Formula di Eulero

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Interpretazione geometrica della formula di Eulero sul piano complesso.

In matematica, la formula di Eulero è una formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.

La formula di Eulero, dal nome del matematico Leonhard Euler, è stata provata per la prima volta da Roger Cotes nel 1714 e poi riscoperta e resa celebre da Eulero nel 1748. Nessuno dei due vide l'interpretazione geometrica della formula: la visione dei numeri complessi come punti nel piano arrivò solo circa 50 anni dopo, per opera di Caspar Wessel, Argand e Gauss.

La dimostrazione più diffusa è basata sullo sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale.

La formula[modifica | modifica wikitesto]

La formula di Eulero afferma che, per ogni numero reale x si ha:

e^{ix} = \cos x + i\,\mathrm{sen}\,x

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche.

Si tratta di una relazione usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari, e che permette la definizione del logaritmo per argomenti complessi. La rappresentazione della funzione eix nel piano complesso è un cerchio unitario, ed x è l'angolo che un segmento che collega l'origine a un punto del cerchio unitario forma con l'asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti.

Usando le proprietà esponenziali:

e^{a + b} = e^a \cdot e^{b} \qquad (e^a)^b = e^{a b}

valide per tutti i numeri complessi a e b, si possono derivare facilmente da esse molte identità trigonometriche e la formula di de Moivre.

La formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale:

 \cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
 \mathrm{sen}\,x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}

Le due equazioni possono essere trovate sommando o sottraendo le seguenti formule di Eulero:

 e^{ix} = \cos x + i \,\mathrm{sen}\,x
 e^{-ix} = \cos (-x) + i \,\mathrm{sen}\,(-x) \ = \cos x - i \,\mathrm{sen}\,x

dove x è la fase, risolvendo poi le equazioni ottenute sia per il seno sia per il coseno.

Queste formule possono anche essere usate come definizione delle funzioni trigonometriche per argomenti complessi x, e per mettere in relazione le funzioni iperboliche con le usuali funzioni trigonometriche.

L'identità di Eulero[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi identità di Eulero.

La formula di Eulero dà origine ad un'identità considerata tra le più affascinanti della matematica, nota come identità di Eulero, che mette in relazione tra loro cinque simboli che sono alla base dell'analisi matematica: e, i, \pi, 1 e 0:

e^{i\pi}+1=0 \;

Dimostrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Vi sono diversi modi per dimostrare la formula di Eulero.

Funzioni analitiche[modifica | modifica wikitesto]

Una dimostrazione della formula di Eulero può essere ottenuta usando lo sviluppo in serie delle funzioni analitiche seno coseno ed esponenziale. Le funzioni complesse ez, cos(z) e sen(z) sono definite nell'insieme dei numeri complessi come il limite delle seguenti serie di potenze:

 e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots
 \cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots
 \mathrm{sen}\,z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots

Per z reale queste coincidono con l'usuale espansione in serie di Taylor delle relative funzioni reali di variabile reale.

Sostituendo z con ix si ottiene, riordinando la serie (il che è giustificato essendo la convergenza assoluta):

 e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots
= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots
= \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \right) + i\left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right)
= \cos (x) + i \,\mathrm{sen}(x) .

Scegliendo x reale si ottiene l'identità così come era stata originariamente scoperta da Eulero.

Analisi[modifica | modifica wikitesto]

Per z \in \C , l'esponenziale e^z può essere definito come il limite della successione:

e^z  = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{z}{n}} \right)^n

Per z = x + iy risulta:

\lim \limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{{x + iy}}{n}} \right)^n  = e^x \left( {\cos y + i \,\mathrm{sen}\,y} \right)

Infatti, si ponga:

e^z = e^x \left( {\cos y + i \,\mathrm{sen}\,y} \right)

La successione in forma trigonometrica si ottiene ponendo:

\left( {1 + \frac{{x + iy}}{n}} \right)^n  = \left[ {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right) +i \frac{y}{n}} \right]^n

e calcolando poi il modulo R e l'argomento \phi del termine tra parentesi quadre:

R = \sqrt {\left( {1 + \frac{x}
{n}} \right)^2  + \left( {\frac{y}
{n}} \right)^2 };

\varphi  = \arctan \frac{{\frac{y}
{n}}}
{{1 + \frac{x}
{n}}} = \arctan \frac{y}
{{n + x}}

Utilizzando la Formula di de Moivre si può quindi scrivere:

\left( {1 + \frac{z}{n}} \right)^n  = \left[ {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^2  + \left( {\frac{y}{n}} \right)^2 } \right]^{\frac{n}{2}}  \cdot \left[ {\cos \left( {n \cdot \arctan \frac{y}
{{n + x}}} \right) + i \,\mathrm{sen} \left( {n \cdot \arctan \frac{y}{{n + x}}} \right)} \right] =
= R^n \left[ {\cos \left( {n\varphi } \right) + i \,\mathrm{sen} \left( {n\varphi } \right)} \right]

Per calcolare il limite del modulo e dell'argomento per n \to \infty , è noto che:

R^n = \left[ {\left( {1 + \frac{x}
{n}} \right)^2  + \left( {\frac{y}
{n}} \right)^2 } \right]^{\frac{n}
{2}}  = \left( {1 + \frac{x}
{n}} \right)^n  \cdot \left[ {1 + \left( {\frac{y}
{{n + x}}} \right)^2 } \right]^{\frac{n}
{2}}

inoltre:

\lim \limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n = e^x

ed essendo:

\left[ {1 + \left( {\frac{y}
{{n + x}}} \right)^2 } \right]^{\frac{n}
{2}}  = \left\{ {\left[ {1 + \left( {\frac{y}
{{n + x}}} \right)^2 } \right]^{\left( {\frac{{n + x}}
{y}} \right)^2 } } \right\}^{\frac{{ny^2 }}
{{2\left( {n + x} \right)^2 }}}

con:

\lim \limits_{n \to \infty } \left[ {1 + \left( {\frac{y}
{{n + x}}} \right)^2 } \right]^{\left( {\frac{{n + x}}
{y}} \right)^2 }  = e

e

\lim \limits_{n \to \infty } \frac{{ny^2 }}
{{2\left( {n + x} \right)^2 }} = 0

risulta:

\lim \limits_{n \to \infty } R^n  = e^x

Per il calcolo del limite dell'argomento si usa la regola di de l'Hôpital:

\lim \limits_{n \to \infty } n\varphi  = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {n \cdot \arctan \frac{y}
{{n + x}}} \right) = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{\arctan \frac{y}
{{n + x}}}}
{{\frac{1}
{n}}}} \right) = \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}
{{1 + \left( {\frac{y}
{{n + x}}} \right)^2 }} \cdot \frac{{ - y}}
{{\left( {n + x} \right)^2 }}}}
{{ - \frac{1}
{{n^2 }}}} =
= \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{yn^2 }}
{{\left( {n + x} \right)^2  + y^2 }} = y \cdot \lim \limits_{n \to \infty } \frac{1}
{{\left( {1 + \frac{x}
{n}} \right)^2  + \left( {\frac{y}
{n}} \right)^2 }} = y \cdot 1 = y

Dai risultati ottenuti resta così provato che:

\lim \limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{{z}}{n}} \right)^n  = e^x \left( {\cos y + i \,\mathrm{sen}\,y} \right)=e^xe^{iy}=e^{x+iy}=e^z

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Sia:

f(x) = \frac{\cos x + i \,\mathrm{sen}\,x}{e^{ix}}.

Questo è ammesso in quanto il modulo dell'esponenziale al denominatore è:

e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1

il che implica che e^{ix} è sempre diverso da zero.

La derivata di f è, secondo la regola del quoziente:

 f'(x) = \displaystyle\frac{(-\,\mathrm{sen}\,x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x + i \,\mathrm{sen}\,x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} = \displaystyle\frac{-\,\mathrm{sen}\,x\cdot e^{ix}-i^2\,\mathrm{sen}\,x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} = 0

Pertanto f deve essere una funzione costante, quindi dalla seguente relazione:

f(0) = \frac{\cos 0+i\,\mathrm{sen}\,0}{e^0} = 1

si ottiene che tale costante deve essere uguale a 1. Ciò significa che il numeratore ed il denominatore nella definizione di f devono essere uguali per ogni x, ovvero deve valere la Formula di Eulero.

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