Estensione normale

In matematica, e in particolare in teoria dei campi, un'estensione normale è un'estensione di campi algebrica E di un campo F tale che ogni polinomio irriducibile in F[x] che ha una radice in E si spezza completamente in E[x].

Proprietà

Vi sono molte caratterizzazioni equivalenti delle estensioni normali. Si ha infatti che per un'estensione di campi E/F le seguenti affermazioni sono equivalenti:

• L'estensione E/F è normale,
• E è il campo di spezzamento su F di una famiglia di polinomi di F[x],
• Ogni automorfismo della chiusura algebrica Ē di E che fissa F manda E in sé.

Inoltre, se l'estensione E è separabile allora essa è normale se e solo se è di Galois.

Si ha poi che seE/F è un'estensione normale e se L è un intercampo allora anche l'estensione E/L è normale. Infine, se G è un'altra estensione normale di G allora anche EG/F (ove EG è il campo generato da E e da G) e E ∩G/F sono estensioni normali.

Esempi

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ è un'estensione normale di $\mathbb{Q}$ in quanto esso è il campo di spezzamento di $x^2-2$. D'altra parte $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ non è un'estensione normale di $\mathbb{Q}$ dato che $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ contiene la radice $\sqrt[3]{2}$ del polinomio $x^3-2$ ma non contiene le altre (non contiene le due radici cubiche non reali di 2).

Un esempio particolare di estensione normale di un campo è dato dalla chiusura algebrica del campo stesso, in quanto ogni polinomio di tale campo si riduce completamente nell'anello dei polinomi della chiusura algebrica.

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