Funzioni di Airy

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In matematica le funzioni di Airy sono due funzioni speciali denotate rispettivamente con Ai(x) e Bi(x) che traggono il nome da quello dell'astronomo inglese George Biddell Airy (1801-1892). Esse costituiscono le soluzioni dell'equazione differenziale ordinaria

f'' - xf = 0 .

Questa è la più semplice equazione differenziale lineare del secondo ordine dotata di un punto in cui il carattere delle soluzioni passa da oscillatorio a esponenziale: per esempio può sorgere dall'equazione di Helmholtz in una sola dimensione (ordinaria):

f'' + k(x)^2 f=0 ,

nel caso in cui la componente del vettore d'onda dipenda dalla radice della direzione:

k(x)^2 = x,

Spesso con il nome di funzione di Airy si intende la sola Ai(x).

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Per valori reali della x, la funzione di Airy Ai viene definita dal seguente integrale:

\mathrm{Ai}(x) := \frac{1}{\pi} \int_0^\infty  \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right) dt .

L'integrale converge anche se l'integrando non si annulla quando t → ∞ a causa delle rapide oscillazioni (la loro presenza può essere verificata effettuando una integrazione per parti).

Derivando sotto il simbolo di integrale, si ottiene che f = Ai(x) soddisfa l'equazione differenziale:

f'' - xf = 0.

Questa equazione ha due soluzioni linearmente indipendenti. La scelta standard per l'altra soluzione è la funzione di Airy del secondo tipo, indicata con Bi(x). Questa soluzione ha la stessa ampiezza di oscillazione di Ai(x) per x → −∞, ma sfasata di π/2.

Grafico della Ai(x) in rosso e della Bi(x) in verde

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

I valori di Ai(x) e Bi(x) e delle loro derivate per x = 0 sono dati da


   \mathrm{Ai}(0) = \frac{1}{3^{2/3}\Gamma(\frac23)}, \quad
   \mathrm{Bi}(0) = \frac{1}{3^{1/6}\Gamma(\frac23)}, \quad
   \mathrm{Ai}'(0) = -\frac{1}{3^{1/3}\Gamma(\frac13)}, \quad   
   \mathrm{Bi}'(0) = \frac{3^{1/6}}{\Gamma(\frac13)}.

Qui Γ denota la funzione Gamma. Segue che il Wronskiano di Ai(x) e Bi(x) per x = 0 vale 1/π.

Quando x è positivo, Ai(x) è positiva, concava, e decrescente esponenzialmente a zero, mentre Bi(x) è positica, convessa, e crescente esponenzialmente. Quando x è negativo, Ai(x) e Bi(x) oscillano intorno a zero con frequenza non crescente e ampiezza non decrescente. Questo è ottenibile dalle formule asintotiche delle formule di Airy.

Formule asintotiche[modifica | modifica wikitesto]

Il comportamento asintotico delle funzioni di Airy per x →+ ∞ è dato da

 
   \mathrm{Ai}(x) \sim \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \quad\mbox{e}\quad
   \mathrm{Bi}(x) \sim \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}.

Per x →− ∞, si ottiene:

 
   \mathrm{Ai}(-x) \sim \frac{\cos(\frac23x^{3/2}-\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} \quad\mbox{e}\quad
   \mathrm{Bi}(-x) \sim -\frac{\sin(\frac23x^{3/2}-\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}.

Per questi limiti sono disponibili anche espansioni asintotiche, queste sono state individuate da Abramowitz e Stegun (1954) e Olver (1974).

Argomenti complessi[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo estendere la definizione di funzione di Airy al piano complesso definendo

\mathrm{Ai}(z) = \frac{1}{2\pi i} \int \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt,

dove l'integrale è definito su un percorso che inizia in un punto all'infinito con argomento -π/3 e finisce in un punto all'infinito con argomento π/3. Alternativamente, possiamo usare l'equazione differenziale f'' - xf = 0 per estendere Ai(x) e Bi(x) a funzioni intere sul piano complesso.

La formula asintotica per Ai(x) è ancora valida nel piano complesso se si considera il valore di x2/3 e x è limitato dall'asse reale negativo. La formula per Bi(x) è valida se x soddisfa {xC : |arg x| < π/3−δ} per qualche valore positivo di δ. Infine, le formule per Ai(−x) e Bi(−x) sono valide se x è nella sezione {xC : |arg x| < (2/3)π−δ}.

Ciò segue dal comportamento asintotico delle funzioni di Airy, sia Ai(x) che Bi(x) hanno un'infinità di zeri nell'asse reale negativo. La funzione Ai(x) non ha altri zeri nel piano complesso, mentre la funzione Bi(x) ha anche un'infinità di zeri nella sezione {zC : π/3 < |arg z| < π/2}.

Relazioni con altre funzioni speciali[modifica | modifica wikitesto]

Per argomenti positivi, le funzioni di Airy sono collegate alle funzioni di Bessel modificate:

 \mathrm{Ai}(x) = \frac1\pi \sqrt{\frac13 x} \, K_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right),
 \mathrm{Bi}(x) = \sqrt{\frac13 x} \left[I_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + I_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right].

Dove, I±1/3 e K1/3 sono soluzioni di x^2 f'' + x f' - (x^2 + 1/9)f = 0.

Per argomenti negativi, le funzioni di Airy sono collegate alle funzioni di Bessel:

 \mathrm{Ai}(-x) = \frac13 \sqrt{x} \left[J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right],
 \mathrm{Bi}(-x) = \sqrt{\frac13 x} \left[J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) - J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right].

Dove, J±1/3 sono soluzioni di x^2f'' + xf' + (x^2 - 1/9)f = 0.

Le funzioni di Scorer, che risolvono l'equazione f'' - xf = 1/\pi, possono anche essere espresse in termini di funzioni di Airy:

 \mathrm{Gi}(x) = \mathrm{Bi}(x) \int_x^\infty \mathrm{Ai}(t)\, dt + \mathrm{Ai}(x) \int_0^x \mathrm{Bi}(t)\, dt ,
 \mathrm{Hi}(x) = \mathrm{Bi}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, dt - \mathrm{Ai}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, dt.

Cenno storico[modifica | modifica wikitesto]

La funzione di Airy prende il nome dall'astronomo inglese George Biddell Airy, che la incontrò nei suoi studi di ottica (Airy 1838). La notazione Ai(x) fu introdotta da Harold Jeffreys.

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Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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