Funzione parabolica del cilindro

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In matematica le funzioni paraboliche del cilindro sono funzioni speciali definite come soluzioni dell'equazione differenziale

\frac{d^2f}{dz^2} + \left(az^2+bz+c\right)f=0

Questa mediante un cambiamento di variabile si può mettere sotto le due distinte forme seguenti:

(1) \qquad \frac{d^2f}{dz^2} - \left(\frac{z^2}{4}+a\right)f=0

(2) \qquad \frac{d^2f}{dz^2} + \left(\frac{z^2}{4}-a\right)f=0

Se una soluzione ha la forma

\, f(a,z) ,

sono soluzioni anche

\, f(a,-z) , \quad f(-a,iz) \quad\mbox{e}\quad f(-a,-iz) .

Se una soluzione della (1) ha la forma

\, f(a,z) ,

una soluzione della (2) è

\, f\left( -ia,z\cdot e^{i \pi/4} \right) ,

e per simmetria sono soluzioni della (2) anche

\, f\left( -ia,-z\cdot e^{i \pi/4} \right) ,\quad
f\left( ia,-z\cdot e^{-i \pi/4} \right) ,\quad
f\left( ia,z\cdot e^{-i \pi/4} \right) .

Soluzioni[modifica | modifica sorgente]

L'equazione (1) possiede soluzioni indipendenti pari e dispari

y_1(a;z) = \exp(-z^2/4) \;_1F_1 
\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{4}; \;
\frac{1}{2}\; ; \; \frac{z^2}{2}\right)

e

y_2(a;z) = z\exp(-z^2/4) \;_1F_1 
\left(\frac{a}{2}+\frac{3}{4}; \;
\frac{3}{2}\; ; \; \frac{z^2}{2}\right)

dove al solito \;_1F_1 (a;b;z)=M(a;b;z)\; denota la equazione ipergeometrica confluente.

Per valori di a semidispari queste soluzioni possono essere riespresse in termini di polinomi di Hermite; alternativamente esse possono essere espresse in termini di funzioni di Bessel.

Notazione di Whittaker e Watson[modifica | modifica sorgente]

Una notazione alternativa per le soluzioni de l'equazione (1) e utilizzata nel libro di Whittaker e Watson. La funzione D_{n}(z)=2^{n/2+1/4}z^{-1/2} W_{n/2+1/4,-1/4}(z^2/2), dove W_{\kappa,\mu}(z) e una funzione di Whittaker e soluzione de l'equazione (1) per -a=n+1/2 (vedi equazione 19.3.1 nel libro di Abramowitz e Stegun). Altre soluzioni de l'equazione (1) sono D_{n}(-z), D_{-n-1}(iz) e D_{-n-1}(iz).


Storicamente, le funzioni paraboliche del cilindro furono introdotte dal matematico tedesco Weber nel 1869 per risolvere l'equazione di Helmholtz in coordinate paraboliche utilizzando il metodo di separazione di variabile.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica