Regola del quoziente

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In analisi matematica, la regola del quoziente è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del quoziente di due funzioni derivabili.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La derivata del rapporto fra due funzioni è un rapporto avente come numeratore la derivata del numeratore per il denominatore meno la derivata del denominatore per il numeratore, e come denominatore il quadrato del denominatore originario.

D\frac{f(x)}{g(x)}  =  \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.

È necessario che g(x), essendo al denominatore, non si annulli mai nell'intervallo o nel punto interessato dal calcolo per non rendere indefinito il risultato.

La regola del quoziente però può anche essere considerato un caso particolare della regola del prodotto - anch'essa utilizzata per al derivazione - con secondo fattore 1/g(x), solo che spesso torna più facile ai fini del calcolo per la maggior complicanza della derivata dell'inversa.

Dimostrazione tramite il rapporto incrementale[modifica | modifica sorgente]

Applicando la definizione di derivata, come limite del rapporto incrementale:

F'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h) - F(x)}{h} \qquad\qquad (1)

Si deriva, ipotizzando entrambe le funzioni f(x) e g(x) derivabili in x e g(x) non nulla, che:

\lim_{h \to 0}\frac{ \frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h} = \left[\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}\right] \cdot \frac{1}{h}

Si riduce tutto al minimo comune multiplo:

 \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)} \cdot \frac{1}{h}

Ora aggiungiamo e togliamo f(x)g(x):

 \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x)- f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)} \cdot \frac{1}{h}

Raccogliendo f(x) e g(x) e sistemando i numeratori si viene a

\lim_{h\to 0} \frac{g(x) \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \; - \; f(x) \frac{g(x+h) - g(x)}{h}}{g(x)g(x+h)}

Siccome g(x) è, per ipotesi, non nulla e derivabile in x, quindi è qui anche continua:

\lim_{h\to 0} g(x+h) = g(x).

Per la (1), si conclude che:

\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)
\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x)

e quindi \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} cvd.

Dimostrazione tramite la regola del prodotto[modifica | modifica sorgente]

Applicando la regola del prodotto e la regola della funzione reciproca, si ha:

D\frac{f(x)}{g(x)} \; = \; D \left[ f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}\right] \;=\; f'(x) \cdot\frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{-g'(x)}{g^2(x)}\; = \;\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}

e si conclude.

Ad esempio: \;\;\;D \tan x = D \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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