Funzione inversa

$f^{-1}$ mappa 3 in a poiché f mappa a in 3

In matematica, una funzione $f : X \to Y$ si dice invertibile se esiste una funzione $g : Y \to X$ tale che

$g(f(x)) = x$ per ogni $x \in X$, e

$f(g(y)) = y$ per ogni $y \in Y$.

In altre parole si ha

$g \circ f = id_{X}$, e

$f \circ g = id_{Y}$.

Qui $f \circ g$ indica la funzione composta e $id_{X}$ indica la funzione identità su $X$.

Se esiste, $g$ è unica, si indica con $f^{-1}$, ed è detta la funzione inversa di $f$.

Iniettività e suriettività

Se una funzione è invertibile, allora è biiettiva, ovvero è sia iniettiva che suriettiva. Infatti, con le notazioni di cui sopra

• se $x_{1}, x_{2} \in X$ e $f(x_{1}) = f(x_{2})$, allora $x_{1} = g(f(x_{1})) = g(f(x_{2})) = x_{2}$, dunque $f$ è iniettiva;
• se $y \in Y$, allora $y = f(g(y))$, dunque $f$ è suriettiva.

Viceversa, se $f$ è una biiezione, allora possiamo definirne un'inversa $g$, stipulando che $g(y)$ sia quell'unico elemento $x \in X$ tale che $f(x) = y$; infatti tale $x$ esiste per la suriettività, ed è unico per l'iniettività.

Si può raffinare quanto detto nel modo seguente:

• $f: X \to Y$ è iniettiva se e solo se esiste $g: Y \to X$ tale che $g \circ f = id_{X}$;
• $f: X \to Y$ è suriettiva se e solo se esiste $h: Y \to X$ tale che $f \circ h = id_{Y}$.

Relazioni con la funzione di partenza

Dalla definizione segue che $f^{-1}$ è il morfismo inverso di f (e viceversa) all'interno della categoria Set degli insiemi. Se in particolare consideriamo solo le funzioni da un insieme a se stesso, cioè le endofunzioni, allora $f^{-1}$ è proprio l'elemento inverso di f nel senso della teoria dei gruppi.

Proprietà

Composizione di funzioni

Se $f:X\to Y$ e $g:Y\to Z$ sono invertibili, allora l'inversa della loro composizione è data da

$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

cioè si compongono le inverse a ordine invertito. Se ad esempio $g(x)=x+5$ e $f(x)=3x$, allora l'inversa di

$(g\circ f)(x)=3x+5$

è data da

$(f^{-1}\circ g^{-1})(x)={1 \over 3}(x-5)$

Involuzioni

Se una funzione è l'inversa di se stessa si dice che è un'involuzione. Un esempio non banale è dato dalla funzione

$u:\mathbb{C}\to\mathbb{C},u(z)=\bar{z}$

dove $\bar{z}$ è il complesso coniugato.

Grafico

I grafici di f e $f^{-1}$ sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante

Per funzioni di variabile reale si può anche dare una caratterizzazione geometrica dell'inversa.

Se f è invertibile, allora i punti del tipo

$y=f^{-1}(x)$

(cioè il grafico dell'inversa) sono gli stessi che soddisfano la condizione

x=f(y)

Questa è identica alla condizione y=f(x) che definisce il grafico di f, eccetto che i ruoli di x e y sono invertiti. Questo vuol dire che il grafico di $f^{-1}$ si ottiene scambiando la posizione dei due assi o, equivalentemente, riflettendo il grafico di f attraverso la retta y=x.

Derivata

Per approfondire, vedi la voce Regola della funzione inversa.

In analisi matematica se una funzione reale è invertibile e derivabile in un punto con derivata non nulla, allora anche la sua inversa è derivabile e risulta

$\left(f^{-1}\right)^\prime(y) = {1 \over f'(x)}, \quad\text{dove } y = f(x).$

Il teorema della funzione inversa è inoltre un importantissimo teorema che afferma che una funzione con derivata non nulla in un punto è localmente invertibile (cioè la sua restrizione in un opportuno intorno del punto è invertibile).

Formula per l'inversa

Un metodo per determinare la formula per $f^{-1}$, qualora esista, è cercare di risolvere l'equazione $y = f(x)$ in $x$. Per esempio, data la funzione:

$f(x) = (2x + 8)^3 \,\!$

è necessario risolvere l'equazione $y = (2x + 8)^3$ in $x$:

$\begin{align} y & = (2x+8)^3 \\ \sqrt[3]{y} & = 2x + 8 \\ \sqrt[3]{y} - 8 & = 2x \\ \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x . \end{align}$

Quindi la funzione inversa $f^{-1}$ è data dalla formula:

$f^{-1}(y) = \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} . \,\!$

Non sempre questo metodo darà un risultato positivo: se la funzione f è trascendente (ad esempio $f(x)=\log x +x$), generalmente è impossibile ricavare una formula chiusa per $x$.

Funzione inversa parziale

Il ramo principale dell'inversa del quadrato è per convenzione la funzione radice quadrata, anche se l'inversa non si esplicita in $y$, bensì in $x$. La figura risulta quindi errata perché l'inversa di una funzione si disegna come la funzione stessa; in questo caso l'inversa sarebbe $x=\sqrt y:\R^+ \to \R^+$

Abbiamo visto negli esempi sopra come molte funzioni, anche significative, non siano invertibili. Per ovviare a questo inconveniente si è giunti a definire delle versioni "indebolite" della funzione inversa, dette inverse parziali, a seconda della condizione che manca, cioè l'iniettività o la suriettività:

• Se una funzione non è suriettiva ma è iniettiva (come ad esempio l'arcotangente) il problema è semplice da risolvere: "rimpicciolendo" il codominio della funzione esattamente alla sua immagine arriviamo ad una funzione $f^*:X\to f(X)$ che è iniettiva per ipotesi e suriettiva per costruzione, dunque invertibile per le considerazioni fatte prima. Funzioni di questo tipo sono generalmente considerate invertibili e la loro inversa è ritenuta semplicemente l'inversa della f*.

Nota: Così facendo formalmente siamo passati ad esaminare un'altra funzione: infatti il codominio è parte integrante della definizione di una funzione e $arctg:\R\to\R$ è in teoria una funzione distinta da $arctg:\R\to (-\pi/2,\pi/2)$

• Se una funzione non è iniettiva si può restringere questa volta il dominio fino a considerare un sottodominio in cui essa è iniettiva e invertire questa restrizione (comportandosi come nel caso sopra se essa non è suriettiva): così ci si comporta ad esempio per le funzioni trigonometriche, che, essendo periodiche, non sono iniettive, ma la cui inversione è in molti casi importante nelle applicazioni.

In questi casi si pone il problema di quale sottodominio utilizzare, quale sia il più significativo per un utilizzo successivo: ad esempio, nell'invertire il seno, si pone per convenzione che il sottodominio di inversione sia $[-\pi/2, \pi/2]$, in cui il seno cresce in modo strettamente monotono (e dunque iniettivo) da -1 a 1.

L'inversa scelta (infatti ugualmente avremmo potuto invertire il seno negli intervalli $[\pi/2, 3\pi/2]$, $[2\pi, 2\pi+\pi/2]$, eccetera) viene detto ramo principale della funzione inversa del seno e il suo valore in un punto y è detto valore principale di $f^{-1}(y)$.

Funzione inversa generalizzata

Per una funzione arbitraria abbiamo visto che può non essere possibile definire un'inversa. È sempre valido, però, identificare la controimmagine di ogni singoletto

$f^{-1}(\{y\})=\{x \in X: f(x)=y\}$

Per questo motivo per ogni funzione possiamo definire la funzione inversa generalizzata come la mappa

$f^{-1}:Y\to \mathcal{P}(X)$

che ad ogni y del codominio associa il sottoinsieme del dominio dato dagli elementi che danno come immagine y ($\mathcal{P}(X)$ è l'insieme delle parti di X). Una tale applicazione non è in generale, appunto, una funzione da Y a X, poiché ha come valori d'arrivo insiemi e non elementi di X: si dice che essa è una "multifunzione" o "funzione multivoca". Nel caso in cui f sia invertibile essa coincide con la funzione inversa enunciata prima (ponendo l'assunzione di identificare il singoletto $\{x\}$ con l'elemento x).

Inversa destra e sinistra

Una funzione $f:X\to Y$ si dice possedere inversa destra se esiste una funzione $g:Y \to X$ tale che

$f\circ g=id_Y$

g si dice anche sezione di f. f possiede inversa destra se e solo se è suriettiva.

$h:Y \to X$ è invece inversa sinistra (o retrazione) di f se

$h\circ f=id_X$

f possiede inversa sinistra se e solo se è iniettiva.

Se una funzione è sia inversa sinistra che destra essa è unica (ed è la funzione inversa di f). Notare che se g è l'inversa sinistra di f, f potrebbe non essere l'inversa destra di g e viceversa.

Voci correlate

• Corrispondenza biunivoca
• Funzione iniettiva
• Funzione suriettiva
• Regola della funzione inversa
• Funzione trigonometrica inversa
• Relazione inversa
• Elemento inverso
• Teorema della funzione inversa

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica