Teorema delle radici razionali

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In algebra, il teorema delle radici razionali afferma che ogni soluzione razionale di un'equazione polinomiale a coefficienti interi:

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0=0,\quad a_i\in\mathbb Z

è della forma p/q, dove:

  • p è un divisore del termine noto a_0
  • q è un divisore del coefficiente direttore a_n.

Il teorema non dà alcuna informazione su eventuali radici irrazionali o complesse.

Ad esempio, se abbiamo un'equazione della forma

3x^3-10x^2+x-4=0

allora le eventuali radici razionali sono contenute in quest'insieme:

\left\{\pm {4\over3}, \pm {2\over3}, \pm{1\over3}, \pm 4, \pm 2, \pm 1 \right\}.

Se il polinomio è monico, cioè è a_n=1, evidentemente la formula si semplifica restringendo le opzioni tra i soli divisori del termine noto. Il test su ogni singola possibile radice si può ad esempio attuare con la regola di Ruffini; se nessun valore soddisfa le richieste, allora tutte le sue radici (che esistono per il teorema fondamentale dell'algebra) sono irrazionali o complesse. Al contrario, se sono state trovate n radici razionali, allora il polinomio è completamente fattorizzabile in polinomi lineari con coefficienti razionali.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Il teorema delle radici razionali è una diretta conseguenza del Lemma di Gauss, il quale afferma che se un polinomio (a coefficienti interi) è fattorizzabile sui razionali, allora lo è anche sugli interi.

Quindi se esiste una radice razionale p/q, questo significa che potremo scrivere il nostro polinomio iniziale come (qx-p)\cdot(b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_0) con tutti i b_i interi. Facendo il prodotto (i coefficienti intermedi non ci interessano) e sfruttando il fatto che due polinomi sono uguali se e solo se coincidono tutti i coefficienti, avremo a_n=b_{n-1}\cdot q e a_0=b_0\cdot p, da cui il teorema.

In altro modo, supponiamo che la frazione p / q sia una radice del polinomio. Possiamo supporre che la frazione sia ridotta ai minimi termini, ovvero che gli interi p e q siano primi fra loro. Sostituendo si ottiene

a_n(p / q)^n+a_{n-1}(p/q)^{n-1}+...+a_1 (p/q)+a_0=0,

da cui, moltiplicando per q^n,

a_n p^n+a_{n-1} p^{n-1} q+...+a_1 p q^{n-1}+a_0 q^n=0.

Ora p divide i primi n termini, dunque deve dividere anche l'ultimo termine a_0 q^n. Dato che p e q sono primi fra loro, p deve dividere a_0. Con un ragionamento analogo si vede che q divide a_n.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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