Estensione di Galois

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In matematica, un'estensione di Galois è un'estensione algebrica E/F che soddisfa le condizioni descritte qui sotto. Il senso è che un'estensione di Galois ha un gruppo di Galois e obbedisce al teorema fondamentale della teoria di Galois. La teoria di Galois si occupa essenzialmente dello studio delle estensioni di Galois.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'estensione E/F si dice di Galois se il campo fisso del gruppo degli F-automorfismi di E \mathrm{Aut}(E/F) è esattamente il campo di base F, in questo caso il gruppo \mathrm{Aut}(E/F) è detto gruppo di Galois e si indica con \mathrm{Gal}(E/F).

Un risultato di Emil Artin permette di costruire estensioni di Galois nel modo seguente. Se E è un campo assegnato e G è un gruppo finito di automorfismi di E, allora E/F è un'estensione di Galois, e F è il campo fisso di G.

Caratterizzazione delle estensioni di Galois[modifica | modifica wikitesto]

Un importante teorema di Emil Artin asserisce che un'estensione finita E/F è di Galois se, e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:

Se si toglie la richiesta della finitezza dell'estensione E/F tale risultato si generalizza e si ha che E/F è di Galois se, e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:

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