Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)

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In matematica, il teorema di Lagrange è un teorema basilare nello studio dei gruppi finiti. Afferma che un sottogruppo di un gruppo finito ha ordine (cioè numero di elementi) che divide l'ordine del gruppo.

Prende nome da Joseph-Louis Lagrange.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La prima parte della dimostrazione si applica a qualsiasi gruppo G e a un suo sottogruppo H. Si considera l'insieme

\{ a H : a \in G \}

delle classi laterali (sinistre)

aH=\{ ah : h \in H \}

di H in G; questo forma una partizione di G, ovvero G è unione delle classi laterali, e due classi laterali distinte non hanno elementi in comune. Inoltre per ogni a \in G la funzione H \to a H che manda h \in H in a h è una biezione.

Nel caso in cui G è finito, ogni classe laterale ha dunque ordine eguale all'ordine |H| di H. Se si denota con [G:H] l'indice di H in G (ovvero il numero di classi laterali distinte) si ha quindi

|G| = |H| \cdot [G:H].

In particolare, l'ordine |H| di H divide l'ordine |G| di G.

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

Dal teorema di Lagrange segue che, se G è un gruppo finito, l'ordine di ogni suo elemento a (ovvero il più piccolo intero positivo m tale che a^m sia l'identità) divide l'ordine di G: questo segue dal fatto che l'ordine di a coincide con l'ordine del sottogruppo ciclico generato da a. Un'altra conseguenza è che, se l'ordine di un gruppo è un numero primo, allora esso è ciclico, generato da un qualsiasi elemento diverso dall'identità. Più in generale, il teorema è un primo passo nello studio della struttura dei gruppi finiti.

Viceversa[modifica | modifica wikitesto]

In generale, l'inverso del teorema di Lagrange non vale; ovvero, se m è un intero positivo che divide l'ordine di G, non è detto che G abbia un sottogruppo di ordine m. Per esempio, il gruppo alterno A_4 ha ordine 12, ma non ha sottogruppi di ordine 6. Lo stesso vale per ogni gruppo semplice finito di ordine 2n pari: infatti, un sottogruppo di ordine n sarebbe normale, contro l'ipotesi che il gruppo è semplice.

L'inverso vale però se m è la potenza di un primo: questo risultato è uno dei teoremi di Sylow. Un altro caso in cui il teorema di Lagrange si inverte è quando il gruppo G è abeliano o, più in generale, quando è nilpotente.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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