Gruppo risolubile

In algebra, un gruppo risolubile è un gruppo $G$ che possiede una serie normale abeliana, ovvero tale che esiste una catena di sottogruppi

$\{e\}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \cdots \subseteq H_{n-1}\subseteq H_{n}=G$

(dove $e$ è l'elemento neutro del gruppo) in cui ogni $H_{i}$ è normale in $H_{i+1}$ e il quoziente $H_{i+1}/H_{i}$ è abeliano. Se $G$ è un gruppo finito è equivalente richiedere che questi quozienti siano non solo abeliani, ma ciclici.

I gruppi risolubili prendono il nome dalla teoria di Galois: infatti un polinomio è risolubile per radicali su un campo $F$ di caratteristica zero se e solo se il suo gruppo di Galois su $F$ è risolubile.

Esempi

Ogni gruppo abeliano è banalmente risolubile attraverso la serie $\{e\}\subseteq G$. Altri esempi di gruppi di cui è facile dimostrare la risolubilità sono i gruppi diedrali $D_{n}$ e i p-gruppi, cioè i gruppi con $p^{n}$ elementi (con $p$ numero primo); anche i gruppi nilpotenti sono risolubili.

William Burnside dimostrò nel 1904 che sono risolubili tutti i gruppi di ordine $p^{n}q^{m}$, con $p$ e $q$ primi dispari; la sua congettura che questo valesse anche per tutti i gruppi di ordine dispari fu dimostrata nel 1963 da Walter Feit e John Griggs Thompson; questo risultato, noto come teorema di Feit-Thompson, fu un importante passo verso la classificazione dei gruppi semplici finiti.

Il più piccolo gruppo non risolubile è il gruppo alterno $A_{5}$, con 60 elementi. Ogni gruppo semplice non abeliano, non possedendo sottogruppi normali, non è risolubile; altri esempi importanti di gruppi non risolubili sono i gruppi simmetrici $S_{n}$, per $n$ maggiore o uguale a $5$; questi sono importanti nel contesto della teoria di Galois, in quanto il polinomio generale di grado $n$ ha come gruppo di Galois proprio $S_{n}$, e quindi non è risolubile per radicali.

Proprietà

In virtù dei teoremi di isomorfismo, sia i sottogruppi che i quozienti di un gruppo risolubile sono risolubili; nessuno di questi due criteri può essere tuttavia invertito, in quanto ogni gruppo contiene sottogruppi abeliani (quindi risolubili) e ogni gruppo ha come quoziente $G/G$, cioè il gruppo col solo elemento neutro, che è ovviamente risolubile. Combinare queste due proprietà dà tuttavia un criterio sufficiente: se $N$ è un sottogruppo (normale) di $G$ e sia $N$ che $G/N$ sono risolubili allora anche il gruppo $G$ è risolubile. Attraverso questa proprietà si dimostra che il prodotto diretto di un numero finito di gruppi risolubili è ancora risolubile.

Una caratterizzazione dei gruppi risolubili può essere data anche attraverso la sua serie derivata: detto $G'$ il sottogruppo derivato di $G$, cioè il sottogruppo generato dai commutatori di $G$ (gli elementi nella forma $xyx^{-1}y^{-1}$ al variare di $x$ e $y$ in $G$), un gruppo è risolubile se e solo se la successione

$G\supseteq G'\supseteq G''\cdots \supseteq G^{(m)}\cdots$

in cui ogni sottogruppo è il derivato del precedente, raggiunge il sottogruppo banale $\{e\}$, oppure, in modo equivalente, se esiste un $n\in \mathbb {N}$ tale che

$G^{(n)}=\{e\}$

Per i gruppi finiti, la risolubilità equivale all'esistenza di una serie di composizione i cui fattori siano tutti gruppi semplici abeliani; questo non vale per i gruppi infiniti, perché, ad esempio, sebbene $\mathbb {Z}$ degli interi sia risolubile (perché abeliano) ha ogni sottogruppo non banale isomorfo a sé stesso, e quindi non possiede una serie di composizione.

Bibliografia

• Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico, Padova, Decibel-Zanichelli, 1996, ISBN 978-88-08-16270-0.
• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Gruppo risolubile, su MathWorld, Wolfram Research.
• Sequenza degli ordini dei gruppi finiti non risolubili sull'On-Line Encyclopedia of Integer Sequences