Gruppo risolubile

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In algebra, un gruppo risolubile è un gruppo G che possiede una serie normale abeliana, ovvero tale che esiste una catena di sottogruppi

\{e\}\subseteq H_1\subseteq H_2\subseteq\cdots\subseteq H_n=G

(dove e è l'elemento neutro del gruppo) in cui ogni H_i è normale in H_{i+1} e il quoziente H_{i+1}/H_i è abeliano. Se G è un gruppo finito è equivalente richiedere che questi quozienti siano non solo abeliani, ma ciclici.

I gruppi risolubili prendono il nome dalla teoria di Galois: infatti un polinomio è risolubile per radicali su un campo F di caratteristica zero se e solo se il suo gruppo di Galois su F è risolubile.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Ogni gruppo abeliano è banalmente risolubile attraverso la serie \{e\}\subseteq G. Altri esempi di gruppi di cui è facile dimostrare la risolubilità sono i gruppi diedrali D_n e i p-gruppi, cioè i gruppi con p^n elementi (con p numero primo); anche i gruppi nilpotenti sono risolubili.

William Burnside dimostrò nel 1904 che sono risolubili tutti i gruppi di ordine p^nq^m, con p e q primi dispari; la sua congettura che questo valesse anche per tutti i gruppi di ordine dispari fu dimostrata nel 1963 da Walter Feit e John Griggs Thompson;[1] questo risultato, noto come teorema di Feit-Thompson, fu un importante passo verso la classificazione dei gruppi semplici finiti.

Il più piccolo gruppo non risolubile è il gruppo alterno A_5, con 60 elementi. Ogni gruppo semplice non abeliano, non possedendo sottogruppi normali, non è risolubile; altri esempi importanti di gruppi non risolubili sono i gruppi simmetrici S_n, per n maggiore o uguale a 5; questi sono importanti nel contesto della teoria di Galois, in quanto il polinomio generale di grado n ha come gruppo di Galois proprio S_n, e quindi non è risolubile per radicali.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

In virtù dei teoremi di isomorfismo, sia i sottogruppi che i quozienti di un gruppo risolubile sono risolubili; nessuno di questi due criteri può essere tuttavia invertito, in quanto ogni gruppo contiene sottogruppi abeliani (quindi risolubili) e ogni gruppo ha come quoziente G/G, cioè il gruppo col solo elemento neutro, che è ovviamente risolubile. Combinare queste due proprietà dà tuttavia un criterio sufficiente: se N è un sottogruppo (normale) di G e sia N che G/N sono risolubili allora anche il gruppo G è risolubile. Attraverso questa proprietà si dimostra che il prodotto diretto di un numero finito di gruppi risolubili è ancora risolubile.

Una caratterizzazione dei gruppi risolubili può essere data anche attraverso la sua serie derivata: detto G' il sottogruppo derivato di G, cioè il sottogruppo generato dai commutatori di G (gli elementi nella forma xyx^{-1}y^{-1} al variare di x e y in G), un gruppo è risolubile se e solo se la successione

G\supseteq G'\supseteq G''\cdots\supseteq G^{(m)}\cdots

in cui ogni sottogruppo è il derivato del precedente, raggiunge il sottogruppo banale \{e\}.

Per i gruppi finiti, la risolubilità equivale all'esistenza di una serie di composizione i cui fattori siano tutti gruppi semplici abeliani; questo non vale per i gruppi infiniti, perché, ad esempio, sebbene \mathbb{Z} degli interi sia risolubile (perché abeliano) ha ogni sottogruppo non banale isomorfo a sé stesso, e quindi non possiede una serie di composizione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Walter Feit e John Griggs Thompson, Solvability of groups of odd order in Pacific Journal of Mathematics, vol. 13, 1963, pp. 775-1029, ISSN 0030-8730, MR 0166261. URL consultato il 29 maggio 2009.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico, Padova, Decibel-Zanichelli, 1996, ISBN 978-88-08-16270-0.
  • Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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