Regola della somma

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Nell'analisi matematica, la regola della somma è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della somma di una serie di funzioni derivabili.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La derivata della somma (algebrica) di una serie di funzioni derivabili in x è uguale alla somma delle singole derivate.

D[f_1(x)+ f_2(x)+ \cdots + f_n(x)]= f'_1(x)+ f'_2(x)+ \cdots + f'_n(x)

D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dimostriamo inizialmente il caso di una somma con solo due addendi.

Applicando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale:

F'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h) - F(x)}{h} \qquad\qquad (1)

si deriva, ipotizzando entrambe le funzioni f(x) e g(x) derivabili in x, che:

\lim_{h \to 0}\frac{[f(x+h) + g(x+h)] - [f(x) + g(x)]}{h}

Riordinando emerge subito che:

\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h) - g(x)}{h}\right)

Siccome per la (1):

\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x)
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)

e quindi

D[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) \;

Il caso generale di n addendi si ottiene ora per induzione dal caso particolare appena dimostrato. cvd.

Linearità della derivata[modifica | modifica wikitesto]

Più in generale, si può dire che la derivata è un operatore lineare: la derivata di una funzione derivabile moltiplicata per una costante è uguale alla costante moltiplicata per la derivata della funzione originaria:

D[\lambda \cdot f(x)]=\lambda \cdot f'(x)

Dunque un enunciato equivalente ai due precedenti è che la derivata "conserva" le combinazioni lineari:

D[\lambda_1 f_1(x)+ \lambda_2 f_2(x)+ \cdots + \lambda_n f_n(x)]= \lambda_1 f'_1(x)+ \lambda_2 f'_2(x)+ \cdots + \lambda_n f'_n(x)

per ogni \lambda_1, ... , \lambda_n reali. Infatti ponendo \lambda_1=...=\lambda_n=1 si ottiene la prima formula e per \lambda_2=...=\lambda_n=0 la seconda.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Con il rapporto incrementale:

(\lambda f)'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{(\lambda f)(x+h) - (\lambda f)(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\lambda(f(x+h) - f(x))}{h} = \lambda f'(x)

Con la regola del prodotto:

(\lambda f)' (x) = (\lambda)' f(x) + \lambda f'(x) = 0 + \lambda f'(x)=\lambda f'(x)\;

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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