Regola della funzione reciproca

In analisi matematica, la regola della funzione reciproca è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del reciproco di una funzione derivabile.

Definizione

La derivata del reciproco di una funzione è un rapporto avente come numeratore l'opposto della derivata della funzione e come denominatore il quadrato della funzione.

$D\frac{1}{f(x)} = \frac{-f'(x)}{[f(x)]^2}$

D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.

È necessario che, nel punto in cui si calcola la derivata, la funzione non sia nulla.

Dimostrazione tramite il rapporto incrementale

Scrivendo il rapporto incrementale della funzione ${1 \over g(x)}$ otteniamo:

$D\left({1 \over g(x)}\right)=\lim_{h \to 0}{{1 \over g(x+h)} - {1 \over g(x)} \over h} = \lim_{h \to 0}{g(x) - g(x+h) \over g(x+h)g(x)} \cdot {1\over h} =\lim_{h \to 0}{g(x)-g(x+h) \over h} \cdot {1 \over g(x+h)g(x)}$

Ora, l'argomento del primo limite è l'opposto del rapporto incrementale di g,

$\lim_{h \to 0}{g(x) - g(x+h) \over h} = \lim_{h \to 0} -1 \cdot {g(x+h) - g(x) \over h} = - \; g'(x)$

mentre il secondo fattore per la continuità della g "commuta" con l'operazione di limite, dunque si ha:

$D\left({1 \over g(x)}\right)=-g'(x) \cdot {1 \over g(x)g(x)} = {-g'(x) \over g^2(x)}$ cvd.

Alternativamente, utilizzando la regola della catena, ponendo $f(x)=x^{-1}$ possiamo determinare la derivata come: $D(f(g(x)))= f'(g(x)) \cdot g'(x) = -(g(x))^{-2} \cdot g'(x)= {- g'(x) \over (g(x))^2}$

Dimostrazione tramite la regola del quoziente

Applicando la regola del quoziente, consideriamo $f(x)=1$ e dunque

$D\left({1 \over g(x)}\right)={D[1] \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x) \over [g(x)]^2} = {0 \cdot g(x) - g'(x) \over [g(x)]^2}={-g'(x) \over [g(x)]^2}$

Voci correlate

• Regole di derivazione
• Regola del quoziente

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica