Serie geometrica

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Una serie geometrica è una serie tale per cui il rapporto tra due termini successivi è costante.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La serie geometrica è una serie del tipo \sum_{k=0}^{\infty}x^k. In modo equivalente, può essere definita come il limite della successione delle somme parziali \{s_n : n \in \N \}, in cui:

s_n = \sum_{k=0}^{n}x^k = 1 + x + x^ 2 + \dots + x ^ n.

La somma parziale n-esima di una serie geometrica è dunque la somma per k che va da zero ad n di x^k. Il rapporto di ogni termine della somma rispetto al termine precedente è costantemente uguale a x ed è detto ragione della serie.

Questo tipo di serie ricorre con una particolare frequenza nell'analisi degli algoritmi; in molti casi il valore di questi ultimi può essere calcolato direttamente con le formule che vengono presentate in questo articolo. Una delle espressioni più comuni è proprio la somma parziale della nota serie geometrica.

Formule[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo dimostrare che \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} in diversi modi.

Dimostrazione 1

Consideriamo: s_n = \sum_{k=0}^{n}x^k = 1 + x + x^ 2 + \dots + x ^ n. Moltiplicando entrambi i membri della precedente equazione per (1-x). Vediamo che i termini del polinomio da 1 a n si semplificano con i corrispondenti della sommatoria:

(1-x) \sum_{k=0}^{n} x^k = 1-x^{n+1}

Spostando il termine (1-x) al secondo membro si ottiene rapidamente la somma per la serie geometrica:

\sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}
Dimostrazione 2

Un altro modo semplicemente algebrico per arrivare alla somma da 0 ad n consiste nel partire da:

s_{n}=1+x+x^{2}+\dots+x^{n} quindi sottrarre 1 e dividere tutto per x ambo i membri
\frac{s_{n}-1}{x}=1+x+x^{2}+\dots+x^{n-1}=s_{n-1} poiché s_{n-1}=s_{n}-x^{n} allora possiamo scrivere
\frac{s_{n}-1}{x}=s_{n}-x^{n} facendo tutti i passaggi algebrici, da quest'ultima equazione, otteniamo:
s_{n}(1-x)=1-x^{n+1} con un ultimo passaggio s_{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} è la somma che stavamo cercando.
Dimostrazione 3

È possibile dimostrare che \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} anche per induzione. Osserviamo che per n=0 si ottiene \frac{1-x}{1-x}=1 pertanto la base induttiva è verificata. Supponiamo che la formula sia vera per n, ovvero che la somma dei primi n termini valga proprio \frac{1-x^{n+1}}{1-x}, allora la somma dei primi n+1 termini vale

x^{n+1} + \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = \frac{x^{n+1} - x^{n+2} + 1 - x^{n+1}}{1-x} = \frac{1-x^{n+2}}{1-x}
Pertanto la formula, supposta vera per i primi n termini, è vera anche per i primi n+1 termini, pertanto è stato dimostrato per induzione matematica che: \sum_{k=0}^{n}x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}

Osserviamo che tale formula è valida per x \ne 1, se x = 1 la somma vale banalmente 1+n.

Se la serie non parte da 0, ma da un altro termine m, allora

\sum_{k=m}^n x^k=\frac{x^m-x^{n+1}}{1-x}

Derivando la somma rispetto a x si possono trovare formule per somme del tipo

\sum_{k=0}^n k^s x^k

ad esempio:

\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^nx^k = \sum_{k=0}^nkx^{k-1}=
\frac{1-x^{n+1}}{(1-x)^2}-\frac{(n+1)x^n}{1-x}

Comportamento della serie[modifica | modifica wikitesto]

La serie ha il seguente carattere:

Se infatti |x|<1 la somma della serie esiste e vale

\sum_{k=0}^{\infty}x^k = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 0}^{n}{x}^k  = \lim_{n \to \infty} {{1 - x ^ {n+1}} \over {1 - x}} = \frac{1}{1-x}.

Quest'ultima formula è valida in ogni algebra di Banach con la condizione che la norma di x sia minore di 1, e anche nel campo dei numeri p-adici se |x|_p<1. In particolare è valida nel campo dei numeri complessi con l'usuale definizione di valore assoluto.

Dimostrazione alternativa

Si ha che S = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots ;


allora xS = x(1 + x + x^2 + x^3 + \dots) = x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots = \sum_{n=0}^\infty x^n - 1 = S - 1 .

Pertanto vale  xS = S - 1 \rightarrow S - xS = 1 \rightarrow S(1 - x) = 1 .

A questo punto, se e solo se |x|< 1, ha senso scrivere:  S = \frac{1}{1-x} , c.v.d.


Come nel caso delle somme finite, possiamo derivare la serie per trovare le formule di somme analoghe. Ad esempio:

\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^\infty x^k = \sum_{k=0}^\infty kx^{k-1}=
\frac{1}{(1-x)^2}

Questa formula naturalmente è valida solo per |x|<1.

Stima della somma[modifica | modifica wikitesto]

Per effettuare la stima della somma geometrica infinita in modo generale spezziamo la serie come segue

\sum_{i=0}^n x^i + \sum_{i=n+1}^{\infty} x^i

ricordando che la serie geometrica ha somma pari a \frac {1}{1-x} otteniamo che

\frac {1}{1-x} - x^{n+1}\sum_{i=0}^{\infty} x^i = \frac {1-x^{n+1}}{1-x}.

Serie geometrica troncata[modifica | modifica wikitesto]

Se si pone che f_n(x) = \sum_{i=0}^n x^i si ha che:

f_n(1) = \lim_{x\to 1} \frac {1-x^{n+1}}{1-x} = n + 1
f(n) viene chiamata serie geometrica troncata. La serie geometrica troncata è alla base delle stime di somme molto complesse. Utilizzando l'operatore xD (dove per D si intende la derivata) si ha che
xD f_n(x) = xD( \sum_{i = 0}^n x^ i )= x \sum_{i = 0}^n i x^{i-1} = \sum_{i = 1 }^n i x^i

riconducendosi alla serie geometrica troncata.

Stima della somma parziale per i = 1[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la somma delle potenze di grado 1:

\sum_{i=1}^n i x^i = xD(f_n(X)) = \frac {n x ^ {n+2} - (n+1) x ^ {n+1}  + x } {(1-x)^2}

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Si vuole calcolare la seguente sommatoria:

 \sum_{k=1}^n k 2^k .

Consideriamo la funzione

 t_n(x) = \sum_{k=0}^n x ^ k

e osserviamo che la sua derivata è data da

 t_n'(x) = \sum_{k=1}^n k x ^{k-1}

questo significa che

 2t_n'(2) = \sum_{k=1}^n k 2 ^ k

e quindi il nostro problema si riduce a valutare la derivata di t_n(x) in 2. Poiché  t_n(x) = {{x^{n+1} - 1}\over{x-1}} \ \forall x \not= 1 otteniamo

 t_n'(x) = {{(n+1)x^n(x-1) - x^{n+1} +1}\over{(x-1)^2}}

e di conseguenza

\sum_{k=0}^n k 2^k = 2t_n'(2) = 2{{(n+1)2^n(2-1) - 2^{n+1} +1}\over{(2-1)^2}} = (n-1) 2^{n+1} +2

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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