in questo articolo. Una delle espressioni più comuni è proprio la somma parziale della nota serie geometrica.

Formule[modifica | modifica sorgente]

Possiamo dimostrare che \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} in diversi modi.

Osserviamo che tale formula è valida per x \ne 1, se x = 1 la somma vale banalmente 1+n.

Se la serie non parte da 0, ma da un altro termine m, allora

\sum_{k=m}^n x^k=\frac{x^m-x^{n+1}}{1-x}

Derivando la somma rispetto a x si possono trovare formule per somme del tipo

\sum_{k=0}^n k^s x^k

ad esempio:

\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^nx^k = \sum_{k=0}^nkx^{k-1}=
\frac{1-x^{n+1}}{(1-x)^2}-\frac{(n+1)x^n}{1-x}

Comportamento della serie[modifica | modifica sorgente]

La serie ha il seguente carattere:

Se infatti |x|\,<\,1 la somma della serie esiste e vale

\sum_{k=0}^{\infty}x^k = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 0}^{n}{x}^k  = \lim_{n \to \infty} {{1 - x ^ {n+1}} \over {1 - x}} = \frac{1}{1-x}.

Quest'ultima formula è valida in ogni algebra di Banach con la condizione che la norma di x sia minore di uno, e anche nel campo dei numeri p-adici se |x|p < 1. In particolare è valida nel campo dei numeri complessi con l'usuale definizione di valore assoluto.


Come nel caso delle somme finite, possiamo derivare la serie per trovare le formule di somme analoghe. Ad esempio:

\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^\infty x^k = \sum_{k=0}^\infty kx^{k-1}=
\frac{1}{(1-x)^2}

Questa formula naturalmente è valida solo per |x| < 1.

Stima della somma[modifica | modifica sorgente]

Per effettuare la stima della somma geometrica infinita in modo generale spezziamo la serie come segue

\sum_{i=0}^n x^i + \sum_{i=n+1}^{\infty} x^i

ricordando che la serie geometrica ha somma pari a \frac {1}{1-x} otteniamo che

\frac {1}{1-x} - x^{n+1}\sum_{i=0}^{\infty} x^i = \frac {1-x^{n+1}}{1-x}.

Serie geometrica troncata[modifica | modifica sorgente]

Se si pone che f_n(x) = \sum_{i=0}^n x^i si ha che:

f_n(1) = \lim_{x\to 1} \frac {1-x^{n+1}}{1-x} = n + 1
f(n) viene chiamata serie geometrica troncata.

La serie geometrica troncata è alla base delle stime di somme molto complesse. Utilizzando l'operatore xD (dove per D si intende la derivata) si ha che

xD f_n(x) = xD( \sum_{i = 0}^n x^ i )= x \sum_{i = 0}^n i x^{i-1} = \sum_{i = 1 }^n i x^i

riconducensi alla serie geometrica troncata.

Stima della somma parziale per i = 1[modifica | modifica sorgente]

Si consideri la somma delle potenze di grado 1:

\sum_{i=1}^n i x^i = xD(f_n(X)) = \frac {n x ^ {n+2} - (n+1) x ^ {n+1}  + x } {(1-x)^2}

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Si vuole valutare la seguente sommatoria:

 \sum_{k=1}^n k 2^k .

Consideriamo la funzione

 t_n(x) = \sum_{k=0}^n x ^ k

e osserviamo che la sua derivata è data da

 t_n'(x) = \sum_{k=1}^n k x ^{k-1}

questo significa che

 2t_n'(2) = \sum_{k=1}^n k 2 ^ k

e quindi il nostro problema si riduce a valutare la derivata di t_n(x) in 2. Poiché  t_n(x) = {{x^{n+1} - 1}\over{x-1}} \ \forall x \not= 1 otteniamo

 t_n'(x) = {{(n+1)x^n(x-1) - x^{n+1} +1}\over{(x-1)^2}}

e di conseguenza

\sum_{k=0}^n k 2^k = 2t_n'(2) = 2{{(n+1)2^n(2-1) - 2^{n+1} +1}\over{(2-1)^2}} = (n-1) 2^{n+1} +2

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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