Disequazione
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In matematica, una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni che contengono delle incognite. In altri termini, dette 
e 
due funzioni definite in un insieme A, una disequazione nelle variabili 
, 
, ..., 
è un'espressione della forma:
oppure
Risolvere una disequazione significa trovare quell'insieme di valori che, attribuiti alle incognite, la rendono una disuguaglianza effettivamente verificata. Solitamente, le soluzioni di una disequazione sono costituite da uno o più intervalli di valori.
Indice |
[modifica] Principi di equivalenza
Due disequazioni si dicono equivalenti se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le disequazioni per trovare l'insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle disuguaglianze:
- Principio di addizione: aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa espressione, si ottiene una disequazione equivalente. Ciò implica che si può eliminare da entrambi i membri uno stesso termine oppure spostarlo da un membro all'altro cambiandolo di segno (che equivale ad aggiungere il suo opposto).
- Principio di moltiplicazione: moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una stessa espressione che sia sempre positiva si ottiene una disequazione equivalente alla data; moltiplicando o dividendo per un'espressione negativa, la disequazione sarà controversa alla data. Ciò implica che si può cambiare il segno a tutti i termini di entrambi i membri, purché si cambi anche il verso della disequazione (in effetti, ciò equivale a moltiplicare per
).
[modifica] Risoluzione di una disequazione polinomiale
La risoluzione di una disequazione consiste nel calcolare il/gli intervallo/i di valori dell'incognita per i quali la disequazione è verificata. Tali intervalli includono anche 
e 
.
Scritta la disequazione in forma canonica (con il termine di grado più alto con coefficiente positivo), bisogna risolvere l'equazione interna associata (di primo, secondo grado), ossia porre uguale a zero il primo membro (contenente il termine noto e tutti i termini che contengono l'incognita). Le soluzioni di questa equazione si dicono zeri.
La fase successiva è lo studio del segno degli zeri. Le soluzioni sono poste in ordine crescente lungo una retta (la retta dei numeri reali) e per ognuna viene studiato il segno, tracciando a partire da tale valore una linea continua per indicare il lato positivo e una tratteggiata per quello negativo (la linea tratteggiata rappresenta una sequenza di "-", mentre quella continua è una "semplificazione" grafica di una sequenza d "+").
Completato lo studio del segno per ognuna delle soluzioni, si effettua il prodotto dei segni, indicando il segno "+" o "-" per tutti gli intervalli di valori, compresi quello da alla soluzione più piccola e quello dalla soluzione maggiore a . Il "prodotto" di due linee tratteggiate o di 2 continue determina il segno "+", mentre quello di una tratteggiata seguita da una linea continua il segno "-".
In pratica, se il numero di linee di segno negativo (tratteggiate)è 0 oppure è pari, il segno finale sarà positivo; se invece è dispari, il segno finale sarà negativo.
Il prodotto dei segni serve a scegliere gli intervalli di valori che forniranno la soluzione finale della disequazione. Se il segno della disequazione iniziale in forma canonica era ">", gli intervalli di interesse sono quelli con prodotto dei segni positivo; se "<", quelli col segno "-".
La soluzione è l'unione di questi intervalli di valori (non l'intersezione). Gli intervalli di valori dell'incognita sono quindi separati dal simbolo di disgiunzione.
[modifica] Tipi di disequazioni
Esistono diversi tipi di disequazioni:
- Disequazioni algebriche, riconducibili a polinomi, tra cui:
- Disequazioni trascendenti, tra cui:
