Analisi matematica

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Alcuni oggetti studiati in analisi matematica
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Funzioni
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Limiti
Tangent to a curve.svg

Derivate
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Integrali
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Equazioni differenziali
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Funzioni a più variabili
Color complex plot.jpg
Funzioni complesse
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Campi vettoriali

L'analisi matematica è il ramo della matematica che si occupa delle proprietà che emergono dalla scomposizione infinita di un oggetto denso. Introduce per il calcolo concetti problematici quali quello di infinito e di limite, ed è proprio dallo studio di questi che si può passare all'indagine che le ha permesso di divenire basilare in diverse discipline (dalle scienze naturali all'ingegneria, dall'informatica all'economia), dove viene spesso coniugata con l'analisi numerica.

Storia dell'analisi matematica[modifica | modifica sorgente]

Gottfried Wilhelm von Leibniz

L'analisi matematica nasce durante la seconda metà del XVII secolo, grazie a Newton e Leibniz che indipendentemente introdussero i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale. Inizialmente l'analisi matematica puntava alla rappresentazione geometrica nel piano cartesiano delle funzioni, nel tentativo di rispondere a quesiti su calcolo di aree e caratteristiche geometriche di una curva. Lo sviluppo dell'analisi nel XVIII secolo fu anche fortemente motivato dalla fisica, e portò allo sviluppo e all'elaborazione della meccanica razionale.

Dalla fine del XVIII secolo si introdusse il concetto di limite, passando da un'interpretazione intuitiva basata su suddivisioni successive, come già il greco Zenone nel V secolo a.C. aveva capito (Paradossi di Zenone), fino ad arrivare all'analisi matematica dei giorni nostri, che introdusse metodologie per il calcolo di un valore del limite. Questo portò ad una rivoluzione completa della materia che rianalizzò nozioni e teoremi senza avvalersi di giustificazioni geometriche ma basandosi su concetti di numero ed insieme. Questo permise l'analisi più approfondita di geometrie non euclidee e di spazi a dimensione maggiore di tre.

Concetti dell'analisi matematica[modifica | modifica sorgente]

Teoria degli insiemi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teoria degli insiemi.
Insiemi A, B e loro intersezione

Il concetto di insieme costituisce l'elemento fondante di quella parte della matematica che è la teoria degli insiemi. Con questo termine indichiamo ogni raggruppamento, collezione, aggregato di elementi indipendentemente dalla loro natura.

Di fondamentale importanza per l'approccio alla materia sono la conoscenza di un minimo della teoria degli insiemi, in particolare le operazioni possibili tra di essi, e la nozione di funzione. Poi per rendere un po' più concreto l'approccio con la materia si introducono gli insiemi numerici:

Ed infine i concetti di base di topologia, in particolare quelli di distanza e di intorno.

Le funzioni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Funzione (matematica).
Una funzione associa elementi di un insieme X a elementi di un insieme Y

Il concetto di funzione è fondamentale per lo studio dell'analisi matematica. Attraverso operazioni più avanzate (come quella di limite) vengono definite una serie di proprietà fondamentali di notevole utilità in molte applicazioni pratiche. Tra di esse possiamo elencare:

Da non tralasciare sono le funzioni elementari, quali:

Particolarmente importanti nel XX secolo sono stati gli avanzamenti nello studio degli spazi di funzioni, visti come particolari spazi vettoriali infinito dimensionali, nell'ambito dell'Analisi funzionale

L'operazione di limite[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi limite (matematica).
Limite di una funzione, dopo un valore S la funzione rimane confinata in un intervallo di 2 \varepsilon e all'infinito tende a L.

Il concetto di limite, fondamentale in analisi, è stato definito coerentemente solo nel '800 ma esso era stato compreso intuitivamente da matematici del calibro di Wallis, Eulero, Bernoulli, Newton, Leibniz e addirittura sembra che già Archimede l'avesse compreso intuitivamente. Il limite è, in parole povere, un valore a cui il valore di una funzione si avvicina sempre di più (senza necessariamente raggiungerlo) man mano che l'argomento si avvicina a zero o a infinito o a qualsiasi altro numero. Per esempio il limite di 1/n per n che tende a infinito è zero. Infatti se facciamo aumentare sempre di più n, 1/n sarà sempre più vicino a zero.

Il limite di una funzione o successione può:

  • essere un numero finito (per esempio il suddetto limite di 1/n per n tendente a infinito è uguale a 0)
  • essere infinito (per esempio è chiaro che il limite di  n^2 per n che tende a infinito è infinito)
  • non esistere (per esempio la funzione (-1)^n è sempre alternativamente -1, +1, -1, +1...)

Serie[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi serie matematica.

Attraverso il concetto di limite di una successione, è possibile definire la somma di un numero infinito di elementi. Ad esempio, è possibile dare un senso all'espressione

 e = 1 + \frac 1{1!} + \frac 1{2!} + \frac 1{3!} + \frac 1{4!} +\ldots

che è uno dei tanti modi per descrivere il numero di Nepero  e . Una somma infinita di elementi è detta serie, e viene generalmente indicata con

 \sum_{k=1}^{+\infty} a_k.

Nell'esempio sopra,  a_k = \frac 1{k!} .

Analogamente a quanto accade per i limiti, la somma di infiniti elementi può essere finita, infinita, o non essere definita: questo accade ad esempio alla serie  1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ..., detta serie di Grandi.

Derivata[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi derivata.
Retta tangente ad una funzione in un punto (in rosso). La derivata della funzione in quel punto è il coefficiente angolare di tale retta

Il concetto di derivata occupa un ruolo fondamentale nel calcolo infinitesimale e in tutta l'analisi matematica. Definita come limite del rapporto incrementale, la derivata quantifica il tipo di crescita di una funzione, ed ha applicazione in tutte le scienze.

Tramite la nozione di derivata si definiscono e studiano i concetti di massimo e minimo di una funzione, di concavità e convessità: la derivata è quindi uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione.

Tramite una lista di regole di derivazione, è possibile calcolare la derivata di qualsiasi funzione definita combinando funzioni elementari.

Il concetto di derivata si estende anche a funzioni a più variabili, tramite la nozione di derivata parziale.

Integrale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi integrale.
Rappresentazione grafica dell'integrale di Riemann

L'integrale è un altro strumento fondamentale del calcolo infinitesimale. Viene utilizzato soprattutto per calcolare aree e volumi di figure curve, quali ad esempio l'ellisse o la parte del piano cartesiano delimitata da una funzione.

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, l'integrale risulta essenzialmente essere una operazione inversa a quella della derivata. Si differenzia da questa però per questo motivo fondamentale: contrariamente a quanto accade per la derivata, non ci sono degli algoritmi che permettano di calcolare l'integrale di qualsiasi funzione definita a partire da funzioni elementari. Vi sono comunque numerosi metodi di integrazione, con cui risolvere buona parte degli integrali più semplici, spesso riassunti in opportune tavole.

A partire dal XIX secolo, il concetto di integrale si è legato sempre di più al concetto di misura. La definizione stessa di integrale è legata ad un problema fondamentale: come "misurare" lunghezze, aree e volumi di sottoinsiemi della retta, del piano, dello spazio? Ciascuna possibile risposta a questa domanda fornisce una definizione di integrale: le definizioni più utilizzate sono l'integrale di Riemann e l'integrale di Lebesgue.

Serie di Taylor[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Serie di Taylor.
Serie di Taylor che approssima la funzione coseno nel piano complesso

La serie di Taylor di una funzione analitica scrive la funzione in termini di serie. Una funzione analitica f(x) è uguale a:

 
T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}
.

Dove n! è il fattoriale di n ed f (n)(a) è la derivata n-esima della f nel punto a. Se a = 0, la serie viene chiamata serie di Maclaurin ed è


T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}

La serie di Taylor è molto importante in analisi poiché rende molto più facili integrazioni e derivazioni in quanto esse possono essere effettuate termine a termine. Se poi si sceglie di troncare la serie si otterrà un polinomio che approssima la funzione. Questo polinomio è detto polinomio di Taylor. Un altro uso importantissimo della serie sta nel poter estendere una qualsiasi funzione analitica univocamente a una funzione olomorfa definita nel piano complesso e questa possibilità rende disponibile l'intero meccanismo dell'analisi complessa. Esistono anche altri sviluppi in serie, come quello di Lauren.

Settori dell'analisi matematica[modifica | modifica sorgente]

Calcolo infinitesimale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi calcolo infinitesimale.

Il calcolo infinitesimale è il fondamento dell'analisi matematica: comprende la nozione di limite e varie applicazioni legate allo studio delle funzioni, che possono essere a variabile reale o complessa. Tramite la nozione di limite, il calcolo infinitesimale definisce e studia le nozioni di convergenza di una successione o di una serie, continuità, derivata e integrale.

Il calcolo infinitesimale è alla base dell'analisi matematica ed è uno strumento usato in quasi tutti i campi della matematica e della fisica e della scienza in generale.

Analisi armonica[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Analisi armonica.

Analisi funzionale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Analisi funzionale.

Calcolo delle variazioni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Calcolo delle variazioni.

Teoria della misura[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Misura (matematica).

Analisi complessa[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Analisi complessa.

Analisi non standard[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Analisi non standard.

Teoria analitica dei numeri[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teoria analitica dei numeri.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Storia[modifica | modifica sorgente]

Testi[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Altri progetti[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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