Campo di spezzamento

In algebra, un campo di spezzamento (o campo di riducibilità completa) di un polinomio p(x) definito su un campo K è un'estensione L di K su cui il polinomio p si fattorizza come

$p(x) = (x-r_1)\dots (x-r_n)$

e tale che le radici $r_1,\ldots, r_n$ generino L su K.

Ogni campo K ha un unico campo di spezzamento (a meno di isomorfismo).

Se A è un campo algebricamente chiuso contenente K, esiste un unico campo di spezzamento L di p contenuto in A. In questo modo, i campi di spezzamento dei polinomi su K possono essere visti come particolari sottocampi di A

Esempi

• Se K = Q è il campo dei numeri razionali e

  $p(x) = x^3-2.$

  Poiché C è algebricamente chiuso, esiste un unico sottocampo di C che è campo di spezzamento per p, ed è il sottocampo generato (su Q) dalle 3 radici complesse di 2 (una di queste è reale).
• Il campo di spezzamento di $x^2+1$ sul campo R dei numeri reali è tutto C.
• Il campo di spezzamento di $x^{p^n} -x$ sul campo Z/_p delle classi di resto modulo p (dove p è un numero primo) è un campo finito di ordine pⁿ.

Voci correlate

• Campo finito

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