Presentazione di un gruppo

In matematica, una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elencazione dei seguenti insiemi:

• i generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo;
• le relazioni, ovvero una serie di uguaglianze tra i vari elementi del gruppo.

Definizione

La definizione formale di una presentazione necessita di alcune definizioni preliminari, che vengono date nel seguito.

Parole

Consideriamo un insieme $I$; per ogni $x \in I$ definiamo un ulteriore elemento $x^{-1}$; una parola è qualunque prodotto formale finito

$y_1 y_2 \ldots y_n$,

dove $y = x$ oppure $y = x^{-1}$, con $x \in I$. Definiamo anche la parola vuota come il prodotto formato da nessun fattore.

Una parola è detta ridotta se non esistono due elementi $x$ e $x^{-1}$ contigui. È sempre possibile ottenere una parola ridotta eliminando tali elementi contigui (ovvero sostituendoli con la parola vuota); due parole sono considerate equivalenti se generano la stessa parola ridotta. Possiamo inoltre utilizzare le seguenti scritture abbreviate:

$\begin{matrix} x^n & = & \underbrace{x x \ldots x}\\ & & n \mbox{ volte}\\ x^{-n} & = & \underbrace{x^{-1} x^{-1} \ldots x^{-1}}.\\ & & n \mbox{ volte} \end{matrix}$

Gruppo libero

Definiamo come prodotto tra due parole ridotte la parola che si ottiene concatenando le due parole di partenza, e riducendo se necessario il risultato finale. L'insieme delle parole ridotte dotato di questa operazione è un gruppo chiamato gruppo libero sull'insieme $I$ e indicato con $\langle I \rangle$. L'elemento neutro è la parola vuota, mentre l'inverso di una parola è ottenuto scrivendo i fattori in ordine inverso e scambiando il fattore $x$ con il fattore $x^{-1}$ e viceversa.

Presentazione di un gruppo

Consideriamo un insieme $S$, il gruppo libero $\langle S \rangle$ e un sottoinsieme $R \subseteq \langle S \rangle$ formato da parole di $S$. Il gruppo di presentazione $\langle S \mid R \rangle$ è definito come il più grande gruppo quoziente di $\langle S \rangle$ tale che ogni elemento di $R$ è identificato con l'identità.

Detto $N$ il più piccolo sottogruppo normale contenente $R$ (chiusura normale di $R$), si dimostra che:

$\langle S \mid R \rangle = \frac{\langle S \rangle}{N}$

Gli elementi di $S$ sono detti generatori di $\langle S \mid R \rangle$, gli elementi di $R$ sono detti relatori; questi elementi esprimono in effetti delle relazioni di uguaglianza tra gli elementi di $S$, che nella loro forma più semplice possono essere espressi come $x = 1$, dove $x \in R$ e $1$ è l'identità di $\langle S \mid R \rangle$.

Presentazioni finite

Una presentazione $\langle S \mid R \rangle$ è detta finitamente generata se l'insieme $S$ dei generatori è finito, finitamente relazionata se è finito l'insieme $R$ delle relazioni, finita se sono finiti sia $S$ che $R$.

Ogni gruppo finito possiede una presentazione finita, che si ricava direttamente dalla sua tavola di composizione: è sufficiente prendere $S = G$ e $R$ come l'insieme formato da tutti gli elementi del tipo $g_i g_j g_k^{-1}$, dove $g_i g_j = g_k$ è una entrata della tavola di composizione.

Presentazione ricorsiva

Se $S$ è indicizzato da un insieme $I \subseteq \mathbb{N}$, esiste una funzione biiettiva $f:\langle S \rangle \rightarrow\mathbb{N}$ e un algoritmo che, dato $f(w) \in \mathbb{N}$ permette di trovare $w \in \langle S \rangle$ e viceversa (numerazione di Gödel). Dato un insieme $U \subseteq \langle S \rangle$, diciamo che $U$ è ricorsivo o ricorsivamente numerabile se lo è $f(U) \in \mathbb{N}$.

Se l'insieme delle relazioni è ricorsivamente numerabile, la presentazione è detta ricorsiva; in questo caso è sempre possibile trovare una presentazione del gruppo per cui l'insieme delle relazioni è ricorsivo (giustificando la sovrapposizione delle due notazioni).

Ogni gruppo finito ha una presentazione ricorsiva, mentre non è vero l'inverso. Un teorema dovuto a Graham Higman stabilisce che un gruppo finitamente generato ha una presentazione ricorsiva se e solo se è immerso in un gruppo a presentazione ricorsiva. Segue che, a meno di isomorfismi, esiste solo una quantità numerabile di gruppi a presentazione ricorsiva. Bernhard Neumann ha mostrato che esiste una quantità più che numerabile di gruppi a due generatori; pertanto esistono gruppi finitamente generati che non possono essere presentati ricorsivamente.

Proprietà

Per le presentazioni di un gruppo valgono le seguenti proprietà:

• ogni gruppo ha una presentazione;
• ogni gruppo finito ha una presentazione finita;
• in generale, esistono delle presentazioni per le quali nessun algoritmo è in grado di decidere se due parole descrivano lo stesso elemento del gruppo (problema delle parole);
• dati due gruppi $G$ e $H$ di presentazioni $\langle S \mid R \rangle$ e $\langle T \mid Q \rangle$, con $S$ e $T$ disgiunti, il prodotto libero $G \star H$ ha presentazione $\langle S, T \mid R, Q \rangle$;
• dati due gruppi $G$ e $H$ di presentazioni $\langle S \mid R \rangle$ e $\langle T \mid Q \rangle$, con $S$ e $T$ disgiunti, il prodotto diretto $G \times H$ ha presentazione $\langle S, T \mid R, Q, [S,T] \rangle$;

Esempi di presentazioni di gruppi

Nella tabella seguente sono riportate alcune presentazioni di gruppi di uso comune; molti di questi gruppi possiedono numerose altre possibili presentazioni che qui non sono riportate.

Gruppo	Presentazione	Note
Gruppo libero su $S$	$\langle S \mid \varnothing \rangle$	Un gruppo libero non è soggetto ad alcuna relazione tra i suoi elementi.
Gruppo libero abeliano su $S$	$\langle S \mid R \rangle$, dove $R$ è l'insieme di tutti i commutatori di $S$.
Gruppo simmetrico $S_n$	$\langle \sigma_1, \ldots , \sigma_{n-1} \mid \sigma_i^2 , [ \sigma_i, \sigma_j], \sigma_i [ \sigma_{i+1} \sigma_i ] \sigma_{i+1}^{-1} \rangle$, dove la seconda relazione vale per $j \neq i \pm 1$.	La terza relazione si può sostituire con $(\sigma_i \sigma_{i+1})^3$, utilizzando la prima relazione. $\sigma_i$ è la permutazione che scambia l'i-esimo elemento con l'i+1-esimo. Il prodotto $\sigma_i \sigma_{i+1}$ è un 3-ciclo sull'insieme $\{ i, i + 1, i + 2 \}$.
Gruppo di trecce $B_n$	$\langle \sigma_1, \ldots , \sigma_{n-1} \mid [ \sigma_i, \sigma_j], \sigma_i [ \sigma_{i+1} \sigma_i ] \sigma_{i+1}^{-1} \rangle$, dove la prima relazione vale per $j \neq i \pm 1$.	L'unica differenza con il gruppo simmetrico è la mancanza della relazione ${\sigma_i}^2 = 1$.
$C_n$, gruppo ciclico di ordine n	$\langle a \mid a^n \rangle$
$D_{2n}$, gruppo diedrale di ordine n	$\langle r, f \mid r^n, f^2, (rf)^2 \rangle$	$r$ rappresenta una rotazione, $f$ una riflessione.
$D_\infty$, gruppo diedrale infinito	$\langle r, f \mid f^2, (rf)^2 \rangle$
$Dic_n$, gruppo diciclico	$\langle r, f \mid r^{2n}, r^n f^{-2}, frf^{-1}r \rangle$
Gruppo dei quaternioni $Q$	$\langle i, j \mid i^4, i^2 j^2, ijij^{-1} \rangle$	Equivale al gruppo diciclico $Dic_2$.
Il gruppo tetraedrale $T \cong A_4$	$\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^3 \rangle$	È il gruppo delle simmetrie di un tetraedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo ottaedrale$O \cong S_4$	$\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^4 \rangle$	È il gruppo delle simmetrie di un ottaedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo icosaedrale $I \cong A_5$	$\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^5 \rangle$	È il gruppo delle simmetrie di un icosaedro che conservano l'orientamento.
$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$	$\langle x, y \mid [x, y] \rangle$
$\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$	$\langle x, y \mid x^m, y^n, [x, y] \rangle$

Bibliografia

• (EN) D. L. Johnson, Presentations of Groups. Cambridge, Cambridge University, 1990. ISBN 0-521-37824-9

• (EN) H. S. M Coxeter, W. O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups. New York, Springer-Verlag, 1980. ISBN 0-387-09212-9

Voci correlate

• Insieme di generatori
• Tavola dei gruppi piccoli
• Teorema di Van Kampen, un esempio di teorema che fa uso di presentazioni di gruppi.

Collegamenti esterni

• (EN) Gruppi e grafi di Cayley

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