Funzioni iperboliche

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, le funzioni iperboliche costituiscono una famiglia di funzioni speciali dotate di alcune proprietà analoghe a corrispondenti proprietà delle ordinarie funzioni trigonometriche.

Grafici delle funzioni iperboliche: sinh, cosh e tanh (argomenti reali)
Grafici delle funzioni iperboliche: sinh, cosh e tanh (argomenti reali)
Grafici delle funzioni iperboliche: csch, sech e coth (argomenti reali)
Grafici delle funzioni iperboliche: csch, sech e coth (argomenti reali)

Indice

[modifica] Definizioni

Possiamo definire le funzioni iperboliche in questo modo:

Data un'iperbole equilatera,quindi con a = b\,, centrata con gli assi sugli assi coordinati e dato un angolo \alpha\,,consideriamo il settore iperbolico di area \frac{\alpha}{2}\,, questo determina un punto P come intersezione con l'iperbole; definiamo quindi seno iperbolico (\sinh{}\,) l'ordinata del punto P e coseno iperbolico (\cosh{}\,) l'ascissa del punto P; conseguentemente si possono definire le altre funzioni iperboliche tramite \sinh{}\, e \cosh{}\, così come si fa per quelle trigonometriche.

Possiamo anche dare le loro definizioni basate su funzioni esponenziali.

  • Funzione seno iperbolico
\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}
  • Funzione coseno iperbolico
\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
  • Funzione tangente iperbolica
\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}
  • Funzione cotangente iperbolica
\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}
  • Funzione secante iperbolica
\operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}
  • Funzione cosecante iperbolica
\operatorname{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)} = \frac{2}{e^x - e^{-x}}

In queste definizioni x si può considerare variabile reale o complessa.

[modifica] Relazione con le funzioni trigonometriche

Per x\, reale la funzione \cosh{x}\, è una funzione pari, cioè simmetrica rispetto all'asse y\,; la funzione \sinh{x}\, è invece una funzione dispari, cioè simmetrica rispetto all'origine.

Conseguentemente sono funzioni dispari anche \tanh{x}\,, \coth{x}\, e \operatorname{csch}{x}\,, mentre \operatorname{sech}{x}\, è pari.

Si trovano poi i seguenti valori particolari:

\sinh{0} = 0 \qquad \cosh{0} = 1 \qquad \tanh{0} = 0 \qquad \operatorname{sech}{0} = 1

Così come al variare della variabile reale t\, i punti \left(\cos{t}, \sin{t}\right)\, definiscono la circonferenza x^2 + y^2 = 1\,, analogamente i punti \left(\cosh{t}, \sinh{t}\right)\, definiscono l'iperbole equilatera x^2 - y^2 = 1\,.

Questa è una conseguenza dell'identità:

\left(\cosh{t}\right)^2 - \left(\sinh{t}\right)^2 = 1

derivabile dalle definizioni mediante funzioni esponenziali con manipolazioni algebriche elementari.

Al contrario delle corrispondenti funzioni trigonometriche, le funzioni iperboliche non sono periodiche.

L'argomento t delle funzioni seno e coseno che definiscono la circonferenza può essere interpretato naturalmente come un angolo; la t\, argomento delle funzioni iperboliche rappresenta invece due volte l'area del settore compreso tra il segmento che collega l'origine con il punto \left(\cosh{t}, \sinh{t}\right)\, su un ramo dell'iperbole equilatera, l'arco di tale iperbole che si conclude nel punto \left(t,0\right)\, sull'asse x\, e il segmento sull'asse x\, da questo punto all'origine.

Le funzioni iperboliche soddisfano molte identità, simili a corrispondenti identità trigonometriche.

In effetti, la formula di Osborne specifica che si può convertire ogni identità trigonometrica in una identità iperbolica sviluppandola completamente in termini di potenze intere di seni e coseni, trasformando ogni \sin\, in \sinh\, e ogni \cos\, in \cosh\, e infine cambiando il segno di ogni termine che contiene un prodotto di due \sinh\,. Procedendo in questo modo, ad esempio, si trovano i teoremi di addizione:

\sinh{(x+y)} = \sinh{(x)} \cosh{(y)} + \cosh{(x)} \sinh{(y)}\,
\cosh{(x+y)} = \cosh{(x)} \cosh{(y)} + \sinh{(x)} \sinh{(y)}\,

e le formule dell'angolo dimezzato

\cosh{\left(\frac{x}{2}\right)} = \sqrt{\frac{1+\cosh{(x)}}{2}}
\sinh{\left(\frac{x}{2}\right)} = \sqrt{\frac{\cosh{(x)}-1}{2}}

La derivata di \sinh{x}\, è data da \cosh{x}\, e la derivata di \cosh{x}\, è \sinh{x}\,; questo collegamento si legge facilmente sui grafici delle funzioni.

Il grafico della funzione \cosh{x}\, è la curva catenaria, profilo assunto da un cavo con densità uniforme con le due estremità fissate e sottoposto alla gravità.

[modifica] Funzioni iperboliche inverse

Le inverse delle funzioni iperboliche sono:

  • \operatorname{arcsinh}(x) = \ln{\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)}
  • \operatorname{arccosh}(x) = \ln{\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)}
  • \operatorname{arctanh}(x) = \ln{\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right)} = \frac{1}{2} \ln{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}
  • \operatorname{arcoth}(x) = \ln{\left(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1}\right)} = \frac{1}{2} \ln{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}
  • \operatorname{arcsech}(x) = \ln{\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)}
  • \operatorname{arccsch}(x) = \ln{\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)}

[modifica] Funzioni iperboliche fornite da integrali

\int \frac {dx} {\sqrt{1 - x^2}} = \operatorname{arcsin}(x) + c = - \operatorname{arccos}(x) + \frac {\pi}{2} + c
\int \frac {dx} {\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arcsinh}(x) + c = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + c
\int \frac {dx} {\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arccosh}(x) + c = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) + c
\int \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{\operatorname{arcsin}(x) + x\sqrt{1 - x^2}}{2} + c
\int \sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{\operatorname{arcsinh}(x) + x\sqrt{x^2 + 1}}{2} + c = \frac{\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + x\sqrt{x^2 + 1}}{2} + c
\int \sqrt{x^2 - 1} dx = \frac{- \operatorname{arccos}h(x) + x\sqrt{x^2 - 1}}{2} + c = \frac{- \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) + x\sqrt{x^2 - 1}}{2} + c
\int \frac {dx} {1 + x^2} = \operatorname{arctan}(x) + c
\int \frac {dx} {1 - x^2} = \operatorname{arctanh}(x) + c = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) + c

[modifica] Funzioni iperboliche di argomento complesso

Dato che la funzione esponenziale può essere definita per ogni argomento complesso, possiamo estendere la definizione delle funzioni iperboliche anche agli argomenti complessi. Le funzioni sinh z e cosh z sono quindi olomorfe per ogni argomento complesso, e si possono sviluppare in serie di Taylor.

Le relazioni con le funzioni trigonometriche sono ottenute dalla formula di Eulero per i numeri complessi:

e^{ix} = \cos x + i\;\sin x
\cosh(ix) = \frac{(e^{ix} + e^{-ix})}{2} = \cos(x)
\sinh(ix) = \frac{(e^{ix} - e^{-ix})}{2} = i \sin(x)
\tanh(ix) = i \tan(x) \,
\sinh(x) = -i \sin(ix) \,
\cosh(x) = \cos(ix) \,
\tanh(x) = -i \tan(ix) \,
\operatorname{arcsinh}(x) = i \arcsin(-ix)
\operatorname{arccosh}(x) = i \arccos(x)
\operatorname{arctanh}(x) = i \arctan(-ix)
La parte reale, la parte immaginaria e il modulo del seno iperbolico nel piano complesso
La parte reale, la parte immaginaria e il modulo del seno iperbolico nel piano complesso

[modifica] Bibliografia

Trigonometria
Funzione trigonometrica | Funzione trigonometrica inversa

Seno | Coseno | Tangente | Cotangente | Secante | Cosecante
Arcoseno | Arcocoseno | Arcotangente | Arcocotangente | Arcosecante | Arcocosecante
Teorema dei seni | Teorema del coseno | Funzioni iperboliche | Identità trigonometrica
Funzioni speciali

Funzione esponenziale · Logaritmo · Funzioni trigonometriche · Funzioni iperboliche · Funzione gaussiana · Funzione degli errori · Funzione integrale esponenziale · Funzioni integrali trigonometrici · Funzione gamma · Funzione beta · Funzioni di Bessel · Funzioni di Airy · Funzioni di Mathieu · Funzioni di Struve · Funzione parabolica del cilindro · Funzione zeta di Riemann · Funzioni ellittiche · Serie ipergeometrica · Q-serie ipergeometrica· Funzione G di Barnes

Testi sulle funzioni speciali · Glossario sulle funzioni speciali

Polinomi speciali

Polinomi di Hermite · Polinomi di Legendre · Polinomi di Jacobi · Polinomi di Gegenbauer · Polinomi di Chebyshev · Polinomio di Bernoulli · Polinomi ortogonali · Sequenza di Sheffer



Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_iperboliche"
Strumenti personali