Formula di Eulero

Interpretazione geometrica della formula di Eulero sul piano complesso.

In matematica, la formula di Eulero è una formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.

La formula di Eulero, dal nome del matematico Leonhard Euler, è stata provata per la prima volta da Roger Cotes nel 1714 e poi riscoperta e resa celebre da Eulero nel 1748. Nessuno dei due vide l'interpretazione geometrica della formula: la visione dei numeri complessi come punti nel piano arrivò solo circa 50 anni dopo, per opera di Caspar Wessel, Argand e Gauss.

La dimostrazione più diffusa è basata sullo sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale.

La formula

La formula di Eulero afferma che, per ogni numero reale x si ha:

$e^{ix} = \cos x + i\;\mathrm{sen}\,x$

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche.

Si tratta di una relazione usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari, e che permette la definizione del logaritmo per argomenti complessi. La rappresentazione della funzione e^ix nel piano complesso è un cerchio unitario, ed x è l'angolo che un segmento che collega l'origine a un punto del cerchio unitario forma con l'asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti.

Usando le proprietà esponenziali:

$e^{a + b} = e^a \cdot e^{b} \qquad (e^a)^b = e^{a b} \,$

valide per tutti i numeri complessi a e b, si possono derivare facilmente da esse molte identità trigonometriche e la formula di de Moivre.

La formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale:

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\mathrm{sen}\,x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

Le due equazioni possono essere trovate sommando o sottraendo le seguenti formule di Eulero:

$e^{ix} = \cos x + i \mathrm{sen}\,x \;$

$e^{-ix} = \cos (-x) + i \mathrm{sen}\,(-x) \ = \cos x - i \mathrm{sen}\,x \;$

dove x è la fase, risolvendo poi le equazioni ottenute sia per il seno sia per il coseno.

Queste formule possono anche essere usate come definizione delle funzioni trigonometriche per argomenti complessi x, e per mettere in relazione le funzioni iperboliche con le usuali funzioni trigonometriche.

L'identità di Eulero

Per approfondire, vedi la voce identità di Eulero.

La formula di Eulero dà origine ad un'identità considerata tra le più affascinanti della matematica, nota come identità di Eulero, che mette in relazione tra loro i cinque numeri più importanti ed utilizzati: e, i, $\pi$, 1 e 0:

$e^{i\pi}+1=0 \;$

Dimostrazioni

Vi sono diversi modi per dimostrare la formula di Eulero:

Funzioni analitiche

Una dimostrazione della formula di Eulero può essere ottenuta usando lo sviluppo in serie delle funzioni analitiche seno coseno ed esponenziale. Le funzioni complesse e^z, cos(z) e sen(z) sono definite in $\C\!$ come il limite uniforme delle seguenti serie di potenze:

$e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots$

$\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots$

$\mathrm{sen}\,z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots$

Per z reale queste coincidono con l'usuale espansione in Serie di Taylor delle relative funzioni reali di variabile reale.

Sostituendo z con iz si ottiene, riordinando la serie (il che è giustificato essendo la convergenza assoluta):

$e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots$

$= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots$

$= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right)$

$= \cos (z) + i\mathrm{sen}\,(z) \,$

Scegliendo z = x reale si ottiene l'identità così come era stata originariamente scoperta da Eulero.

Analisi

Per $x \in \R$ l'esponenziale $e^x$ può essere definito come il limite della successione:

$e^x = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n$

Per $z = x + iy$ risulta:

$\lim \limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{{x + iy}}{n}} \right)^n = e^x \left( {\cos y + i\mathrm{sen}\,y} \right)$

Infatti, si ponga:

$e^z = e^x \left( {\cos y + i\mathrm{sen}\,y} \right)$

La successione in forma trigonometrica si ottiene ponendo:

$\left( {1 + \frac{{x + iy}}{n}} \right)^n = \left[ {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right) +i \frac{y}{n}} \right]^n$

e calcolando poi il modulo $R$ e l'argomento $\phi$ del termine tra parentesi quadre:

$R = \sqrt {\left( {1 + \frac{x} {n}} \right)^2 + \left( {\frac{y} {n}} \right)^2 };$

$\varphi = arctg \frac{{\frac{y} {n}}} {{1 + \frac{x} {n}}} = arctg\frac{y} {{n + x}}$

Utilizzando la Formula di De Moivre si può quindi scrivere:

$\left( {1 + \frac{z}{n}} \right)^n = \left[ {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^2 + \left( {\frac{y}{n}} \right)^2 } \right]^{\frac{n}{2}} \cdot \left[ {\cos \left( {n \cdot arctg \frac{y} {{n + x}}} \right) + i\mathrm{sen} \left( {n \cdot arctg \frac{y}{{n + x}}} \right)} \right] =$

$= R^n \left[ {\cos \left( {n\varphi } \right) + i\mathrm{sen} \left( {n\varphi } \right)} \right]$

Per calcolare il limite del modulo e dell'argomento per $n \to \infty$, è noto che:

$R^n = \left[ {\left( {1 + \frac{x} {n}} \right)^2 + \left( {\frac{y} {n}} \right)^2 } \right]^{\frac{n} {2}} = \left( {1 + \frac{x} {n}} \right)^n \cdot \left[ {1 + \left( {\frac{y} {{n + x}}} \right)^2 } \right]^{\frac{n} {2}}$

inoltre:

$\lim \limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n = e^x$

ed essendo:

$\left[ {1 + \left( {\frac{y} {{n + x}}} \right)^2 } \right]^{\frac{n} {2}} = \left\{ {\left[ {1 + \left( {\frac{y} {{n + x}}} \right)^2 } \right]^{\left( {\frac{{n + x}} {y}} \right)^2 } } \right\}^{\frac{{ny^2 }} {{2\left( {n + x} \right)^2 }}}$

con:

$\lim \limits_{n \to \infty } \left[ {1 + \left( {\frac{y} {{n + x}}} \right)^2 } \right]^{\left( {\frac{{n + x}} {y}} \right)^2 } = e$

e

$\lim \limits_{n \to \infty } \frac{{ny^2 }} {{2\left( {n + x} \right)^2 }} = 0$

risulta:

$\lim \limits_{n \to \infty } R^n = e^x$

Per il calcolo del limite dell'argomento si usa la regola di L'Hôpital:

$\lim \limits_{n \to \infty } n\varphi = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {n \cdot arctg \frac{y} {{n + x}}} \right) = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{arctg\frac{y} {{n + x}}}} {{\frac{1} {n}}}} \right) = \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1} {{1 + \left( {\frac{y} {{n + x}}} \right)^2 }} \cdot \frac{{ - y}} {{\left( {n + x} \right)^2 }}}} {{ - \frac{1} {{n^2 }}}} =$

$= \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{yn^2 }} {{\left( {n + x} \right)^2 + y^2 }} = y \cdot \lim \limits_{n \to \infty } \frac{1} {{\left( {1 + \frac{x} {n}} \right)^2 + \left( {\frac{y} {n}} \right)^2 }} = y \cdot 1 = y$

Dai risultati ottenuti resta così provato che:

$\lim \limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{{z}}{n}} \right)^n = e^x \left( {\cos y + i\mathrm{sen}\,y} \right)=e^xe^{iy}=e^{x+iy}=e^z$

Dimostrazione alternativa

Sia:

$f(x) = \frac{\cos x+i\mathrm{sen}\,x}{e^{ix}}.$

Questo è ammesso in quanto il modulo dell'esponenziale al denominatore è:

$e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1$

il che implica che $e^{ix}$ è sempre diverso da zero.

La derivata di $f$ è, secondo la regola del quoziente:

$f'(x) = \displaystyle\frac{(-\mathrm{sen}\,x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\mathrm{sen}\,x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} = \displaystyle\frac{-\mathrm{sen}\,x\cdot e^{ix}-i^2\mathrm{sen}\,x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} = 0$

Pertanto $f$ deve essere una funzione costante, quindi dalla seguente relazione:

$f(0) = \frac{\cos 0+i\mathrm{sen}\,0}{e^0} = 1$

si ottiene che tale costante deve essere uguale a 1. Ciò significa che il numeratore ed il denominatore nella definizione di $f$ devono essere uguali per ogni $x$, ovvero deve valere la Formula di Eulero.

Altri progetti

• Commons

• Commons contiene file multimediali su Formula di Eulero

Collegamenti esterni

• (EN) Euler and his beautiful and extraordinary formula di Antonio Gutierrez da Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
• (EN) Euler's Formula - Puzzle: 55 pieces in a six star style of piece di Antonio Gutierrez da Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
• (EN) Detailed Proof of Euler's Relation di Craig Lewis.
• La formula di Eulero di Flavio Cimolin.

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