Arcoseno

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In trigonometria l'arcoseno è definito come funzione inversa del seno di un angolo. La funzione seno non è biettiva quindi non è possibile avere la sua inversa, tuttavia è possibile restringere il suo dominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva e quindi invertibile. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione seno nell'intervallo \left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right].

Notazione[modifica | modifica sorgente]

In matematica l'arcoseno può essere indicato con una delle notazioni arcsin, arcsen, asin, asen, sin-1, sen-1. Queste ultime due notazioni, coerenti con la notazione per una funzione inversa (f-1) e diffuse sulle tastiere di diverse calcolatrici, possono creare confusione con la notazione sen2(x), che oltre ad indicare la composizione sen(sen(x)) viene utilizzata per indicare il quadrato (sen x)2; per questo motivo il reciproco del seno di un angolo (la sua cosecante) viene sempre indicato con (sin x)-1. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ASIN e ASN.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Grafico della funzione y=arcsin(x)

L'arcoseno è una funzione continua e strettamente crescente, definita per tutti i valori nell'intervallo \left[-1, 1\right]:

\arcsin: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right].

Il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi cartesiani, essendo \arcsin x=-\arcsin\left(-x\right).

La derivata della funzione arcoseno è

\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

La serie di Taylor (x0 = 0) corrispondente è


\arcsin x=
\sum_{k=0}^\infty{-\frac12\choose k}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}
=x+\frac16x^3+\frac3{40}x^5+\frac5{112}x^7+\cdots
.

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi, ossia per definizione di funzione dispari:

\arcsin\left(-x\right)=-\arcsin x.

Inoltre è possibile combinare la somma o differenza di due arcoseni in un'espressione dove l'arcoseno figura una volta sola:


\arcsin x_1\pm\arcsin x_2=
\begin{cases}
X&
\pm x_1x_2\le0\lor x_1^2+x_2^2\le1\\
\pi-X&
x_1>0\land\pm x_2>0\land x_1^2+x_2^2>1\\
-\pi-X&
x_1<0\land\pm x_2<0\land x_1^2+x_2^2>1
\end{cases}

con

X=\arcsin\left(x_1\sqrt{1-x_2^2}\pm x_2\sqrt{1-x_1^2}\right).

Arcoseno di una somma nell'intervallo in cui è definito l'arcoseno:

\arcsin(x \pm y)=\arcsin\left(\sqrt{\frac{1+x^2-y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2y^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right) \pm  \arcsin\left(\sqrt{\frac{1-x^2+y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2y^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right)

da cui discendono:

\arcsin(2x)=2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{2}}\right)
\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) = 2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}{2}}\right)

che sono casi particolari di:

\arcsin(kx)=2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-k^2x^2}}{2}}\right)

per

0 \le kx \le 1
matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica