Funzioni iperboliche

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, le funzioni iperboliche costituiscono una famiglia di funzioni speciali dotate di alcune proprietà analoghe a corrispondenti proprietà delle ordinarie funzioni trigonometriche.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Illustrazione della definizione in termini dell'iperbole equilatera

Possiamo definire le funzioni iperboliche in questo modo:

Data un'iperbole equilatera unitaria, quindi con a = b = 1, centrata con gli assi sugli assi coordinati e dato un angolo \alpha, consideriamo il settore iperbolico di apertura \frac{\alpha}{2} ed area A: questo determina un punto P come intersezione con l'iperbole; definiamo quindi l'ordinata del punto P come seno iperbolico (\sinh{}) della suddetta area A, nonché la relativa ascissa come coseno iperbolico (\cosh{}) sempre della suddetta area A, come indicato in Figura (cioè sinhA e coshA).

Conseguentemente si possono definire le altre funzioni iperboliche tramite \sinh{} e \cosh{} così come si fa per quelle trigonometriche. È inoltre possibile legarle alla funzione esponenziale grazie alla definizione di quest'ultimo (vedi Derivazione delle funzioni iperboliche):

  • Funzione seno iperbolico
\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}}
  • Funzione coseno iperbolico
\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}}
  • Funzione tangente iperbolica
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = \frac{1 - e^{-2x}} {1 + e^{-2x}}
  • Funzione cotangente iperbolica
\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = \frac{1 + e^{-2x}} {1 - e^{-2x}}
  • Funzione secante iperbolica
\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1} = \frac{2e^{-x}} {1 + e^{-2x}}
  • Funzione cosecante iperbolica
\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1} = \frac{2e^{-x}} {1 - e^{-2x}}

In queste definizioni x si può considerare variabile reale o complessa.

Grafici delle funzioni iperboliche: sinh, cosh e tanh (argomenti reali)
Grafici delle funzioni iperboliche: csch, sech e coth (argomenti reali)

Relazione con le funzioni trigonometriche[modifica | modifica wikitesto]

Per x reale la funzione \cosh{x} è una funzione pari, cioè simmetrica rispetto all'asse y; la funzione \sinh{x} è invece una funzione dispari, cioè simmetrica rispetto all'origine.

Conseguentemente sono funzioni dispari anche \operatorname{tanh}{x}, \operatorname{coth}{x} e \operatorname{csch}{x}, mentre \operatorname{sech}{x} è pari.

Si trovano poi i seguenti valori particolari:

\sinh{0} = 0 \qquad \cosh{0} = 1 \qquad \tanh{0} = 0 \qquad \operatorname{sech}{0} = 1

Così come al variare della variabile reale t i punti \left(\cos{t}, \sin{t}\right) definiscono la circonferenza x^2 + y^2 = 1, analogamente i punti \left(\cosh{t}, \sinh{t}\right) definiscono l'iperbole equilatera x^2 - y^2 = 1.

Questa è una conseguenza dell'identità:

\left(\cosh{t}\right)^2 - \left(\sinh{t}\right)^2 = 1

derivabile dalle definizioni mediante funzioni esponenziali con manipolazioni algebriche elementari.

Al contrario delle corrispondenti funzioni trigonometriche, le funzioni iperboliche non sono periodiche.

L'argomento t delle funzioni seno e coseno che definiscono la circonferenza può essere interpretato naturalmente come un angolo; la t argomento delle funzioni iperboliche rappresenta invece due volte l'area del settore compreso tra il segmento che collega l'origine con il punto \left(\cosh{t}, \sinh{t}\right) su un ramo dell'iperbole equilatera, l'arco di tale iperbole che dal punto si conclude nel punto \left(1,0\right) sull'asse x e il segmento sull'asse x da questo punto all'origine.

Le funzioni iperboliche soddisfano molte identità, simili a corrispondenti identità trigonometriche.

In effetti, la formula di Osborne specifica che si può convertire ogni identità trigonometrica in una identità iperbolica[senza fonte] sviluppandola completamente in termini di potenze intere di seni e coseni, trasformando ogni \sin in \sinh e ogni \cos in \cosh e infine cambiando il segno di ogni termine che contiene un prodotto di due \sinh. Procedendo in questo modo, ad esempio, si trovano i teoremi di addizione:

\sinh{(x+y)} = \sinh{(x)} \cosh{(y)} + \cosh{(x)} \sinh{(y)}
\cosh{(x+y)} = \cosh{(x)} \cosh{(y)} + \sinh{(x)} \sinh{(y)}

e le formule di bisezione

\cosh{\left(\frac{x}{2}\right)} = \sqrt{\frac{1+\cosh{(x)}}{2}}
\sinh{\left(\frac{x}{2}\right)} = \sqrt{\frac{\cosh{(x)}-1}{2}}

La derivata di \sinh{x} è data da \cosh{x} e la derivata di \cosh{x} è \sinh{x}; questo collegamento si legge facilmente sui grafici delle funzioni.

Il grafico della funzione \cosh{x} è la curva catenaria, profilo assunto da un cavo con densità uniforme con le due estremità fissate e sottoposto alla gravità.

Sviluppi in serie di Taylor[modifica | modifica wikitesto]

È possibile esprimere le funzioni iperboliche in termini di sviluppi di Taylor:

\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

La funzione sinh x ha serie di Taylor con soli termini dispari, e quindi il seno iperbolico è una funzione dispari, ovvero −sinh x = sinh(−x), e sinh 0 = 0.

\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}

La funzione cosh x presenta invece solo termini pari, come ci si aspetta da una funzione pari, simmetrica rispetto all'asse delle y. La somma del seno e del coseno iperbolici rappresenta lo sviluppo della funzione esponenziale.

\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\coth x = x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi (Serie di Laurent)
\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\operatorname {csch}\, x = x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi (Serie di Laurent)

dove

B_n è l'n-esimo numero di Bernoulli,
E_n è l'n-esimo numero di Eulero.

Funzioni iperboliche inverse[modifica | modifica wikitesto]

Le inverse delle funzioni iperboliche sono:

\operatorname{arsinh}(x) = \ln{\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)}
\operatorname{arcosh}(x) = \ln{\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)}
\operatorname{artanh}(x) = \ln{\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right)} = \frac{1}{2} \ln{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}
\operatorname{arcoth}(x) = \ln{\left(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1}\right)} = \frac{1}{2} \ln{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}
\operatorname{arsech}(x) = \ln{\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)}
\operatorname{arcsch}(x) = \ln{\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)}

Funzioni iperboliche fornite da integrali[modifica | modifica wikitesto]

\int \frac {dx} {\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh}(x) + c = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + c
\int \frac {dx} {\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcosh}(x) + c = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) + c
\int \sqrt{x^2 + 1}\, dx = \frac{\operatorname{arsinh}(x) + x\sqrt{x^2 + 1}}{2} + c = \frac{\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + x\sqrt{x^2 + 1}}{2} + c
\int \sqrt{x^2 - 1}\, dx = \frac{- \operatorname{arcosh}(x) + x\sqrt{x^2 - 1}}{2} + c = \frac{- \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) + x\sqrt{x^2 - 1}}{2} + c
\int \frac {dx} {1 - x^2} = \operatorname{artanh}(x) + c = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + c

Funzioni iperboliche di argomento complesso[modifica | modifica wikitesto]

La parte reale, la parte immaginaria e il modulo del seno iperbolico nel piano complesso Dato che la funzione esponenziale può essere definita per ogni argomento complesso, possiamo estendere la definizione delle funzioni iperboliche anche agli argomenti complessi. Le funzioni sinh z e cosh z sono quindi olomorfe per ogni argomento complesso, e si possono sviluppare in serie di Taylor.

Le relazioni con le funzioni trigonometriche sono ottenute dalla formula di Eulero per i numeri complessi:

e^{ix} = \cos x + i\;\sin x
\cosh(ix) = \frac{(e^{ix} + e^{-ix})}{2} = \cos(x)
\sinh(ix) = \frac{(e^{ix} - e^{-ix})}{2} = i \sin(x)
\tanh(ix) = i \tan(x)
\sinh(x) = -i \sin(ix)
\cosh(x) = \cos(ix)
\tanh(x) = -i \tan(ix)\,
\operatorname{arsinh}(x) = i \arcsin(-ix)
\operatorname{arcosh}(x) = i \arccos(x)
\operatorname{artanh}(x) = i \arctan(-ix)

Notazioni[modifica | modifica wikitesto]

I nomi delle funzioni iperboliche inverse citati in questo articolo sono quelli ufficiali dettati dalle norme ISO[senza fonte]. I loro nomi derivano da abbreviazioni di espressioni latine. Per esempio arsinh deriva da area sinus hyperbolicus, arcosh deriva da area cosinus hyperbolicus, ecc.

Spesso si trovano anche le diciture arcsinh, arccosh, ecc. che sono chiaramente mutuate dai nomi delle funzioni trigonometriche inverse. Queste diciture sono però palesamente scorrette perché le funzioni iperboliche e le loro inverse non hanno nulla a che vedere con gli archi.

Infine nella tradizione italiana è frequente trovare i nomi settsenh, settcosh, ecc. Seppur concettualmente corretti, questi nomi non seguono le norme ISO e le convenzioni internazionali. Con il tempo verranno pian piano abbandonati in favore di quelli ufficiali.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica