Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)

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In matematica, e più precisamente in teoria dei gruppi, il Teorema di Lagrange afferma che un sottogruppo di un gruppo finito ha ordine (cioè numero di elementi), che divide l'ordine del gruppo.

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

Dal Teorema di Lagrange segue che l'ordine di un elemento di un gruppo finito divide l'ordine del gruppo. L'ordine di un elemento a in un gruppo finito è il più piccolo intero positivo m tale che a^m sia l'identità. Ciò si mostra facendo vedere che l'ordine di a coincide con l'ordine del sottogruppo ciclico generato da a.

Da questo segue anche che un gruppo che abbia un numero primo di elementi è ciclico, generato da un qualsiasi elemento diverso dall'identità.

Cenno di dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La prima parte della dimostrazione si applica a qualsiasi gruppo G e a un suo sottogruppo H. Si dimostra che l'insieme

\{ a H : a \in G \}

delle classi laterali (sinistre)

aH=\{ ah : h \in H \}

di H in G forma una partizione di G, ovvero G è unione delle classi laterali, e due classi laterali distinte non hanno elementi in comune. Inoltre per ogni a \in G la funzione H \to a H che manda h \in H in a h è una biezione.

Nel caso che G sia finito, ogni classe laterale ha dunque ordine eguale all'ordine | H | di H. Se si denota con | G : H | l'indice di H in G (ovvero il numero di classi laterali distinte) si ha

|G| = |H| \cdot |G:H|.

In particolare l'ordine | H | di H divide l'ordine | G | di G.

Il Teorema di Lagrange si trova anche enunciato nella forma seguente:

|G| = |H| \cdot |G:H|

che compare nel corso della dimostrazione precedente.

Viceversa[modifica | modifica wikitesto]

Non vale in generale l'inverso del Teorema di Lagrange, cioè se m è un intero positivo che divide l'ordine n = |G| del gruppo finito G, non è detto che G abbia un sottogruppo di ordine m. Per esempio il gruppo alterno A_4 ha ordine 12, ma non ha sottogruppi di ordine 6. L'inverso vale però se m è la potenza di un primo. Quest'ultimo risultato è uno dei Teoremi di Sylow.


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