Trigonometria

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Funzioni trigonometriche rappresentate graficamente

La trigonometria (dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura): risoluzione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni. Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo. È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica.

Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.

Indice

Le origini[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi storia delle funzioni trigonometriche.

Per molti secoli, la trigonometria dovette i suoi progressi quasi esclusivamente all'opera di grandi astronomi e geografi. Infatti, la fondazione di questa scienza si deve a Ipparco di Nicea e a Claudio Tolomeo, entrambi più astronomi e geografi che matematici. Contributi notevoli furono apportati a questa scienza dagli arabi, dal francese Levi ben Gershon e, successivamente, da Niccolò Copernico e Tycho Brahe, intenti a descrivere e a prevedere con sempre maggior precisione i fenomeni celesti, anche per un più esatto e comodo calcolo di longitudini e latitudini.

Funzioni trigonometriche[modifica | modifica sorgente]

Strumento indispensabile della trigonometria sono le funzioni trigonometriche. Sono queste funzioni che associano lunghezze ad angoli, e viceversa.

Le tabelle in questa sezione mostrano le funzioni trigonometriche insieme alle loro principali proprietà; per ulteriori caratteristiche, consultare la voce relativa alla particolare funzione.

Funzioni trigonometriche dirette[modifica | modifica sorgente]

Sono dette funzioni trigonometriche dirette quelle che ad un angolo, solitamente espresso in radianti, associano una lunghezza o un rapporto fra lunghezze. A causa dell'equivalenza circolare degli angoli, tutte le funzioni trigonometriche dirette sono anche funzioni periodiche con periodo \pi o 2\pi.

Funzioni trigonometriche dirette
Funzione Notazione Dominio Codominio Radici Periodo Funzione inversa
seno sen, sin \mathbb R \left[-1, 1\right] \mathbb Z \pi 2\pi arcoseno
coseno cos \R \left[-1, 1\right] \frac\pi2+\Z\pi 2\pi arcocoseno
tangente tan, tg \R\setminus\left(\frac\pi{2}+\Z\pi\right) \R \Z\pi \pi arcotangente
cotangente cot, cotg, ctg \R\setminus\Z\pi \R \frac\pi2+\Z\pi \pi arcocotangente
secante sec \R\setminus\left(\frac\pi{2}+\Z\pi\right) \left(-\infty, {-1}\right]\cup\left[1, +\infty\right) nessuna 2\pi arcosecante
cosecante csc, cosec \R\setminus\Z\pi \left(-\infty, {-1}\right]\cup\left[1, +\infty\right) nessuna 2\pi arcocosecante

Funzioni trigonometriche inverse[modifica | modifica sorgente]

Ad ogni funzione trigonometrica diretta è associata una funzione inversa. Il dominio di ciascuna funzione trigonometrica inversa corrisponde, com'è prevedibile, al codominio della rispettiva funzione diretta. Poiché le funzioni dirette sono, tuttavia, periodiche, e perciò non iniettive, per poterle invertire è necessario restringerne il dominio rendendole biiettive. La scelta della restrizione è teoricamente irrilevante e le possibilità sono infinite. La convenzione (rigida, in questo campo) vuole però che i domini vengano ristretti agli intervalli \left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] oppure \left[0, \pi\right], in cui le funzioni — e dunque anche le loro inverse — siano monotone. Anche le funzioni arcosecante ed arcocosecante vengono definite dall'inversione delle funzioni dirette ristrette ad uno di tali intervalli.

Funzioni trigonometriche inverse
Funzione Notazione Dominio Codominio Radici Andamento Funzione inversa
arcoseno arcsen, arcsin, asin,

sen−1[1]

\left[-1, 1\right] \left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] 0 \nearrow seno
arcocoseno arccos, acos,

cos−1

\left[-1, 1\right] \left[0, \pi\right] 1 \searrow coseno
arcotangente arctan, arctg, atan,

tan−1

\mathbb R \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right) 0 \nearrow tangente
arcocotangente arccot, arccotg, arcctg, acot,

cot−1

\mathbb R \left(0, \pi\right) +\infty \searrow cotangente
arcosecante arcsec, asec,

sec−1

\left(-\infty, {-1}\right]\cup\left[1, +\infty\right) \left[0, \pi\right] 1 crescente, con una discontinuità in \left[-1, 1\right] secante
arcocosecante arccsc, arccosec, acsc,

csc−1

\left(-\infty, {-1}\right]\cup\left[1, +\infty\right) \left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] \pm\infty decrescente, con una discontinuità in \left[-1, 1\right] cosecante

Relazioni fondamentali della goniometria[modifica | modifica sorgente]

Prima relazione fondamentale[modifica | modifica sorgente]

\cos^2\alpha+\sen^2\alpha=1

da questa si ricavano

\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sen^2\alpha}

\sen\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}

ricordare di valutare la posizione di \alpha per la scelta opportuna dei segni

Seconda relazione fondamentale[modifica | modifica sorgente]

\tan\alpha=\frac{\sen\alpha}{\cos\alpha}

che vale solo per \alpha \neq \frac{\pi}2+k\pi con k \in Z

Terza relazione fondamentale[modifica | modifica sorgente]

\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\tan^2\alpha}

che vale solo per \alpha \neq \frac{\pi}2+k\pi con k \in Z

da questa si ricava

\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}

ricordare di valutare la posizione di \alpha per la scelta opportuna dei segni

Formule degli angoli associati[modifica | modifica sorgente]

Nella circonferenza goniometrica chiamiamo angoli associati gli angoli \alpha, \pi-\alpha, \pi+\alpha e 2\pi-\alpha. Tali angoli hanno in valore assoluto stesso seno e stesso coseno.

Formule degli angoli associati del secondo quadrante[modifica | modifica sorgente]

\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha

\sen(\pi-\alpha)=\sen\alpha

\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha

Formule degli angoli associati del terzo quadrante[modifica | modifica sorgente]

\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha

\sen(\pi+\alpha)=-\sen\alpha

\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha

Formule degli angoli associati al quarto quadrante[modifica | modifica sorgente]

\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha

\sen(2\pi-\alpha)=-\sen\alpha

\tan(2\pi-\alpha)=-\tan\alpha

Formule degli angoli opposti[modifica | modifica sorgente]

\cos(-\alpha)=\cos\alpha

\sen(-\alpha)=-\sen\alpha

\tan(-\alpha)=-\tan\alpha

Si dice che \cos\alpha è una funzione pari, mentre \sen\alpha e \tan\alpha sono dispari.

Formule degli angoli complementari (la loro somma è un angolo retto)[modifica | modifica sorgente]

\cos\left(\frac{\pi}2-\alpha\right)=\sen\alpha

\sen\left(\frac{\pi}2-\alpha\right)=\cos\alpha

\tan\left(\frac{\pi}2-\alpha\right)=\cot\alpha

Formule degli angoli che differiscono di un angolo retto[modifica | modifica sorgente]

\cos\left(\frac{\pi}2+\alpha\right)=-\sen\alpha

\sen\left(\frac{\pi}2+\alpha\right)=\cos\alpha

\tan\left(\frac{\pi}2+\alpha\right)=-\cot\alpha

Formule goniometriche[modifica | modifica sorgente]

In trigonometria, le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.

Formule di addizione[modifica | modifica sorgente]

  • \mathbb { \operatorname{sen} }(\alpha + \beta)= { \operatorname{sen} } \alpha \, \cos\beta + \cos\alpha \, { \operatorname{sen} } \beta
  • \mathbb \cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha \, \cos\beta - \mathrm{sen} \, \alpha \, \mathrm{sen} \, \beta
  • \tan(\alpha + \beta)=\frac {\tan\alpha + \tan\beta} {1 - \tan\alpha \, \tan\beta}
  • \cot(\alpha + \beta)=\frac {\cot\alpha \cot\beta - 1} {\cot\alpha + \cot\beta}

La formula della tangente vale per \alpha, \beta, \alpha+\beta \neq \frac\pi 2 +k\pi con k \in Z

La formula della cotangente vale per \alpha, \beta, \alpha+\beta \neq k\pi con k \in Z

Formule di sottrazione[modifica | modifica sorgente]

  • \mathbb \mathrm{sen} \, (\alpha - \beta)=\mathrm{sen} \, \alpha \, \cos\beta - \cos\alpha \, \mathrm{sen} \, \beta
  • \mathbb \cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha \, \cos\beta + \mathrm{sen} \, \alpha \, \mathrm{sen} \, \beta
  • \tan(\alpha - \beta)=\frac {\tan\alpha - \tan\beta} {1 + \tan\alpha \tan\beta}
  • \cot(\alpha - \beta)=\frac {\cot\alpha \cot\beta + 1} {\cot\beta - \cot\alpha}

La formula della tangente vale per \alpha, \beta, \alpha-\beta \neq \frac\pi 2 +k\pi con k \in Z

La formula della cotangente vale per \alpha, \beta, \alpha-\beta \neq k\pi con k \in Z

Formule di duplicazione[modifica | modifica sorgente]

  • \mathbb \mathrm{sen} (2\alpha)=2\mathrm{sen} \, \alpha \, \cos\alpha
  • \mathbb \mathrm{cos} (2\alpha)=\cos^2\alpha - \mathrm{sen}^2\alpha = 1 - 2\mathrm{sen}^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1
  • \tan(2\alpha)=\frac {2\tan\alpha} {1 - \tan^2\alpha}

L'ultima formula vale per \alpha\neq \frac\pi 2 +k\pi e \alpha\neq \pm\frac\pi 4+ k \pi con k \in Z

Formule di linearità[modifica | modifica sorgente]

  • \cos^2\alpha=\frac {1+\cos(2\alpha)} 2
  • \sen^2\alpha=\frac {1-\cos(2\alpha)} 2
  • \tan^2\alpha=\frac {\sen^2\alpha} {\cos^2\alpha}=\frac {1-\cos(2\alpha)} {1+\cos(2\alpha)}

L'ultima formula vale per \alpha\neq \frac\pi 2 +k\pi con k \in Z

Formule di bisezione[modifica | modifica sorgente]

Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade \frac{\alpha} 2 per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule

  • \cos\left(\frac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\frac {1+\cos\alpha} 2 }
  • \sen\left(\frac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\frac {1-\cos\alpha} 2 }
  • \tan\left(\frac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\frac {1-\cos\alpha} {1+\cos\alpha}}

L'ultima formula vale per \alpha\neq \pi+2k\pi

Formule parametriche[modifica | modifica sorgente]

  • \cos\alpha=\frac {1-t^2} {1+t^2}
  • \sen\alpha=\frac {2t} {1+t^2}
  • \tan\alpha=\frac {2t} {1-t^2}

dove t=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) con  \alpha\neq \pi+2k\pi

Formule di prostaferesi[modifica | modifica sorgente]

  • \sen p+\sen q=2\sen \left(\frac {p+q}{2}\right)\cos \left(\frac {p-q}{2}\right)
  • \sen p-\sen q=2\cos \left(\frac {p+q}{2}\right)\sen \left(\frac {p-q}{2}\right)
  • \cos p+\cos q=2\cos \left(\frac {p+q}{2}\right)\cos \left(\frac {p-q}{2}\right)
  • \cos p-\cos q=-2\sen \left(\frac {p+q}{2}\right)\sen \left(\frac {p-q}{2}\right)

Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti

Formule di Werner (inverse delle formule di prostaferesi)[modifica | modifica sorgente]

  • \sen\alpha\cos\beta=\frac {1}{2} \left[ \sen (\alpha+\beta) + \sen (\alpha-\beta)\right]
  • \cos\alpha\cos\beta=\frac {1}{2} \left[ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta)\right]
  • \sen\alpha\sen\beta=-\frac {1}{2} \left[ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta)\right]
  • \cos\alpha\sen\beta=\frac {1}{2} \left[ \sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta)\right]

Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme

Formule dell'angolo aggiunto[modifica | modifica sorgente]

  •  a \sen x +b \cos x = A \sen (x+\phi)

La seguente uguaglianza è verificata sotto le seguenti condizioni

A=\sqrt{a^2+b^2}


\begin{cases} \cos \phi = \frac a {\sqrt{a^2+b^2}}\\ 
\sen \phi = \frac b {\sqrt{a^2+b^2}} \end{cases}
 \tan \phi = \frac b a

Fare attenzione che la tangente goniometrica è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di \phi dunque


\phi = \begin{cases} \arctan(\frac b a) &\mbox{se } a>0 \\ 
\arctan(\frac b a)+\pi &\mbox{se } a<0 \end{cases}

Risoluzione dei triangoli rettangoli[modifica | modifica sorgente]

Convenzione per la nomenclatura degli elementi di un triangolo rettangolo

Nel gergo matematico risolvere un triangolo rettangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo. Per convenzione esiste una nomenclatura nei triangoli rettangoli che si può vedere in figura. Si ricorda che

  •  \alpha=90^o e  \beta + \gamma =90^o
  • un angolo è adiacente ad un cateto se il cateto risulta essere uno dei lati dell'angolo in questione.
  • un angolo è opposto ad un cateto se il cateto non è uno dei lati dell'angolo in questione.

Ad esempio  \beta è opposto al cateto b e adiacente al cateto c.

Sotto queste convenzioni in un triangolo rettangolo valgono i seguenti teoremi

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa con il seno dell'angolo opposto al cateto

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa con il coseno dell'angolo acuto adiacente al cateto.

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto con la tangente dell'angolo opposto al cateto da calcolare.

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto con la cotangente dell'angolo acuto adiacente al cateto da calcolare.

Tali teoremi si traducono nelle seguenti formule per la risoluzione dei triangoli rettangoli

 a = \frac c {\sen \gamma} \quad \Rightarrow \quad c = a \cdot \sen \gamma
  a = \frac b {\cos \gamma} \quad \Rightarrow \quad b = a \cdot \cos \gamma 
 \frac c b =\frac {\sen \gamma} {\cos \gamma} \quad \Rightarrow \quad c = b \cdot \tan \gamma
  \frac b c =\frac {\cos \gamma} {\sen \gamma} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \cot \gamma 
 a = \frac b {\sen \beta} \quad \Rightarrow \quad b = a \cdot \sen \beta
  a = \frac c {\cos \beta} \quad \Rightarrow \quad c = a \cdot \cos \beta 
 \frac b c =\frac {\sen \beta} {\cos \beta} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \tan \beta
  \frac c b =\frac {\cos \beta} {\sen \beta} \quad \Rightarrow \quad c = b \cdot \cot \beta 

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si consideri un triangolo rettangolo ABC con angolo retto di vertice A. Detto CA l'asse x, sul vertice C si costruisce una circonferenza di raggio CP=1. Le coordinate del punto P rappresentano il \cos \gamma e il \sen \gamma, e poiché \gamma è acuto indicano anche rispettivamente le lunghezze dei cateti CH e PH.

Dimostrazione formule triangolo rettangolo

.

Dalla figura si può osservare che i due triangoli rettangoli ABC e HPC sono simili in quanto hanno due angoli congruenti:  \gamma in comune e gli angoli retti di vertice A e H. Quindi è possibile costruire la proporzione fra i lati omologhi dei due triangoli simili (lati opposti agli angoli congruenti):

 \frac {\overline{BC}} {\overline{PC}} = \frac {\overline{BA}} {\overline{PH}} = \frac {\overline{CA}} {\overline{CH}}

Sostituendo le misure dei lati si ottiene

 \frac a 1 = \frac c {\sen \gamma} = \frac b {\cos \gamma}

e quindi

 a = \frac c {\sen \gamma} \quad \Rightarrow \quad c = a \cdot \sen \gamma
  a = \frac b {\cos \gamma} \quad \Rightarrow \quad b = a \cdot \cos \gamma 

da queste due si ricava anche

 \frac c b =\frac {\sen \gamma} {\cos \gamma} \quad \Rightarrow \quad c = b \cdot \tan \gamma
  \frac b c =\frac {\cos \gamma} {\sen \gamma} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \cot \gamma 

Questo ragionamento può essere chiaramente esteso anche al terzo angolo \beta in modo da ottenere formule analoghe

 a = \frac b {\sen \beta} \quad \Rightarrow \quad b = a \cdot \sen \beta
  a = \frac c {\cos \beta} \quad \Rightarrow \quad c = a \cdot \cos \beta 
 \frac b c =\frac {\sen \beta} {\cos \beta} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \tan \beta
  \frac c b =\frac {\cos \beta} {\sen \beta} \quad \Rightarrow \quad c = b \cdot \cot \beta 

Applicazioni notevoli dei triangoli rettangoli[modifica | modifica sorgente]

Calcolo dell'altezza di una torre[modifica | modifica sorgente]

Si consideri il seguente problema: calcolare l'altezza di una torre AB, potendo stare solo alla base (piano orizzontale) della stessa. Si distinguono due casi

il piede A della torre è raggiungibile[modifica | modifica sorgente]

Calcolo altezza di una torre con piede A raggiungibile

In questo caso basta misurare il cateto AC (b), e dal punto C misurare l'angolo acuto ACB ( \gamma ) sotto cui si vede la sommità della torre AB (c). Applicando opportunamente le formule si ottiene

 h_{torre} = c = b \cdot \tan \gamma

il piede A della torre non è raggiungibile[modifica | modifica sorgente]

Calcolo altezza di una torre con piede A non raggiungibile

In questo caso AC (b_1=x) è incognita (in quanto il piede A non è raggiungibile). Si fa dunque una misura orizzontale CD (d) (quindi il cateto AD è b_2=x+d). Dal punto C si misura l'angolo acuto ACB ( \gamma_1 ) e da D si misura l'angolo acuto ADB ( \gamma_2 ) sotto cui si vede la sommità della torre AB (c). Applicando opportunamente le formule si ottiene

 h_{torre} = c = b_1 \cdot \tan \gamma_1 = x \cdot \tan \gamma_1
  h_{torre} = c = b_2 \cdot \tan \gamma_2 = (x+d) \cdot \tan \gamma_2 

Confrontando le due altezze si ottiene una equazione nell'incognita x

  x \cdot \tan \gamma_1 = (x+d) \cdot \tan \gamma_2

questa equazione è facilmente risolvibile noti d,  \gamma_1 e  \gamma_2

Trovato x si ha b_1 e quindi si può calcolare

 h_{torre} = c = b_1 \cdot \tan \gamma_1

Calcolo dell'area di un triangolo qualsiasi[modifica | modifica sorgente]

l'altezza h può essere vista come cateto del triangolo CHA

Per calcolare l'area del triangolo ABC, di base CB=a, serve l'altezza AH. Nel triangolo rettangolo CHA, di ipotenusa AC=b, l'altezza AH=h può essere vista come il cateto che si oppone all'angolo  \gamma . Utilizzando in modo opportuno le formule dei triangoli rettangoli si ottiene

 AH=h= b \cdot \sen \gamma

e quindi

 Area= \frac 1 2 \cdot a \cdot h =\frac 1 2  a  b \sen \gamma

Questa formula vale anche se  \gamma è ottuso.

Formule di conversione da Coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa[modifica | modifica sorgente]

Coordinate polari e coordiante cartesiane

Fissato su un piano un punto origine O (0;0) e una semiretta Or, dato un punto P del piano esso è univocamente individuato da una coppia di numeri reali  ( \rho, \theta) con la condizione  \rho>0 e  0\leq \theta < 360^o. La coppia di numeri reali rappresentano le coordinate polari di P. Geometricamente  \rho rappresenta la distanza OP, mentre  \theta rappresenta l'angolo rOP misurato in senso antiorario con primo lato Or.

È possibile trovare le relazioni esistenti tra le coordinate cartesiane (x;y) e le coordinate polari (\rho;\theta) del punto P. Le seguenti considerazioni fatte per un punto P sul primo quadrante valgono anche per gli altri quadranti.

Utilizzando le formule dei triangoli rettangoli si trovano le formule per la trasformazione in coordinate cartesiane


\begin{cases} x=\rho \cdot \cos \theta \\ 
y= \rho \cdot \sen \theta \end{cases}

Elevando al quadrato e sommando si ottiene  x^2+y^2=\rho^2 e quindi si possono ricavare le formule per la trasformazione in coordinate polari


\begin{cases} \cos \theta = \frac x {\rho} \\ 
\sen \theta = \frac y {\rho} \end{cases} 
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases} \cos \theta = \frac x {\sqrt{x^2+y^2}}\\ 
\sen \theta = \frac y {\sqrt{x^2+y^2}} \end{cases}

\begin{cases} \rho = \sqrt {x^2+y^2} \\ 
\tan \theta = y/x \end{cases}

Fare attenzione che la tangente goniometrica non esiste per x=0 ed è periodica di 180° e dunque bisogna valurare preventivamente la posizione di P per calcolare correttamente  \theta


\theta = \begin{cases} \arctan(y/x) & \text{se } x>0 \\ 
\arctan(y/x)+\pi & \text{se } x<0 \end{cases}

Teoremi trigonometrici[modifica | modifica sorgente]

I teoremi trigonometrici permettono la risoluzione di problemi di varia natura legata alla figura di un triangolo qualsiasi, esprimendo rapporti tra i lati e gli angoli di questo.

Teorema della corda[modifica | modifica sorgente]

Teorema della corda in una circonferenza
Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema della corda.

Data una circonferenza e una corda AB, il rapporto tra tale corda e il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste su di essa è uguale al diametro della circonferenza:

\frac{\overline{AB}}{\mathrm{sen} \, \widehat{C}}=2r.

Teorema dei seni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema dei seni.

Considerato un triangolo qualsiasi di lati a, b e c, il rapporto tra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:

\frac{a}{\mathrm{sen} \, \alpha}=\frac{b}{\mathrm{sen} \, \beta}=\frac{c}{\mathrm{sen} \, \gamma}=2r.

Teorema del coseno o di Carnot[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema del coseno.
Triangolo con vertici, altezza e un angolo.png

Il teorema del coseno (chiamato anche teorema di Carnot) afferma che in un qualsiasi triangolo, il quadrato di un lato è uguale alla differenza tra la somma dei quadrati degli altri due lati e il doppio prodotto di tali lati per il coseno dell'angolo compreso tra essi.

\overline{BA}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma.

Ovvero, indicando con a, b, c la lunghezza dei lati e \alpha, \beta, \gamma gli angoli ad essi opposti, si ottiene

 a^2= b^2+c^2-2bc \cdot \cos \alpha
 b^2= a^2+c^2-2ac \cdot \cos \beta
 c^2= a^2+b^2-2ab \cdot \cos \gamma

Può essere considerato una generalizzazione del Teorema di Pitagora.

Risoluzione dei triangoli qualsiasi[modifica | modifica sorgente]

Convenzione per la nomenclatura degli elementi di un triangolo

Nel gergo matematico risolvere un triangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo.

Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi dei quali almeno uno deve essere un lato. Si possono presentare quattro casi:

  1. sono noti un lato e due angoli
  2. sono noti tre lati
  3. sono noti due lati e l’angolo compreso
  4. sono noti due lati e uno dei due angoli opposti ai lati dati

La nomenclatura dei lati e degli angoli segue la convenzione in figura.

Risolvere un triangolo noti un lato (a) e due angoli ( \alpha, \beta )[modifica | modifica sorgente]

Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le seguenti condizioni

 \alpha+\beta < 180^o

in caso contrario il problema non ha soluzione.

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguente[modifica | modifica sorgente]

  1. Calcolare l'angolo mancante  \gamma = 180^o -(\alpha + \beta)
  2. Calcolare il lato incognito b utilizzando il teorema dei seni:  \frac a {\sen \alpha} = \frac b {\sen \beta}
  3. Calcolare il lato incognito c utilizzando il teorema dei seni:  \frac a {\sen \alpha} = \frac c {\sen \gamma}

Risolvere un triangolo noti i tre lati (a, b, c)[modifica | modifica sorgente]

Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le disuguaglianze triangolari in caso contrario il problema non ha soluzione.

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguente[modifica | modifica sorgente]

  1. calcolare l'angolo \alpha mediante il teorema del coseno:  \cos \alpha = \frac {b^2+c^2 -a^2}{2bc}
  2. calcolare l'angolo  \beta mediante il teorema del coseno:  \cos \beta = \frac {a^2+c^2 -b^2}{2ac}
  3. calcolare l'angolo mancante  \gamma = 180^o -(\alpha + \beta)

Risolvere un triangolo noti due lati (a e b) e l'angolo compreso ( \gamma )[modifica | modifica sorgente]

Il problema ha sempre una sola soluzione

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguente[modifica | modifica sorgente]

  1. calcolare il lato c (opposto all'angolo \gamma ) mediante il teorema del coseno:  c = \sqrt {a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma}
  2. calcolare l'angolo \alpha (opposto al lato a) mediante il teorema del coseno:  \cos \alpha = \frac {b^2+c^2 -a^2}{2bc}
  3. calcolare l'angolo mancante  \beta = 180^o -(\gamma + \alpha)

Risolvere un triangolo noti due lati (a e b) e l'angolo \alpha opposto al lato a[modifica | modifica sorgente]

Il problema può avere nessuna soluzione, una soluzione o due soluzioni.

  1. Si calcola l'angolo incognito \beta con il teorema dei seni \frac b {\sen \beta}=\frac a {\sen \alpha}
  2. Se \alpha è ottuso si otterrà un solo angolo \beta_1 acuto, altrimenti si trova anche \beta_2=180^o-\beta_1.
  3. Si calcola \gamma_1=180^o-(\beta_1+\alpha) ed eventualmente \gamma_2=180^o-(\beta_2+\alpha)
  4. Si calcola c_1 e eventualmente c_2 utilizzando il teorema dei seni \frac a {\sen \alpha}=\frac c {\sen \gamma}

Etimologia dei nomi[modifica | modifica sorgente]

Come per il resto delle lingue europee, l'italiano eredita i nomi delle funzioni trigonometriche dalle corrispondenti voci latine. Il termine seno proviene dalla traduzione latina sinus della parola araba jaib (letteralmente baia, tradotto in latino sinus a causa di una lettura equivoca: dal momento che l'arabo non scrive le vocali, la sequenza jb, che stava per jiba ricalcando una parola sanscrita, è stata interpretata erroneamente come baia, in luogo del corretto corda) usata per indicare la metà della corda; in questo senso, il seno denota la corda piegata su se stessa. La parola tangente viene da latino tangens, letteralmente «che tocca», in riferimento alle proprietà geometriche del segmento utilizzato per la definizione grafica di questa funzione. Analogamente si spiega l'etimologia della secante, in latino secans, «che taglia». Le parole coseno, cotangente e cosecante derivano dalla contrazione delle rispettive voci latine complementi sinus, complementi tangens, complementi secans, vale a dire «seno dell'angolo complementare», «tangente dell'angolo complementare», «secante dell'angolo complementare».

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Le notazioni con esponente negativo usate per le funzioni sen−1, cos−1, etc. (usate spesso nelle calcolatrici scientifiche) non fanno riferimento alle potenze, ma indicano solo il fatto che esse sono le funzioni inverse delle rispettive funzioni trigonometriche. Pertanto, a meno che non sia esplicitamente indicato, risulta:
    \mathrm{sen}^{-1} x \neq \frac{1}{\mathrm{sen} \, x}.

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