Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Questa pagina contiene una tavola di integrali indefiniti di funzioni trigonometriche.

Per altri integrali vedi Indici per la matematica#Tavole di integrali.

In questa pagina si assume che c sia una costante diversa da 0.

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo il seno[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi seno (trigonometria).
\int\mathrm{sen} \, cx\;dx = -\frac{1}{c}\cos cx
\int\mathrm{sen}^n cx\;dx = -\frac{\mathrm{sen}^{n-1} cx\cos cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\mathrm{sen}^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(per }n>0\mbox{)}
\int x\mathrm{sen} \, cx\;dx = \frac{\mathrm{sen} \, cx}{c^2}-\frac{x\cos cx}{c}
\int x^n\mathrm{sen} \, cx\;dx = -\frac{x^n}{c}\cos cx+\frac{n}{c}\int x^{n-1}\cos cx\;dx \qquad\mbox{(per }n>0\mbox{)}
\int\frac{\mathrm{sen} \, cx}{x} dx = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i\frac{(cx)^{2i+1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}
\int\frac{\mathrm{sen} \, cx}{x^n} dx = -\frac{\mathrm{sen} \, cx}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{c}{n-1}\int\frac{\cos cx}{x^{n-1}} dx
\int\frac{dx}{\mathrm{sen} \, cx} = \frac{1}{c}\ln \left|\tan\frac{cx}{2}\right|
\int\frac{dx}{\mathrm{sen}^n cx} = \frac{\cos cx}{c(1-n) \mathrm{sen}^{n-1} cx}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\mathrm{sen}^{n-2}cx} \qquad\mbox{(per }n>1\mbox{)}
\int\frac{dx}{1\pm\mathrm{sen} \, cx} = \frac{1}{c}\tan\left(\frac{cx}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)
\int\frac{x\;dx}{1+\mathrm{sen} \, cx} = \frac{x}{c}\tan\left(\frac{cx}{2} - \frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\cos\left(\frac{cx}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|
\int\frac{x\;dx}{1-\mathrm{sen} \, cx} = \frac{x}{c}\cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{cx}{2}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\mathrm{sen} \, \left(\frac{\pi}{4}-\frac{cx}{2}\right)\right|
\int\frac{\mathrm{sen} \, cx\;dx}{1\pm \mathrm{sen} \, cx} = \pm x+\frac{1}{c}\tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{cx}{2}\right)
\int\mathrm{sen} \, c_1x\mathrm{sen} \, c_2x\;dx = \frac{\mathrm{sen}(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)}-\frac{\mathrm{sen} (c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)} \qquad\mbox{(per }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo il coseno[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi coseno.
\int\cos cx\;dx = \frac{1}{c}\mathrm{sen} \, cx
\int\cos^n cx\;dx = \frac{\cos^{n-1} cx\mathrm{sen} \, cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(per }n>0\mbox{)}
\int x\cos cx\;dx = \frac{\cos cx}{c^2} + \frac{x\mathrm{sen} \, cx}{c}
\int x^n\cos cx\;dx = \frac{x^n\mathrm{sen} \, cx}{c} - \frac{n}{c}\int x^{n-1}\mathrm{sen} \, cx\;dx
\int\frac{\cos cx}{x} dx = \ln|cx|+\sum_{i=1}^\infty (-1)^i\frac{(cx)^{2i}}{2i\cdot(2i)!}
\int\frac{\cos cx}{x^n} dx = -\frac{\cos cx}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{c}{n-1}\int\frac{\mathrm{sen} \, cx}{x^{n-1}} dx \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{dx}{\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\tan\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|
\int\frac{dx}{\cos^n cx} = \frac{\mathrm{sen} \, cx}{c(n-1) \cos^{n-1} cx} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2} cx} \qquad\mbox{(per }n>1\mbox{)}
\int\frac{dx}{1+\cos cx} = \frac{1}{c}\tan\frac{cx}{2}
\int\frac{dx}{1-\cos cx} = -\frac{1}{c}\cot\frac{cx}{2}
\int\frac{x\;dx}{1+\cos cx} = \frac{x}{c}\tan({cx}/{2}) + \frac{2}{c^2}\ln\left|\cos\frac{cx}{2}\right|
\int\frac{x\;dx}{1-\cos cx} = -\frac{x}{x}\cot({cx}/{2})+\frac{2}{c^2}\ln\left|\mathrm{sen}\frac{cx}{2}\right|
\int\frac{\cos cx\;dx}{1+\cos cx} = x - \frac{1}{c}\tan\frac{cx}{2}
\int\frac{\cos cx\;dx}{1-\cos cx} = -x-\frac{1}{c}\cot\frac{cx}{2}
\int\cos c_1x\cos c_2x\;dx = \frac{\mathrm{sen}(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)}+\frac{\mathrm{sen}(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)} \qquad\mbox{(per }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo tangente[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi tangente (matematica).
\int\tan cx\;dx = -\frac{1}{c}\ln|\cos cx|
\int\tan^n cx\;dx = \frac{1}{c(n-1)}\tan^{n-1} cx-\int\tan^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{dx}{\tan cx + 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\mathrm{sen} \, cx + \cos cx|
\int\frac{dx}{\tan cx - 1} = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\mathrm{sen} \, cx - \cos cx|
\int\frac{\tan cx\;dx}{\tan cx + 1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln|\mathrm{sen} \, cx + \cos cx|
\int\frac{\tan cx\;dx}{\tan cx - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\mathrm{sen} \, cx - \cos cx|

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo secante[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi secante (trigonometria).
\int \sec{cx} \, dx = \frac{1}{c}\ln{\left| \sec{cx} + \tan{cx}\right|}
\int \sec^n{cx} \, dx = \frac{\sec^{n-1}{cx} \mathrm{sen} \, {cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ per }n \ne 1,\,c \ne 0

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo cosecante[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi cosecante (trigonometria).
\int \csc{cx} \, dx = -\frac{1}{c}\ln{\left| \csc{cx} + \cot{cx}\right|}
\int \csc^n{cx} \, dx = -\frac{\csc^{n-1}{cx} \cos{cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ per }n \ne 1,\,c \ne 0

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo cotangente[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi cotangente (trigonometria).
\int\cot cx\;dx = \frac{1}{c}\ln|\mathrm{sen} \, cx|
\int\cot^n cx\;dx = -\frac{1}{c(n-1)}\cot^{n-1} cx - \int\cot^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{dx}{1 + \cot cx} = \int\frac{\tan cx\;dx}{\tan cx+1}
\int\frac{dx}{1 - \cot cx} = \int\frac{\tan cx\;dx}{\tan cx-1}

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti seno e coseno[modifica | modifica wikitesto]

\int\frac{dx}{\cos cx\pm\mathrm{sen} \, cx} = \frac{1}{c\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{cx}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|
\int\frac{dx}{(\cos cx\pm\mathrm{sen} \, cx)^2} = \frac{1}{2c}\tan\left(cx\mp\frac{\pi}{4}\right)
\int\frac{\cos cx\;dx}{\cos cx + \mathrm{sen} \, cx} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln\left|\mathrm{sen} \, cx + \cos cx\right|
\int\frac{\cos cx\;dx}{\cos cx - \mathrm{sen} \, cx} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\left|\mathrm{sen} \, cx - \cos cx\right|
\int\frac{\mathrm{sen} \, cx\;dx}{\cos cx + \mathrm{sen} \, cx} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\left|\mathrm{sen} \, cx + \cos cx\right|
\int\frac{\mathrm{sen} \, cx\;dx}{\cos cx - \mathrm{sen} \, cx} = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\left|\mathrm{sen} \, cx - \cos cx\right|
\int\frac{\cos cx\;dx}{\mathrm{sen} \, cx(1+\cos cx)} = -\frac{1}{4c}\tan^2\frac{cx}{2}+\frac{1}{2c}\ln\left|\tan\frac{cx}{2}\right|
\int\frac{\cos cx\;dx}{\mathrm{sen} \, cx(1-\cos cx)} = -\frac{1}{4c}\cot^2\frac{cx}{2}-\frac{1}{2c}\ln\left|\tan\frac{cx}{2}\right|
\int\frac{\mathrm{sen} \, cx\;dx}{\cos cx(1+\mathrm{sen} \, cx)} = \frac{1}{4c}\cot^2\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2c}\ln\left|\tan\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|
\int\frac{\mathrm{sen} \, cx\;dx}{\cos cx(1-\mathrm{sen} \, cx)} = \frac{1}{4c}\tan^2\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2c}\ln\left|\tan\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|
\int\mathrm{sen} \, cx\cos cx\;dx = \frac{-1}{2c}\cos^2 cx
\int\mathrm{sen} \, c_1x\cos c_2x\;dx = -\frac{\cos(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)}-\frac{\cos(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)} \qquad\mbox{(per }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}
\int\mathrm{sen} \,^n cx\cos cx\;dx = \frac{1}{c(n+1)}\mathrm{sen} \,^{n+1} cx \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}
\int\mathrm{sen} \, cx\cos^n cx\;dx = -\frac{1}{c(n+1)}\cos^{n+1} cx \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}
\int\mathrm{sen} \,^n cx\cos^m cx\;dx = -\frac{\mathrm{sen} \,^{n-1} cx\cos^{m+1} cx}{c(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int\mathrm{sen} \,^{n-2} cx\cos^m cx\;dx  \qquad\mbox{(per }m,n>0\mbox{)}
anche: \int\mathrm{sen} \,^n cx\cos^m cx\;dx = \frac{\mathrm{sen} \,^{n+1} cx\cos^{m-1} cx}{c(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int\mathrm{sen} \,^n cx\cos^{m-2} cx\;dx \qquad\mbox{(per }m,n>0\mbox{)}
\int\frac{dx}{\mathrm{sen} \, cx\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\tan cx\right|
\int\frac{dx}{\mathrm{sen} \, cx\cos^n cx} = \frac{1}{c(n-1)\cos^{n-1} cx}+\int\frac{dx}{\mathrm{sen} \, cx\cos^{n-2} cx} \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{dx}{\mathrm{sen} \,^n cx\cos cx} = -\frac{1}{c(n-1)\mathrm{sen} \,^{n-1} cx}+\int\frac{dx}{\mathrm{sen} \,^{n-2} cx\cos cx} \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{\mathrm{sen} \, cx\;dx}{\cos^n cx} = \frac{1}{c(n-1)\cos^{n-1} cx} \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{\mathrm{sen} \,^2 cx\;dx}{\cos cx} = -\frac{1}{c}\mathrm{sen} \, cx+\frac{1}{c}\ln\left|\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{cx}{2}\right)\right|
\int\frac{\mathrm{sen} \,^2 cx\;dx}{\cos^n cx} = \frac{\mathrm{sen} \, cx}{c(n-1)\cos^{n-1}cx}-\frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2}cx} \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{\mathrm{sen} \,^n cx\;dx}{\cos cx} = -\frac{\mathrm{sen} \,\mathrm{sen} \,^{n-1} cx}{c(n-1)} + \int\frac{\mathrm{sen} \,\mathrm{sen} \,^{n-2} cx\;dx}{\cos cx} \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{\mathrm{sen} \,^n cx\;dx}{\cos^m cx} = \frac{\mathrm{sen} \,^{n+1} cx}{c(m-1)\cos^{m-1} cx}-\frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\mathrm{sen} \,^n cx\;dx}{\cos^{m-2} cx} \qquad\mbox{(per }m\neq 1\mbox{)}
anche: \int\frac{\mathrm{sen} \,^n cx\;dx}{\cos^m cx} = -\frac{\mathrm{sen} \,^{n-1} cx}{c(n-m)\cos^{m-1} cx}+\frac{n-1}{n-m}\int\frac{\mathrm{sen} \,^{n-2} cx\;dx}{\cos^m cx} \qquad\mbox{(per }m\neq n\mbox{)}
anche: \int\frac{\mathrm{sen} \,^n cx\;dx}{\cos^m cx} = \frac{\mathrm{sen} \,^{n-1} cx}{c(m-1)\cos^{m-1} cx}-\frac{n-1}{m-1}\int\frac{\mathrm{sen} \,^{n-1} cx\;dx}{\cos^{m-2} cx} \qquad\mbox{(per }m\neq 1\mbox{)}
\int\frac{\cos cx\;dx}{\mathrm{sen} \,^n cx} = -\frac{1}{c(n-1)\mathrm{sen} \,\mathrm{sen} \,\mathrm{sen} \,^{n-1} cx} \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\mathrm{sen} \, cx} = \frac{1}{c}\left(\cos cx+\ln\left|\tan\frac{cx}{2}\right|\right)


\int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\mathrm{sen} \,^n cx} = -\frac{1}{n-1}\left(\frac{\cos cx}{cv^{n-1} cx)}+\int\frac{dx}{\mathrm{sen} \,^{n-2} cx}\right) \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}


\int\frac{\cos^n cx\;dx}{v^m cx} = -\frac{\cos^{n+1} cx}{c(m-1)\mathrm{sen} \,\mathrm{sen} \,\mathrm{sen} \,^{m-1} cx} - \frac{n-m-2}{m-1}\int\frac{cos^n cx\;dx}{\mathrm{sen} \,^{m-2} cx} \qquad\mbox{(per }m\neq 1\mbox{)}


anche: \int\frac{\cos^n cx\;dx}{\mathrm{sen} \,^m cx} = \frac{\cos^{n-1} cx}{c(n-m)\mathrm{sen} \,^{m-1} cx} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{cos^{n-2} cx\;dx}{\mathrm{sen} \,^m cx} \qquad\mbox{(per }m\neq n\mbox{)}


anche: \int\frac{\cos^n cx\;dx}{\mathrm{sen} \,\mathrm{sen} \,\mathrm{sen} \,\mathrm{sen} \,\mathrm{sen} \,v\mathrm{sen} \,\mathrm{sen} \,vvvv^m cx} = -\frac{\cos^{n-1} cx}{c(m-1)\mathrm{sen} \,^{m-1} cx} - \frac{n-1}{m-1}\int\frac{cos^{n-2} cx\;dx}{\mathrm{sen} \,^{m-2} cx} \qquad\mbox{(per }m\neq 1\mbox{)}

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti seno e tangente[modifica | modifica wikitesto]

\int \mathrm{sen} \,\mathrm{sen} \,\mathrm{sen} \, cx \tan cx\;dx = \frac{1}{c}(\ln|\sec cx + \tan cx| - \mathrm{sen} \, cx)
\int\frac{\tan^n cx\;dx}{\mathrm{sen} \,^2 cx} = \frac{1}{c(n-1)}\tan^{n-1} (cx) \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti cos e tan[modifica | modifica wikitesto]

\int\frac{\tan^n cx\;dx}{\cos^2 cx} = \frac{1}{c(n+1)}\tan^{n+1} cx \qquad\mbox{(per }n\neq -1\mbox{)}

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti sin e cot[modifica | modifica wikitesto]

\int\frac{\cot^n cx\;dx}{\mathrm{sen} \,^2 cx} = \frac{-1}{c(n+1)}\cot^{n+1} cx  \qquad\mbox{(per }n\neq -1\mbox{)}

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti cos e cot[modifica | modifica wikitesto]

\int\frac{\cot^n cx\;dx}{\cos^2 cx} = \frac{1}{c(1-n)}\tan^{1-n} cx \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}

Integrali di funzioni trigonometriche contenenti tangente e cotangente[modifica | modifica wikitesto]

\int \frac{\tan^m(cx)}{\cot^n(cx)}\;dx = \frac{1}{c(m+n-1)}\tan^{m+n-1}(cx) - \int \frac{\tan^{m-2}(cx)}{\cot^n(cx)}\;dx\qquad\mbox{(per }m + n \neq 1\mbox{)}
matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica