Intervallo (matematica)

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In matematica, un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi a e b. Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all'intervallo e possono essere infiniti.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Formalmente, un sottoinsieme S dei numeri reali \R o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi x e y di S, ogni altro elemento z tale che x<z<y sta anch'esso in S. In \R gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.

Gli intervalli di \R sono quindi gli insiemi seguenti (dove a e b sono due numeri reali tali che a<b):[1]

  1. (a,b)=\{x|a<x<b\} (intervallo aperto)
  2. [a,b]=\{x|a\le x \le b\} (intervallo chiuso)
  3. [a,b)=\{x|a\le x<b\} (intervallo chiuso a sinistra)
  4. (a,b]=\{x|a<x\le b\} (intervallo chiuso a destra)
  5. (a,+\infty)=\{x|x>a\} (intervallo aperto infinito a destra)
  6. [a,+\infty)=\{x|x\ge a\} (intervallo chiuso infinito a destra)
  7. (-\infty,b)=\{x|x<b\} (intervallo aperto infinito a sinistra)
  8. (-\infty,b]=\{x|x\le b\} (intervallo chiuso infinito a sinistra)
  9. (-\infty,+\infty)=\R (tutta la retta reale)
  10. [a,a]=\{a\} (un punto)
  11. l'insieme vuoto

I punti a e b sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra [ ] indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda ( ) indica che non vi appartiene. Soprattutto in Europa esiste anche una notazione alternativa, che usa ] e [ rispettivamente al posto di ( e ). Questa notazione è di fatto minoritaria e usata soprattutto da non specialisti. I primi quattro intervalli hanno lunghezza b-a, i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza 0.

L'intervallo unitario è l'intervallo chiuso [0,1].

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • L'unione e l'intersezione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo.
  • L'immagine di un intervallo mediante una funzione continua da \R in \R è ancora un intervallo.
  • Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso.
  • Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo [a,b].
  • Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo a uno, ed uno solo, di questi cinque intervalli: un punto, [0,1], [0,1), (0,1) , (0,1] o l'insieme vuoto.

Notazioni alternative[modifica | modifica wikitesto]

Il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico. Ad esempio 3 ÷ 7 vuol dire 'da tre a sette', estremi compresi.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Manetti, M., p. 10

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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