Regola della somma

Nell'analisi matematica, la regola della somma è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della somma di una serie di funzioni derivabili.

Definizione

La derivata della somma (algebrica) di una serie di funzioni derivabili in x è uguale alla somma delle singole derivate.

$D[f_1(x)+ f_2(x)+ \cdots + f_n(x)]= f'_1(x)+ f'_2(x)+ \cdots + f'_n(x)$

D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.

Dimostrazione

Dimostriamo inizialmente il caso di una somma con solo due addendi.

Applicando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale:

$F'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h) - F(x)}{h} \qquad\qquad (1)$

si deriva, ipotizzando entrambe le funzioni f(x) e g(x) derivabili in x, che:

$\lim_{h \to 0}\frac{[f(x+h) + g(x+h)] - [f(x) + g(x)]}{h}$

Riordinando emerge subito che:

$\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h) - g(x)}{h}\right)$

Siccome per la (1) :

$\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x)$

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)$

e quindi

$D[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) \;$

Il caso generale di n addendi si ottiene ora per induzione dal caso particolare appena dimostrato. cvd.

Linearità della derivata

Più in generale, si può dire che la derivata è un operatore lineare: la derivata di una funzione derivabile moltiplicata per una costante è uguale alla costante moltiplicata per la derivata della funzione originaria:

$D[\lambda \cdot f(x)]=\lambda \cdot f'(x)$

Dunque un enunciato equivalente ai due precedenti è che la derivata "conserva" le combinazioni lineari:

$D[\lambda_1 f_1(x)+ \lambda_2 f_2(x)+ \cdots + \lambda_n f_n(x)]= \lambda_1 f'_1(x)+ \lambda_2 f'_2(x)+ \cdots + \lambda_n f'_n(x)$

per ogni λ₁,...,λ_n reali. Infatti ponendo λ₁ = ... = λ_n = 1 si ottiene la prima formula e per λ₂ = ... = λ_n = 0 la seconda.

Dimostrazione

Con il rapporto incrementale:

$(\lambda f)'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{(\lambda f)(x+h) - (\lambda f)(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\lambda(f(x+h) - f(x))}{h} = \lambda f'(x)$

Con la regola del prodotto:

$(\lambda f)' (x) = (\lambda)' f(x) + \lambda f'(x) = 0 + \lambda f'(x)=\lambda f'(x)\;$

Voci correlate

• Regole di derivazione
• Regola del prodotto
• Regola del quoziente

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