Disequazione con il valore assoluto

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Il grafico della funzione valore assoluto

In matematica una disequazione con valore assoluto è una disequazione del tipo \left | f(x) \right |  \gtreqless g(x) , dove :

Caso particolare: g(x) funzione costante[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo prima di tutto il caso in cui g(x)=k \in \R . Si ha pertanto \left | f(x) \right | \gtreqless k

Le disequazioni di questo tipo si possono risolvere in maniera meccanica a seconda del valore di k , sfruttando il fatto che il valore assoluto di un numero è sempre maggiore o uguale a 0 .

k < 0[modifica | modifica wikitesto]

  • \left | f(x) \right | \le k
Non può mai capitare che il primo membro sia minore o uguale a un numero negativo. La disequazione è impossibile.
  • \ \left | f(x) \right | < k
Non può mai capitare che il primo membro sia minore di un numero negativo. La disequazione è impossibile.
  • \left | f(x) \right | \ge k
Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore o uguale di un numero negativo.

La soluzione è  \forall x \in D, dove D è il dominio di f

  • \left | f(x) \right | > k
Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore di un numero negativo.

La soluzione è  \forall x \in D, dove D è il dominio di f

k = 0[modifica | modifica wikitesto]

  • \left | f(x) \right | < 0
Il primo membro non potrà mai essere minore di zero. La disequazione è impossibile.
  • \left | f(x) \right | \le 0
Le uniche soluzioni sono quelle che rendono il primo membro uguale a zero, quindi risolvere questa disequazione è equivalente a risolvere l'equazione  f(x) = 0
  • \left | f(x) \right | > 0
Vanno bene tutti i valori tranne quelli che rendono nulla f(x). Pertanto in questo caso bisogna risolvere f(x) \ne 0
  • \left | f(x) \right | \ge 0
Qualunque elemento del dominio è accettato: la soluzione è  \forall x \in D, sempre con D dominio di f

k > 0[modifica | modifica wikitesto]

In questo caso ci si riporta a disequazioni senza valore assoluto

  • \left | f(x) \right | < k
È equivalente a - k < f(x) < k , cioè al sistema \begin{cases}
f(x) > -k \\
f(x) < k
\end{cases}
  • \left | f(x) \right | \le k
È equivalente a - k \le f(x) \le k , cioè al sistema \begin{cases}
f(x) \ge -k \\
f(x) \le k
\end{cases}
  • \left | f(x) \right | > k
È equivalente a  f(x) < -k \quad \vee \quad f(x) > k
  • \left | f(x) \right | \ge k
È equivalente a  f(x) \le -k \quad \vee \quad f(x) \ge k

Caso generale[modifica | modifica wikitesto]

|f(x)| < g(x)[modifica | modifica wikitesto]

La disequazione è equivalente a \begin{cases} 
f(x) \ge 0   \\
f(x) < g(x)
\end{cases} \vee \begin{cases}
f(x) < 0 \\
f(x) > -g(x)
\end{cases}

|f(x)| ≤ g(x)[modifica | modifica wikitesto]

La disequazione è equivalente a \begin{cases} 
f(x) \ge 0   \\
f(x) \le g(x)
\end{cases} \vee \begin{cases}
f(x) < 0 \\
f(x) \ge -g(x)
\end{cases}

|f(x)| > g(x)[modifica | modifica wikitesto]

La disequazione è equivalente a \begin{cases} 
f(x) \ge 0   \\
f(x) > g(x)
\end{cases} \vee \begin{cases}
f(x) < 0 \\
f(x) < -g(x)
\end{cases}

|f(x)| ≥ g(x)[modifica | modifica wikitesto]

La disequazione è equivalente a \begin{cases} 
f(x) \ge 0   \\
f(x) \ge g(x)
\end{cases} \vee \begin{cases}
f(x) < 0 \\
f(x) \le -g(x)
\end{cases}

Presenza di più valori assoluti[modifica | modifica wikitesto]

\left | x-1 \right |+\left | 2x+3 \right |<2

Nel caso siano presenti due o più valori assoluti è necessario aprire i valori assoluti secondo la definizione:

\left | a \right |=

\left\{\begin{matrix}
a & a\ge0\\ 
-a & a<0
\end{matrix}\right.

Quindi nell'esercizio proposto i due valori assoluti diventano

\left | x-1 \right |=
\left\{\begin{matrix}
x-1 & x\ge1\\ 
-(x-1) & x<1
\end{matrix}\right.

e 
\left | 2x+3 \right |=
\left\{\begin{matrix}
2x+3 & x\ge-\frac3 2\\ 
-(2x+3) & x<-\frac3 2
\end{matrix}\right.

Si individuano pertanto gli intervalli dell'asse reale in cui gli argomenti dei valori assoluti mantengono il loro segno, in questo caso ci sono tre intervalli, in tali intervalli i valori assoluti vengono aperti

\begin{cases} 
x <-\frac 3 2   \\
-(x-1)-(2x+3)<2
\end{cases} \vee 

\begin{cases}
-\frac 3 2\le x <1 \\
-(x-1)+(2x+3)<2
\end{cases}\vee 

\begin{cases}
x\ge1 \\
(x-1)+(2x+3)<2
\end{cases}

Le soluzioni dei tre sistemi vanno UNITE nell'insieme di soluzione della disequazione data in partenza.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]



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