Estensione di Galois

In matematica, un'estensione di Galois è un'estensione algebrica E/F che soddisfa le condizioni descritte qui sotto. Il senso è che un'estensione di Galois ha un gruppo di Galois e obbedisce al teorema fondamentale della teoria di Galois. La teoria di Galois si occupa essenzialmente dello studio delle estensioni di Galois.

Definizione

L'estensione E/F si dice di Galois se il campo fisso del gruppo di Galois $Gal(E/F)$ è esattamente il campo di base F.

Un risultato di Emil Artin permette di costruire estensioni di Galois nel modo seguente. Se E è un campo assegnato e G è un gruppo finito di automorfismi di E, allora E/F è un'estensione di Galois, e F è il campo fisso di G.

Caratterizzazione delle estensioni di Galois

Un importante teorema di Emil Artin asserisce che un'estensione finita E/F è di Galois se, e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:

• E/F è un'estensione normale e separabile;
• E è il campo di spezzamento di un polinomio separabile a coefficienti in F;
• [E:F] = |Aut(E/F)|; ovvero, il grado dell'estensione è uguale all'ordine del gruppo degli automorfismi di E/F.

Se si toglie la richiesta della finitezza dell'estensione E/F tale risultato si generalizza e si ha che E/F è di Galois se, e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:

• E/F è un'estensione normale e separabile;
• E è il campo di spezzamento di una famiglia di polinomi separabili a coefficienti in F;

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