Teorema di Pitagora

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La somma delle aree dei due quadrati costruiti sui cateti (blu e rosso) è equivalente all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (viola).

Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce la relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo ed è una versione limitata ad essi del Teorema di Carnot.

[modifica] Origine

Visualizzazione del caso del triangolo (3,4,5) contenuta nel testo cinese Chou Pei Suan Ching (scritto tra il 200 a.C. e il 200 d.C.)

Quello che modernamente conosciamo come teorema di Pitagora viene solitamente attribuito al filosofo e matematico Pitagora. In realtà il suo enunciato (ma non la sua dimostrazione) era già noto agli egizi e ai babilonesi, ed era forse conosciuto anche in Cina ed in India. La dimostrazione del teorema è invece con ogni probabilità successiva a Pitagora.

[modifica] Enunciato

In ogni triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi cateti, il teorema è espresso dall'equazione:

$a^2 + b^2 = c^2\,$

o, in alternativa, risolvendolo per c:

$\sqrt{a^2 + b^2} = c. \,$

Da cui si ricavano i rispettivi cateti:

$\sqrt{c^2 - b^2} = a. \,$

e

$\sqrt{c^2 - a^2} = b. \,$

Se la terna $a, b, c$ è costituita da numeri interi essa si chiama terna pitagorica.

Inversamente, ogni triangolo in cui i tre lati verificano questa proprietà è rettangolo: questo teorema, con la sua dimostrazione, appare negli Elementi immediatamente dopo il teorema di Pitagora stesso.

[modifica] Dimostrazioni

Animazione di una dimostrazione

La dimostrazione classica del teorema di Pitagora completa il primo libro degli Elementi di Euclide, e ne costituisce il filo conduttore. Dato che richiede il postulato delle parallele, esso non vale nelle geometrie non-euclidee e nella geometria neutrale. Nel testo di Euclide la dimostrazione del teorema è immediatamente preceduta dalla dimostrazione della costruibilità dei quadrati. L'esistenza stessa dei quadrati dipende infatti dal postulato delle parallele e viene meno nelle geometrie non euclidee. Questo aspetto del problema è in genere trascurato nella didattica contemporanea, che tende spesso ad assumere come ovvia l'esistenza dei quadrati.

La dimostrazione del teorema di Pitagora consiste nel riempire uno stesso quadrato di lato uguale alla somma dei cateti prima con quattro copie del triangolo rettangolo più il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con quattro copie del triangolo rettangolo più i quadrati costruiti sui cateti, come in figura.

Dimostrazione di Perigal

Essendo il teorema uno dei più noti della storia della matematica, ne esistono molte altre dimostrazioni, opera di astronomi, agenti di cambio, e anche una di Leonardo da Vinci. Probabilmente, insieme alla reciprocità quadratica, si contende la palma del teorema con più dimostrazioni in assoluto.

[modifica] Dimostrazione di Perigal

Esaminiamone alcune interessanti. Quella proposta nel 1873 dall'agente di cambio Henry Perigal si basa sulla scomposizione del quadrato costruito sul cateto maggiore, in giallo nell'immagine: tagliandolo infatti con due rette passanti per il suo centro, una perpendicolare ed una parallela all'ipotenusa, si può ricomporre in maniera da incorporare l'altro quadrato, e formando il quadrato sull'ipotenusa, come nella figura.

[modifica] Dimostrazione di Airy

Dimostrazione di Airy

Esiste anche una dimostrazione in forma poetica, dell'astronomo Sir George Airy, in inglese:

"I am, as you can see,
a² + b² - ab
When two triangles on me stand,
Square of hypothenuse is plann'd
But if I stand on them instead
The squares of both sides are read."

di cui una traduzione letterale è

"Come potete vedere, sono
a² + b² - ab
Quando ci sono due triangoli sopra di me
È rappresentato il quadrato dell'ipotenusa
Ma se invece sto io sopra di loro
Si leggono i quadrati dei due lati"

I versi si riferiscono alla parte bianca: i primi due triangoli sono quelli rossi, i secondi quelli blu.

Sia quella di Perigal che quest'ultima sono interessanti, in quanto sono puramente geometriche, ossia non richiedono alcuna definizione di operazioni aritmetiche, ma solo congruenze di aree e di segmenti.

[modifica] Quadrati concentrici di Pomi

Dimostrazione con quadrati concentrici

Dimostrazione geometrica basata su due quadrati concentrici, di lati rispettivamente pari all'ipotenusa (c) e alla somma dei due cateti (a+b).
Come si vede dalla figura, tolti i 4 triangoli rettangoli (in giallo di area $(a * b) / 2$ ) al quadrato più grande, che corrisponde all'area $(a + b) 2$ , si ottiene il quadrato più piccolo, rappresentato in bianco, che equivale invece all'area $c 2$ .

Quindi $(a + b) 2 - 4 * (a * b) / 2 = c 2$
da sui risolvendo si ottiene : $a 2 + b 2 = c 2$

Questa dimostrazione ha il vantaggio di avere una rappresentazione visiva semplice e diretta, che non richiede lo spostamento e sovrapposizione di forme come le altre dimostrazioni geometriche formulate.

[modifica] Dimostrazione di Garfield

Dimostrazione di Garfield

Un'altra dimostrazione geometrica particolarmente significativa, in quanto nella costruzione non compare alcun quadrato, fu trovata nel 1876 da Garfield, che in seguito divenne il ventesimo Presidente degli Stati Uniti d'America. Allora nell'esercito, Garfield commentò il suo risultato: "Questo è qualcosa su cui i due rami del parlamento potranno essere d'accordo".

La dimostrazione è la seguente:

consideriamo una copia del triangolo rettangolo in questione, ruotata di 90 gradi in modo da allineare i due cateti differenti (nella figura a lato il rosso ed il blu). Si uniscono poi gli estremi delle ipotenuse, e si ottiene un trapezio. Uguagliando l'area del trapezio alla somma di quelle dei tre triangoli retti, si dimostra il teorema.

In formule, detto a il cateto rosso, b il blu e c l'ipotenusa, e ricordando la potenza del binomio

$\frac {(a+b)^2} 2 = \frac {{ab}} 2 + \frac {{ab}} 2 + \frac {c^2} 2 \,\, \Rarr \,\, a^2 + b^2 = c^2$

[modifica] Con i numeri complessi

Una dimostrazione puramente algebrica fa uso dei numeri complessi e della formula di Eulero: siano a, b i cateti e c l'ipotenusa. Se i cateti sono allineati sugli assi, abbiamo

a + i b = c e i θ

Consideriamo ora il complesso coniugato della parte a sinistra:

a - i b = c e - i θ

Moltiplicando tra loro otteniamo

a 2 + b 2 = c 2

[modifica] Con i teoremi di Euclide

Dimostrazione con Euclide

Un'altra dimostrazione utilizza il primo teorema di Euclide. Si traccia l'altezza sull'ipotenusa, di lunghezza $h$ . Questa spezza l'ipotenusa in due segmenti, di lunghezza $p$ e $q$ . Il teorema di Euclide fornisce le relazioni

$\frac ap = \frac ca, \ \frac bq = \frac cb,$

da cui

$a^2 = cp, \ b^2 = cq$

e quindi

$a^2 + b^2 = c(p+q) = c^2.\,\!$

[modifica] Inverso

Vale anche l'inverso del Teorema di Pitagora (proposizione 48 del primo libro degli Elementi di Euclide): Se in un triangolo di lati a, b e c vale la relazione $a 2 + b 2 = c 2$ allora il triangolo è rettangolo.

Dimostrazione: Sia T un triangolo di lati a, b e c tale che $a 2 + b 2 = c 2$ . Consideriamo inoltre triangolo rettangolo T' che abbia i cateti pari ad a e b (è sempre possibile costruire un triangolo rettangolo dati i due cateti). Per il Teorema di Pitagora (diretto) l'ipotenusa del triangolo T' sarà pari a $\sqrt{a^2 + b^2}$ , ossia sarà uguale al lato c del triangolo T. I due triangoli T e T' risulteranno dunque congruenti per il terzo criterio di congruenza, avendo tutti e tre i lati ordinatamente uguali. Ma allora anche il triangolo T sarà rettangolo (CVD).

[modifica] Generalizzazioni

Il teorema di Pitagora può essere generalizzato in vari modi. Solitamente, una generalizzazione è una relazione che si applica a tutti i triangoli, e che applicata ai triangoli rettangoli risulta essere equivalente al teorema di Pitagora.

[modifica] Teorema del coseno

Un triangolo qualsiasi.

Per approfondire, vedi la voce Teorema del coseno.

La generalizzazione più importante del teorema di Pitagora è forse il teorema del coseno, che si applica ad un triangolo qualsiasi (non necessariamente retto). In un triangolo con vertici e angoli indicati come in figura, vale l'uguaglianza:

$\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma.$

Nel caso in cui $γ$ sia retto, vale $cosγ = 0$ e quindi l'enunciato è equivalente al teorema di Pitagora. Il termine aggiuntivo può essere interpretato come il prodotto scalare dei vettori $C A$ e $C B$ .

[modifica] Teorema dei seni

Per approfondire, vedi la voce Teorema dei seni.

Il teorema dei seni mette in relazione lunghezze dei lati e angoli opposti.

Il teorema dei seni mette in relazione le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni degli angoli opposti. Anche questa relazione si applica a qualsiasi triangolo e, nel caso in cui questo sia rettangolo, può essere ritenuta equivalente al teorema di Pitagora (benché in modo meno immediato rispetto al teorema del coseno).

Il teorema dei seni asserisce che in un triangolo qualsiasi, con le notazioni come in figura, valgono le relazioni seguenti:

$\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\gamma}=2R.$

Elevando al quadrato:

$c^2= a^2\frac {\sin^2\gamma}{\sin^2\alpha}, \quad b^2= a^2 \frac{\sin^2\beta}{\sin^2\alpha}.$

Sommando i termini si ottiene:

$c^2 + b^2 =a^2\frac {\sin^2\gamma + \sin^2\beta}{\sin^2\alpha}.$

Quando $α$ è un angolo retto, si ottiene $β = π / 2 - γ$ e quindi

$\frac {\sin^2\gamma + \sin^2\beta}{\sin^2\alpha} = \sin^2(\pi/2-\beta) + \sin^2\beta = \cos^2\beta + \sin^2\beta = 1.$

Si ottiene quindi in questo caso il teorema di Pitagora

$c^2 + b^2 = a^2.\,\!$

[modifica] Generalizzazione che non fa uso di trigonometria

Generalizzazione del teorema di Pitagora.

È possibile estendere il teorema di Pitagora ad un triangolo qualsiasi senza fare uso di funzioni trigonometriche quali il seno ed il coseno. Dato un triangolo $A B C$ come in figura, si tracciano due segmenti che collegano il vertice $A$ con due punti $g$ e $h$ contenuti nel segmento opposto $B C$ (oppure in un suo prolungamento), in modo tale che gli angoli $A g B$ e $A h C$ siano entrambi uguali all'angolo $α$ del vertice $A$ . La figura mostra un caso in cui l'angolo $α$ è ottuso: se è acuto, i due punti $g$ e $h$ sono in ordine inverso (il primo a destra e il secondo a sinistra) e possono uscire dal segmento $B C$ .

Vale la relazione seguente:

$\overline {AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline {BC}\cdot (\overline{Bg} + \overline{hC}).$

Quando $α$ è un angolo retto, i punti $g$ e $h$ coincidono e si ottiene il teorema di Pitagora

$\overline {AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline {BC}\cdot (\overline{Bg} + \overline{hC}) = \overline{BC}^2.$

La relazione generale può essere dimostrata sfruttando la similitudine fra i triangoli $A B C$ , $g B A$ e $h A C$ , che porta alle relazioni

$\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{Bg}}{\overline{AB}},\quad \frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{hC}}{\overline{AC}}.$

Si ottiene quindi

$\overline{AB}^2 = \overline{BC}\cdot \overline{Bg}, \quad \overline{AC}^2 = \overline{BC}\cdot \overline{hC}.$

Sommando le due eguaglianze si ottiene la relazione iniziale.

[modifica] Bibliografia

Carl B. Boyer, Storia della matematica. Mondadori, Milano, 1990. ISBN 978-88-04-33431-6
Loria G. Le scienze esatte nell'antica Grecia 2^ ed, Milano 1914-

[modifica] Voci correlate

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[modifica] Collegamenti esterni

Animazione della dimostrazione di Euclide

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