Analisi matematica

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	« L'analisi matematica è una sinfonia coerente dell'universo »
	(David Hilbert)

L'analisi matematica è un ramo della matematica sviluppato sulla base dei concetti del calcolo infinitesimale. In passato l'analisi matematica si occupava del complesso dei simboli e delle regole operative su tali simboli per lo studio delle proprietà di un oggetto matematico effettuando una sua scomposizione in parti fino a giungere alle parti infinitesime che lo compongono. L'analisi matematica introduce i concetti di infinito e di limite, ed è proprio lo studio di queste problematiche che ha portato l'analisi matematica da calcolo di elemento ad indagine presente in molti ambiti scientifici.

[modifica] Cenni storici

Gottfried Wilhelm von Leibniz

L'analisi matematica nasce durante la seconda metà del XVII secolo, grazie a Newton e Leibniz che indipendentemente introdussero i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale. Inizialmente l'analisi matematica puntava alla rappresentazione geometrica nel piano cartesiano delle funzioni, nel tentativo di rispondere a quesiti su calcolo di aree e caratteristiche geometriche di una curva. Lo sviluppo dell'analisi nel XVIII secolo fu anche fortemente motivato dalla fisica, e portò allo sviluppo e l'elaborazione della meccanica razionale.

Dalla fine del XVIII secolo si introdusse il concetto di limite, passando da un'interpretazione intuitiva basata su suddivisioni successive, come già il greco Zenone nel V secolo AC aveva capito, fino ad arrivare all'analisi matematica dei giorni nostri, che introdusse metodologie per il calcolo di un valore del limite. Questo portò ad una rivoluzione completa della materia che rianalizzò nozioni e teoremi senza avvalersi di giustificazioni geometriche ma basandosi su concetti di numero ed insieme. Questo permise l'analisi più approfondita di geometrie non euclidee e di spazi a dimensione maggiore di tre.

[modifica] Teoria degli insiemi

Per approfondire, vedi la voce Teoria degli insiemi.

Insiemi A, B e loro intersezione

Il concetto di insieme costituisce l'elemento fondante di quella parte della matematica che è la teoria degli insiemi. Con questo termine indichiamo ogni raggruppamento, collezione, aggregato di elementi indipendentemente dalla loro natura.

Di fondamentale importanza per approcciarsi alla materia sono la conoscenza di un minimo della teoria degli insiemi, in particolare le operazioni possibili tra di essi, e la nozione di funzione. Poi per rendere un po' più concreto l'approccio con la materia si introducono gli insiemi numerici:

$\mathbb{N}\!$ numeri naturali
$\mathbb{Z}\!$ numeri interi
$\mathbb{Q}\!$ numeri razionali
$\mathbb{R}\!$ numeri reali
$\mathbb{C}\!$ numeri complessi

Ed infine i concetti di base di topologia, in particolare quelli di distanza e di intorno.

[modifica] Le funzioni

Per approfondire, vedi la voce Funzione (matematica).

Una funziona associa elementi di un insieme X a elementi di un'insieme Y

Il concetto di funzione è fondamentale per lo studio dell'analisi matematica, senza di esso è impossibile proseguire nello studio della materia, infatti la sua proprietà fondamentale, cioè quella di essere una relazione binaria biunivoca tra due insiemi, permette lo sviluppo di tutta la materia.

Poi su di essa, attraverso operazioni più avanzate (come quella di limite) vengono definite una serie di proprietà fondamentali per le applicazioni pratiche. Tra di esse possiamo elencare:

Da non tralasciare sono le funzioni elementari, quali:

Particolarmente importanti nel XX secolo sono stati gli avanzamenti nello studio degli spazi di funzioni, visti come particolari spazi vettoriali infinito dimensionali, nell'ambito dell'Analisi funzionale

[modifica] L'operazione di limite

Per approfondire, vedi la voce limite (matematica).

Limite di una funzione, dopo un valore S la funzione rimane confinata in un'intervallo di 2 e all'infinito tende a L.

Limite di una funzione, dopo un valore S la funzione rimane confinata in un'intervallo di 2 $\varepsilon$ e all'infinito tende a L.

Il concetto di limite fondamentale in analisi, è stato definito coerentemente solo nel '800 ma esso era stato compreso intuitivamente da matematici del calibro di Wallis, Eulero, Bernoulli, Newton, Leibniz e addirittura sembra che già Archimede l'avesse compreso intuitivamente. Il limite è, in parole povere, un valore a cui il valore di una funzione si avvicina sempre di più (senza necessariamente raggiungerlo) man mano che l'argomento si avvicina a zero o a infinito o a qualsiasi altro numero. Per esempio il limite di 1/n per n che tende a infinito è zero. Infatti se facciamo aumentare sempre di più n, 1/n sarà sempre più vicino a zero.

Il limite di una funzione o successione può:

essere un numero finito (per esempio il suddetto limite di 1/n per n tendente a infinito è uguale a 0)
essere infinito (per esempio è chiaro che il limite di $n 2$ per n che tende a infinito è infinito)
non esistere (per esempio le funzione $( - 1) n$ è sempre alternativamente -1, +1, -1, +1...)

[modifica] Serie

Per approfondire, vedi la voce serie matematica.

Attraverso il concetto di limite di una successione, è possibile definire la somma di un numero infinito di elementi. Ad esempio, è possibile dare un senso all'espressione

$e = 1 + \frac 1{1!} + \frac 1{2!} + \frac 1{3!} + \frac 1{4!} +\ldots$

che è uno dei tanti modi per descrivere il numero di Nepero $e$ . Una somma infinita di elementi è detta serie, e viene generalmente indicata con

$\sum_{k=1}^{+\infty} a_k.$

Nell'esempio sopra, $a_k = \frac 1{k!}$ .

Analogamente a quanto accade per i limiti, la somma di infiniti elementi può essere finita, infinita, o non essere definita: questo accade ad esempio alla serie $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...$ , detta serie di Grandi.

[modifica] Il concetto di derivata

Per approfondire, vedi la voce derivata.

Derivata in un punto (in rosso) di una funzione

Il concetto di derivata occupa un ruolo fondamentale nel calcolo infinitesimale e in tutta l'analisi matematica. Definita come limite del rapporto incrementale, la derivata quantifica il tipo di crescita di una funzione, ed ha applicazione in tutte le scienze.

Tramite la nozione di derivata si definiscono e studiano i concetti di massimo e minimo di una funzione, di concavità e convessità: la derivata è quindi uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione.

Tramite una lista di regole di derivazione, è possibile calcolare la derivata di qualsiasi funzione definita combinando funzioni elementari.

Il concetto di derivata si estende anche a funzioni a più variabili, tramite la nozione di derivata parziale.

[modifica] Integrale

Per approfondire, vedi la voce integrale.

Rappresentazione grafica dell'integrale di Riemann

L'integrale è un altro strumento fondamentale del calcolo infinitesimale. Viene utilizzato soprattutto per calcolare aree e volumi di figure curve, quali ad esempio l'ellisse o la parte del piano cartesiano delimitata da una funzione.

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, l'integrale risulta essenzialmente essere una operazione inversa a quella della derivata. Si differenzia da questa però per questo motivo fondamentale: contrariamente a quanto accade per la derivata, non ci sono degli algoritmi che permettano di calcolare l'integrale di qualsiasi funzione definita a partire da funzioni elementari. Vi sono comunque numerosi metodi di integrazione, con cui risolvere buona parte degli integrali più semplici, spesso riassunti in opportune tavole.

A partire dal XIX secolo, il concetto di integrale si è legato sempre di più al concetto di misura. La definizione stessa di integrale è legata ad un problema fondamentale: come "misurare" lunghezze, aree e volumi di sottoinsiemi della retta, del piano, dello spazio? Ciascuna possibile risposta a questa domanda fornisce una definizione di integrale: le definizioni più utilizzate sono l'integrale di Riemann e l'integrale di Lebesgue.

[modifica] Serie di Taylor

Per approfondire, vedi la voce Serie di Taylor.

Serie di Taylor che approssima la funzione coseno nel piano complesso

La Serie di Taylor di una funzione analitica scrive la funzione in termini di serie. Una funzione analitica f(x) è uguale a:

polinomio di Taylor

$T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$ .

Dove n! è il fattoriale di n ed f ⁽ⁿ⁾(a) è la derivata n-esima della f nel punto a. Se a = 0, la serie viene chiamata serie di Maclaurin è ed è

$T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}$

La serie di Taylor è molto importante in analisi poiché rende molto più facili integrazioni e derivazioni in quanto esse possono essere effettualte termine a termine. Se poi si sceglie di troncare la serie si otterrà un polinomio che approssima la funzione. Questo polinomio è detto polinomio di Taylor. Un altro uso importantissimo della serie sta nel poter estendere una qualsiasi funzione analitica univocamente a una funzione olomorfa definita nel piano complesso e questa possibilità rende disponibile l'intero meccanismo dell'analisi complessa. Esistono anche altri sviluppi in serie, come quello di Lauren.