Anello artiniano

In algebra astratta, un anello artiniano è un anello in cui ogni successione decrescente di ideali è stazionaria (condizione della catena discendente). Come scoperto da Emil Artin, questa tipologia di anelli riunisce sotto la medesima classificazione due classi di anelli con proprietà simili:

• anelli formati da un numero finito di elementi;
• anelli che sono spazi vettoriali a dimensione finita su un campo.

Definizione

Per un generico anello, esistono più definizioni di anello artiniano:

• anello artiniano sinistro: anello i cui ideali sinistri soddisfano la condizione della catena discendente;
• anello artiniano destro: anello i cui ideali destri soddisfano la condizione della catena discendente;
• anello artiniano propriamente detto (o artiniano bilatero): anello artiniano destro e sinistro.

Se l'anello è commutativo, le tre definizioni sopra coincidono. Le definizioni coincidono anche per le due classi di anelli citate nell'introduzione.

Proprietà

• Il teorema di Artin-Wedderburn caratterizza gli anelli semplici artiniani come anelli di matrici su anelli con divisione; gli anelli artiniani semplici sono inoltre tutti bilateri;

• ogni anello artiniano sinistro (destro) è un anello noetheriano sinistro (destro).

Bibliografia

• Hopkins, Charles (luglio 1939). Rings with minimal condition for left ideals. The Annals of Mathematics 40 (3): 712-730. DOI:10.2307/1968951. URL consultato in data 2007-04-29.

Voci correlate

• Anello noetheriano

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