Estensione normale

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In matematica, e in particolare in teoria dei campi, un'estensione normale è un'estensione di campi algebrica E di un campo F tale che ogni polinomio irriducibile in F[x] che ha una radice in E si spezza completamente in E[x].

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Vi sono molte caratterizzazioni equivalenti delle estensioni normali. Si ha infatti che per un'estensione di campi E/F le seguenti affermazioni sono equivalenti:

Inoltre, se l'estensione E è separabile allora essa è normale se e solo se è di Galois.

Si ha poi che seE/F è un'estensione normale e se L è un intercampo allora anche l'estensione E/L è normale. Infine, se G è un'altra estensione normale di F allora anche EG/F (ove EG è il campo generato da E e da G) e EG/F sono estensioni normali.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

\mathbb{Q}(\sqrt{2}) è un'estensione normale di \mathbb{Q} in quanto esso è il campo di spezzamento di x^2-2. D'altra parte \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) non è un'estensione normale di \mathbb{Q} dato che \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) contiene la radice \sqrt[3]{2} del polinomio x^3-2 ma non contiene le altre (non contiene le due radici cubiche non reali di 2).

Un esempio particolare di estensione normale di un campo è dato dalla chiusura algebrica del campo stesso, in quanto ogni polinomio di tale campo si riduce completamente nell'anello dei polinomi della chiusura algebrica.

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