Intervallo (matematica)

In matematica, un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi a e b. Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all'intervallo e possono essere infiniti.

Definizione

Formalmente, un sottoinsieme S dei numeri reali R o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi x e y di S, ogni altro elemento z tale che x<z<y sta anch'esso in S.

Gli intervalli di R sono quindi gli insiemi seguenti (dove a e b sono due numeri reali tali che a<b):

1. (a,b) = { x | a < x < b } (intervallo aperto)
2. [a,b] = { x | a ≤ x ≤ b } (intervallo chiuso)
3. [a,b) = { x | a ≤ x < b } (intervallo chiuso a sinistra)
4. (a,b] = { x | a < x ≤ b } (intervallo chiuso a destra)
5. (a,∞) = { x | x > a } (intervallo aperto infinito a destra)
6. [a,∞) = { x | x ≥ a } (intervallo chiuso infinito a destra)
7. (-∞,b) = { x | x < b } (intervallo aperto infinito a sinistra)
8. (-∞,b] = { x | x ≤ b } (intervallo chiuso infinito a sinistra)
9. (-∞,∞) = R (tutta la retta reale)
10. {a} (un punto)
11. l'insieme vuoto

I punti a e b sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra [] indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda () indica che non vi appartiene. Soprattutto in Europa esiste anche una notazione alternativa, che usa ] e [ rispettivamente al posto di ( e ). I primi quattro intervalli hanno lunghezza b - a, i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza zero.

L'intervallo unitario è l'intervallo chiuso [0, 1].

Proprietà

• L'unione e l'intersezione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo.
• L'immagine di un intervallo mediante una funzione continua da R in R è ancora un intervallo.
• Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso.
• Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo [a, b].
• Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo a uno, ed uno solo, di questi cinque intervalli: un punto, [0, 1], [0, 1), (0, 1) o l'insieme vuoto.

Voci correlate

• Intervalli in un qualsiasi insieme ordinato
• Numeri reali

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