Disequazione

In matematica, una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni che contengono delle incognite. In altri termini, dette $f(x_1, x_2, ..., x_n)\;$ e $g(x_1, x_2, ..., x_n)\;$ due funzioni definite in un insieme A, una disequazione nelle variabili $x_1\;$, $x_2\;$, ..., $x_n\;$ è un'espressione della forma:

$f(x_1, x_2, ..., x_n) > g(x_1, x_2, ..., x_n)\;$

oppure

$f(x_1, x_2, ..., x_n) < g(x_1, x_2, ..., x_n)\;$

Risolvere una disequazione significa trovare quell'insieme di valori che, attribuiti alle incognite, la rendono una disuguaglianza effettivamente verificata. Solitamente, le soluzioni di una disequazione sono costituite da uno o più intervalli di valori.

Principi di equivalenza

Due disequazioni si dicono equivalenti se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le disequazioni per trovare l'insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle disuguaglianze:

1. Principio di addizione: aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa espressione, si ottiene una disequazione equivalente. Ciò implica che si può eliminare da entrambi i membri uno stesso termine oppure spostarlo da un membro all'altro cambiandolo di segno (che equivale ad aggiungere il suo opposto).
2. Principio di moltiplicazione: moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una stessa espressione che sia sempre positiva si ottiene una disequazione equivalente alla data; moltiplicando o dividendo per un'espressione negativa, la disequazione sarà controversa alla data. Ciò implica che si può cambiare il segno a tutti i termini di entrambi i membri, purché si cambi anche il verso della disequazione (in effetti, ciò equivale a moltiplicare per $-1\;$).

Risoluzione di una disequazione polinomiale

La risoluzione di una disequazione consiste nel calcolare il/gli intervallo/i di valori dell'incognita per i quali la disequazione è verificata. Tali intervalli includono anche $+ \infty$ e $- \infty$.

Scritta la disequazione in forma canonica (con il termine di grado più alto con coefficiente positivo), bisogna risolvere l'equazione interna associata (di primo, secondo grado), ossia porre uguale a zero il primo membro (contenente il termine noto e tutti i termini che contengono l'incognita). Le soluzioni di questa equazione si dicono zeri.

La fase successiva è lo studio del segno degli zeri. Le soluzioni sono poste in ordine crescente lungo una retta (la retta dei numeri reali) e per ognuna viene studiato il segno, tracciando a partire da tale valore una linea continua per indicare il lato positivo e una tratteggiata per quello negativo (la linea tratteggiata rappresenta una sequenza di "-", mentre quella continua è una "semplificazione" grafica di una sequenza d "+").

Completato lo studio del segno per ognuna delle soluzioni, si effettua il prodotto dei segni, indicando il segno "+" o "-" per tutti gli intervalli di valori, compresi quello da $- \infty$ alla soluzione più piccola e quello dalla soluzione maggiore a $+ \infty$. Il "prodotto" di due linee tratteggiate o di 2 continue determina il segno "+", mentre quello di una tratteggiata seguita da una linea continua il segno "-".

In pratica, se il numero di linee di segno negativo (tratteggiate) è 0 oppure è pari, il segno finale sarà positivo; se invece è dispari, il segno finale sarà negativo.

Il prodotto dei segni serve a scegliere gli intervalli di valori che forniranno la soluzione finale della disequazione. Se il segno della disequazione iniziale in forma canonica era ">", gli intervalli di interesse sono quelli con prodotto dei segni positivo; se "<", quelli col segno "-".

La soluzione è l'unione di questi intervalli di valori (non l'intersezione). Gli intervalli di valori dell'incognita sono quindi separati dal simbolo di disgiunzione.

Tipi di disequazioni

Esistono diversi tipi di disequazioni, divisi in due categorie generali:

• Disequazioni algebriche: sono disuguaglianze tra due espressioni algebriche contenenti una o più variabili incognite che, in generale, sono vere solo per determinati valori (tipicamente degli intervalli) attribuiti alle incognite. L'insieme di tali valori è detto insieme delle soluzioni. Le disequazioni algebriche si possono sempre ricondurre, tramite opportuni passaggi algebrici, ad una delle quattro forme $f(x)>0\;$, $f(x)\geq 0\;$ $f(x)<0\;$ o $f(x)\leq 0\;$ dove $f(x)\;$ è un polinomio. Il grado di una disequazione è il grado del polinomio $f(x)\;$. Di queste fanno parte:
  • Disequazioni lineari.
  • Disequazioni quadratiche.
  • Disequazioni cubiche.
  • Disequazioni irrazionali.
• Disequazioni trascendenti: sono disequazioni contenenti funzioni trascendenti dell'incognita e, quindi, non riconducibili ad un polinomio uguagliato a zero. Le disequazioni trascendenti non sono, in generale, risolvibili esattamente, mentre i metodi per una risoluzione approssimata sono forniti dall'analisi numerica. Tra le disequazioni trascendenti più comuni vi sono:
  • Disequazioni trigonometriche.
  • Disequazioni esponenziali.
  • Disequazioni logaritmiche.

Voci correlate

• Disuguaglianza (matematica)
• Equazione
• Teoria degli ordini

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