Valore assoluto

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Il grafico della funzione valore assoluto

In matematica, il valore assoluto o modulo di un numero reale x è una funzione che associa a x un numero reale non negativo. Se x è un numero reale, il suo valore assoluto è x stesso se x è non negativo, e -x se x è negativo. Ad esempio, il valore assoluto sia di 3 che di -3 è 3. Il valore assoluto di un numero x si indica con |x|.

Valore assoluto di un numero reale[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di numeri reali, il valore assoluto si definisce come:

|x| := \left\{\begin{matrix} x, & \mbox{se }x\ge0 \\-x, & \mbox{se }x<0 \end{matrix}\right.

oppure

|x| := \max\{x,-x\}

o mediante le parentesi di Iverson:

|x| := -x[x<0] + x[x>0].

Se rappresentiamo i numeri reali sulla retta reale allora il valore assoluto di un numero può essere visto come la sua distanza dallo zero. Concetti che generalizzano quest'idea sono la nozione matematica di distanza e quella di norma, che talvolta usa la stessa notazione del valore assoluto.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il valore assoluto ha le seguenti proprietà:

  1. |a| \ge 0;
  2. |a| = 0 se e solo se a = 0;
  3. |ab| = |a||b|;
  4. \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} (con b \neq 0);
  5. |a+b| \leq |a|+|b| (la disuguaglianza triangolare);
  6. |a-b| \ge \Big| |a|-|b|\Big| (lipschitzianità del valore assoluto);
  7. |a-b|=0 se e solo se a=b;
  8. |a| \leq b se -b \leq a \leq b;
  9. |a| \ge b se a \leq -b \vee a \ge b.

Le ultime due proprietà sono spesso sfruttate nella soluzione delle disequazioni del tipo:

 |x-3| \leq 9;
 -9 \leq x-3 \leq 9;
 -6 \leq x \leq 12.

Un piccolo suggerimento: quando le disequazioni sono frazionarie, ovvero presentano espressioni con l'incognita al denominatore, questo non si elimina perché bisogna studiarne il segno, cosa che talvolta non accade con i valori assoluti. Prendiamo, ad esempio, in considerazione una frazione che ha per denominatore |x + 7| + 3. Si può notare che questa quantità è sicuramente positiva per ogni x appartenente a \mathbb{R}, poiché x + 7 è sotto valore assoluto, e quindi è non negativo, e aggiungendo 3 diventa necessariamente positivo. Ne concluderemo che è possibile eliminare il denominatore, evitando così di complicarsi la vita nei calcoli e studiando solo il numeratore (si noti che non si deve neanche porre una condizione di esistenza, poiché se x + 7 si annulla, rimane sempre il +3). Se invece fosse stato |x + 7| - 3 non saremmo potuti intervenire come sopra, poiché x + 7, che è sotto valore assoluto, è una quantità non negativa, ma non necessariamente lo è sottraendo 3. Quindi, in questo caso, il denominatore non si sarebbe potuto eliminare e avremmo dovuto studiarne il segno. Ancora, se invece fosse stato solo |x + 7| al denominatore, potevamo certamente eliminare l'espressione, perché sicuramente non negativa, a patto però di porre x \neq - 7, perché se la x assume quel valore il denominatore si annulla e la disequazione diviene impossibile.

Funzione modulo[modifica | modifica wikitesto]

Per argomenti reali, la funzione valore assoluto f(x) = |x| è continua ovunque e derivabile per x \neq 0. Tale funzione non è invertibile, in quanto non iniettiva: per ogni valore del codominio ci sono due numeri (un numero ed il suo opposto) con lo stesso valore assoluto (tranne che nel caso dello zero).

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il termine valore assoluto è solitamente utilizzato in ambito reale. Generalizzando tale nozione ai numeri complessi, ai vettori e a più generali spazi metrici, si utilizza più frequentemente il termine modulo.

Numeri complessi[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di un numero complesso z il modulo è definito come

|z| = \sqrt{\operatorname{Re}(z)^2 + \operatorname{Im}(z)^2},

dove \operatorname{Re}(z) è la parte reale del numero e \operatorname{Im}(z) la parte immaginaria. Dunque |z| è la distanza fra l'origine e z nel piano complesso. Questa definizione coincide con la precedente se il numero complesso z è un numero reale.

In maniera equivalente si può definire il modulo di z\in\mathbb C come |z| = \sqrt{z\,\overline z}, dove \overline z è il complesso coniugato di z.

Questa definizione di modulo su \mathbb C soddisfa le proprietà dalla 1 alla 7 sopra indicate: infatti, identificando il campo complesso con lo spazio \mathbb{R}^2, essa non è altro che la norma euclidea del vettore z = (\operatorname{Re}(z), \operatorname{Im}(z)).

Per argomenti complessi, la funzione modulo f(z) = |z| è sempre continua ma non è mai differenziabile (si può vedere mostrando che non soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann).

Modulo di un vettore[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Norma (matematica).

Il modulo di un vettore n-dimensionale v = (x_1, x_2,\dots, x_n) è generalmente dato da:

\left | v \right | = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}

Si noti che |v| è la distanza del vettore v dall'origine degli assi e che oltre al termine modulo si utilizza spesso il termine norma euclidea o pitagorica (in quanto in 2 dimensioni questa formula è proprio il teorema di Pitagora).

L'utilizzo di questo termine si spiega con il fatto che il modulo come scritto qui può considerarsi un caso particolare, all'interno dello spazio euclideo, della nozione di norma di un vettore di uno spazio normato o di una matrice: l'insieme dei reali e l'insieme dei complessi si possono infatti considerare spazi normati unidimensionali e insiemi di matrici 1 \times 1.

Linguaggi di programmazione informatica[modifica | modifica wikitesto]

Nel linguaggio C il valore assoluto di un numero è calcolato dalle funzioni abs(), labs(), llabs() (in C99), fabs(), fabsf(), e fabsl(). Scrivere la versione della funzione per i numeri interi è banale, se non si considera il caso limite in cui venga immesso il più grande numero intero negativo:

 int abs(int i)
 {
     if (i < 0)
         return -i;
     else
         return i;
 }

Le versioni per numeri a virgola mobile sono più complesse, in quanto devono tener conto dei codici speciali per l'infinito e not-a-number.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

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