Trigonometria

Funzioni trigonometriche rappresentate graficamente

La trigonometria (dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura): risoluzione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni. Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo. È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica.

Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.

Le origini

Per approfondire, vedi la voce storia delle funzioni trigonometriche.

Per molti secoli, la trigonometria dovette i suoi progressi quasi esclusivamente all'opera di grandi astronomi e geografi. Infatti, la fondazione di questa scienza si deve a Ipparco di Nicea e a Claudio Tolomeo, entrambi più astronomi e geografi che non matematici. Contributi notevoli furono apportati a questa scienza dagli arabi, dal francese Levi ben Gershon e, successivamente, da Copernico e Tycho Brahe, intenti a descrivere e a prevedere con sempre maggior precisione i fenomeni celesti, anche per un più esatto e comodo calcolo di longitudini e latitudini.

Funzioni trigonometriche

Strumento indispensabile della trigonometria sono le funzioni trigonometriche. Sono queste funzioni che associano lunghezze ad angoli, e viceversa.

Le tabelle in questa sezione mostrano le funzioni trigonometriche insieme alle loro principali proprietà; per ulteriori caratteristiche, consultare la voce relativa alla particolare funzione.

Funzioni trigonometriche dirette

Sono dette funzioni trigonometriche dirette quelle che ad un angolo, solitamente espresso in radianti, associano una lunghezza o un rapporto fra lunghezze. A causa dell'equivalenza circolare degli angoli, tutte le funzioni trigonometriche dirette sono anche funzioni periodiche con periodo π o 2π.

Funzioni trigonometriche dirette
Funzione	Notazione	Dominio	Codominio	Radici	Periodo	Funzione inversa
seno	sen, sin	$\mathbb R$	$\left[-1, 1\right]$	$\mathbb Z \pi$	$2\pi\,\!$	arcoseno
coseno	cos	$\R$	$\left[-1, 1\right]$	$\frac\pi2+\Z\pi$	$2\pi\,\!$	arcocoseno
tangente	tan, tg	$\R\setminus\left(\frac\pi{2}+\Z\pi\right)$	$\R$	$\Z\pi$	$\pi\,\!$	arcotangente
cotangente	cot, cotg, ctg	$\R\setminus\Z\pi$	$\R$	$\frac\pi2+\Z\pi$	$\pi\,\!$	arcocotangente
secante	sec	$\R\setminus\left(\frac\pi{2}+\Z\pi\right)$	$\left(-\infty, {-1}\right]\cup\left[1, +\infty\right)$	nessuna	$2\pi\,\!$	arcosecante
cosecante	csc, cosec	$\R\setminus\Z\pi$	$\left(-\infty, {-1}\right]\cup\left[1, +\infty\right)$	nessuna	$2\pi\,\!$	arcocosecante

Funzioni trigonometriche inverse

Ad ogni funzione trigonometrica diretta è associata una funzione inversa. Il dominio di ciascuna funzione trigonometrica inversa corrisponde, com'è prevedibile, al codominio della rispettiva funzione diretta. Poiché le funzioni dirette sono, tuttavia, periodiche, e perciò non iniettive, per poterle invertire è necessario restringerne il dominio rendendole biiettive. La scelta della restrizione è teoricamente irrilevante e le possibilità sono infinite. La convenzione (rigida, in questo campo) vuole però che i domini vengano ristretti agli intervalli $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ oppure $\left[0, \pi\right]$, in cui le funzioni — e dunque anche le loro inverse — siano monotone. Anche le funzioni arcosecante ed arcocosecante vengono definite dall'inversione delle funzioni dirette ristrette ad uno di tali intervalli.

Funzioni trigonometriche inverse
Funzione	Notazione	Dominio	Codominio	Radici	Andamento	Funzione inversa
arcoseno	arcsen, arcsin, asin, sen-1	$\left[-1, 1\right]$	$\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$	0	$\nearrow$	seno
arcocoseno	arccos, acos, cos-1	$\left[-1, 1\right]$	$\left[0, \pi\right]$	1	$\searrow$	coseno
arcotangente	arctan, arctg, atan, tan-1	$\mathbb R$	$\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$	0	$\nearrow$	tangente
arcocotangente	arccot, arccotg, arcctg, acot, cot-1	$\mathbb R$	$\left(0, \pi\right)$	$+\infty$	$\searrow$	cotangente
arcosecante	arcsec, asec, sec-1	$\left(-\infty, {-1}\right]\cup\left[1, +\infty\right)$	$\left[0, \pi\right]$	1	crescente, con una discontinuità in $\left[-1, 1\right]$	secante
arcocosecante	arccsc, arccosec, acsc, csc-1	$\left(-\infty, {-1}\right]\cup\left[1, +\infty\right)$	$\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$	$\pm\infty$	decrescente, con una discontinuità in $\left[-1, 1\right]$	cosecante

Formule di addizione e sottrazione

In trigonometria, le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.

Formule di addizione

• $\mathbb \mathrm{sen} (\alpha + \beta)=\mathrm{sen} \, \alpha \, \cos\beta + \cos\alpha \, \mathrm{sen} \, \beta$
• $\mathbb \cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha \, \cos\beta - \mathrm{sen} \, \alpha \, \mathrm{sen} \, \beta$
• $\tan(\alpha + \beta)=\frac {\tan\alpha + \tan\beta} {1 - \tan\alpha \, \tan\beta}$
• $\cot(\alpha + \beta)=\frac {\cot\alpha \cot\beta - 1} {\cot\alpha + \cot\beta}$

Formule di sottrazione

• $\mathbb \mathrm{sen} \, (\alpha - \beta)=\mathrm{sen} \, \alpha \, \cos\beta - \cos\alpha \, \mathrm{sen} \, \beta$
• $\mathbb \cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha \, \cos\beta + \mathrm{sen} \, \alpha \, \mathrm{sen} \, \beta$
• $\tan(\alpha - \beta)=\frac {\tan\alpha - \tan\beta} {1 + \tan\alpha \tan\beta}$
• $\cot(\alpha - \beta)=\frac {\cot\alpha \cot\beta + 1} {\cot\beta - \cot\alpha}$

Formule di duplicazione

• $\mathbb \mathrm{sen} (2\alpha)=2\mathrm{sen} \, \alpha \, \cos\alpha$

• $\mathbb \mathrm{cos} (2\alpha)=\cos^2\alpha - \mathrm{sen}^2\alpha = 1 - 2\mathrm{sen}^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1$

Teoremi trigonometrici

I teoremi trigonometrici permettono la risoluzione di problemi di varia natura legata alla figura di un triangolo qualsiasi, esprimendo rapporti tra i lati e gli angoli di questo.

Teorema dei seni

Per approfondire, vedi la voce Teorema dei seni.

Considerato un triangolo qualsiasi di lati a, b e c, il rapporto tra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:

$\frac{a}{\mathrm{sen} \, \alpha}=\frac{b}{\mathrm{sen} \, \beta}=\frac{c}{\mathrm{sen} \, \gamma}=2r.$

Teorema della corda

Teorema della corda in una circonferenza

Per approfondire, vedi la voce Teorema della corda.

Data una circonferenza e una corda AB, il rapporto tra tale corda e il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste su di essa è uguale al diametro della circonferenza:

$\frac{\overline{AB}}{\mathrm{sen} \, \widehat{C}}=2r.$

Teorema del coseno o di Carnot

Per approfondire, vedi la voce Teorema del coseno.

Il teorema del coseno (chiamato anche teorema di Carnot) afferma che in un qualsiasi triangolo, il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del doppio prodotto di tali lati per il coseno dell'angolo da essi formato.

$\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma$.

Può essere considerato una generalizzazione del Teorema di Pitagora.

Etimologia dei nomi

Come per il resto delle lingue europee, l'italiano eredita i nomi delle funzioni trigonometriche dalle corrispondenti voci latine. Il termine seno proviene dalla traduzione latina sinus della parola araba jaib (letteralmente baia, tradotto in latino sinus a causa di una lettura equivoca: dal momento che l'arabo non scrive le vocali, la sequenza jb, che stava per jiba ricalcando una parola sanscrita, è stata interpretata erroneamente come baia, in luogo del corretto corda) usata per indicare la metà della corda; in questo senso, il seno denota la corda piegata su se stessa. La parola tangente viene da latino tangens, letteralmente «che tocca», in riferimento alle proprietà geometriche del segmento utilizzato per la definizione grafica di questa funzione. Analogamente si spiega l'etimologia della secante, in latino secans, «che taglia». Le parole coseno, cotangente e cosecante derivano dalla contrazione delle rispettive voci latine complementi sinus, complementi tangens, complementi secans, vale a dire «seno dell'angolo complementare», «tangente dell'angolo complementare», «secante dell'angolo complementare».

Voci correlate

• Formule di prostaferesi
• Formule di Werner

Altri progetti

• Commons
• Wikibooks

• Wikimedia Commons contiene file multimediali su Trigonometria
• Wikibooks contiene testi o manuali su Trigonometria

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica