Gruppo diedrale

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Il gruppo diedrale di ordine 2n è il gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari a n lati.

L'aggettivo diedrale deriva da diedro (dal greco: solido a due facce), che a sua volta origina dalla possibilità di considerare un poligono come un solido degenere ad altezza nulla.

Il gruppo diedrale viene usualmente indicato con \mbox{D}_n; si usano anche le notazioni \mbox{Dih}_n e \mbox{D}_{2n}.

Gli elementi del gruppo diedrale[modifica | modifica wikitesto]

Gli elementi base del gruppo sono le rotazioni del poligono pari all'n-esima parte dell'angolo giro, e la riflessione attorno ad un asse di simmetria del poligono. Esistono in tutto n rotazioni possibili e n assi di simmetria per un poligono di n lati, per cui il gruppo diedrale corrispondente è formato da 2n elementi.

Una rotazione del pentagono di \frac{360^\circ}{5}=72^\circ=\frac{2 \pi}{5}\mbox{rad}
Una riflessione del pentagono attorno al proprio asse di simmetria


Indicato con r la rotazione di \frac {2 \pi}{n} radianti in senso antiorario, e s la riflessione attorno ad uno degli assi di simmetria, valgono le seguenti relazioni:

  • r^n = 1: dopo n rotazioni si ritorna sui vertici di partenza;
  • s^2 = 1: due riflessioni consecutive si annullano;
  • r^k s = s r^{n-k}: in particolare, il gruppo non è commutativo;
  • ogni simmetria si può ottenere come composizione di s e di un adeguato numero di rotazioni r;
  • la composizione di due rotazioni o due riflessioni è una rotazione; la composizione di una rotazione e una riflessione è una riflessione.

Segue che è possibile generare tutto il gruppo da r ed s; in alternativa, poiché due riflessioni consecutive sono uguali ad una rotazione, si può generare il gruppo a partire da due riflessioni s_1 e s_2 (pertanto il gruppo diedrale è di Coxeter).


Un rotazione si può ottenere come la composizione di due riflessioni

Definizioni equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

È possibile dare per il gruppo diedrale numerose definizioni equivalenti alla precedente:

\langle r, s \mid r^n = 1, s^2 = 1, srs = r^{-1} \rangle
oppure
\langle s_1, s_2 \mid s_1^2 = s_2^2 = (s_1 s_2)^n = 1 \rangle;

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Proprietà che dipendono dalla parità dei lati[modifica | modifica wikitesto]

Gli assi di simmetria di un poligono sono disposti in maniera diversa, a seconda che il numero dei suoi lati sia pari (metà degli assi passano per i vertici e metà passano per il centro dei lati) oppure dispari (ogni asse passa per un vertice e il centro del lato opposto). Questo comporta che alcune delle proprietà del gruppo diedrale associato possono variare a seconda della parità di n:

  • il centro del gruppo, ovvero l'insieme degli elementi che commutano con tutto il gruppo, è formato dalla sola identità se n è dispari, mentre contiene anche l'elemento a^{\frac{n}{2}} se n è pari.
  • se n è dispari, tutte le riflessioni appartengono alla stessa classe di coniugio; se invece n è pari esistono due classi di coniugio separate: le riflessioni attorno agli assi passanti per i vertici e quelle attorno agli assi passanti per i lati non sono collegabili fra di loro mediante rotazioni.

Gruppi diedrali piccoli[modifica | modifica wikitesto]

Il caso n=1 è considerato degenere e non è menzionato da molti autori; si può considerare come il gruppo composto dalla sola rotazione di 2 \pi e dalla simmetria lungo una qualunque retta; corrisponde al gruppo \mathbb{Z}_2.

Il caso n=2 (simmetrie del piano che lasciano invariato un 2-agono, cioè un segmento) è generato dalla rotazione di \pi e dalla riflessione attorno all'asse del segmento. Queste due trasformazioni, pur essendo identiche sui punti del segmento, non lo sono per l'intero piano. Il gruppo è isomorfo a \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 (gruppo di Klein).

\mbox{D}_1 e \mbox{D}_2 sono gli unici gruppi diedrali commutativi.

Gruppi diedrali e radici dell'unità[modifica | modifica wikitesto]

L'insieme delle radici n-esime dell'unità, dato da

\left\{ r_k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i \sin \frac{2\pi k}{n} :\, k = 0,\,1,\, \ldots,\,n-1 \right\} \subseteq (\mathbb{C})

sul piano complesso corrisponde ai vertici di un poligono a n lati. La moltiplicazione per r_1 corrisponde alla rotazione di \frac {2 \pi}{n}, mentre l'operazione di coniugazione complessa \overline{x + iy} = x - iy corrisponde alla riflessione lungo l'asse reale. Segue che il gruppo generato a partire da queste due operazioni, con l'operazione di composizione, è il gruppo diedrale di ordine n.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Gruppo diedrale infinito[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo diedrale ha tra i suoi generatori una rotazione a che è un multiplo razionale dell'angolo giro, per cui esiste sempre un intero n per cui a^n è l'identità, e il gruppo generato è di ordine finito; se invece consideriamo rotazioni che non sono multiple razionali di 2 \pi, non esiste alcuna loro potenza che sia l'identità; segue che il gruppo generato (indicato con D_\infty) ha infiniti elementi.

La sua presentazione è data da \langle r, s \mid s^2 = 1, srs = r^{-1} \rangle oppure \langle s_1, s_2 \mid s_1^2 = s_2^2 = 1 \rangle.

Gruppo diedrale generalizzato[modifica | modifica wikitesto]

Dato un gruppo commutativo H, il gruppo diedrale generalizzato di H, che si indica con \mbox{D}(H), è il prodotto semidiretto di H e di \mathbb{Z}_2, con \mathbb{Z}_2 che agisce su H per inversione.

Valgono cioè le regole di moltiplicazione:


\begin{matrix}
\forall h_1 ,\, h_2 \in H ,\, t_2 \in \mathbb{Z}_2 : \\
(h_1, 0) \cdot (h_2, t_2) &=& (h_1 + h_2, t_2) \\
(h_1, 1) \cdot (h_2, t_2) &=& (h_1 - h_2, 1 + t_2) 
\end{matrix}

Poiché \mbox{D}(\mathbb{Z}_n) = \mbox{D}_n e \mbox{D}(\mathbb{Z}) = \mbox{D}_\infty, questa definizione estende quella di gruppo diedrale di un poligono. Gli elementi del tipo (h, 0) corrispondono alle rotazioni e formano un sottogruppo normale di \mbox{D}(H) isomorfo ad H, mentre gli elementi del tipo (h,1) corrispondono alle riflessioni.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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