Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)

In matematica, e più precisamente in teoria dei gruppi, il Teorema di Lagrange afferma che un sottogruppo di un gruppo finito ha ordine (cioè numero di elementi), che divide l'ordine del gruppo.

Conseguenze

Dal Teorema di Lagrange segue che l'ordine di un elemento di un gruppo finito divide l'ordine del gruppo. L'ordine di un elemento $a$ in un gruppo finito è il più piccolo intero positivo $m$ tale che $a^m$ sia l'identità. Ciò si mostra facendo vedere che l'ordine di $a$ coincide con l'ordine del sottogruppo ciclico generato da $a$.

Da questo segue anche che un gruppo che abbia un numero primo di elementi è ciclico, generato da un qualsiasi elemento diverso dall'identità.

Cenno di dimostrazione

La prima parte della dimostrazione si applica a qualsiasi gruppo $G$ e a un suo sottogruppo $H$. Si dimostra che l'insieme

$\{ a H : a \in G \}$

delle classi laterali (sinistre)

$aH=\{ ah : h \in H \}$

di $H$ in $G$ forma una partizione di $G$, ovvero $G$ è unione delle classi laterali, e due classi laterali distinte non hanno elementi in comune. Inoltre per ogni $a \in G$ la funzione $H \to a H$ che manda $h \in H$ in $a h$ è una biezione.

Nel caso che $G$ sia finito, ogni classe laterale ha dunque ordine eguale all'ordine $| H |$ di $H$. Se si denota con $| G : H |$ l'indice di $H$ in $G$ (ovvero il numero di classi laterali distinte) si ha

$|G| = |H| \cdot |G:H|.$

In particolare l'ordine $| H |$ di $H$ divide l'ordine $| G |$ di $G$.

Il Teorema di Lagrange si trova anche enunciato nella forma seguente:

$|G| = |H| \cdot |G:H|$

che compare nel corso della dimostrazione precedente.

Viceversa

Non vale in generale l'inverso del Teorema di Lagrange, cioè se $m$ è un intero positivo che divide l'ordine $n = |G|$ del gruppo finito $G$, non è detto che $G$ abbia un sottogruppo di ordine $m$. Per esempio il gruppo alterno $A_4$ ha ordine 12, ma non ha sottogruppi di ordine 6. L'inverso vale però se $m$ è la potenza di un primo. Quest'ultimo risultato è uno dei Teoremi di Sylow.

Voci correlate

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