Combinazione lineare

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In matematica, una combinazione lineare è una operazione che viene svolta nell'ambito dell'algebra lineare. Una combinazione lineare di alcuni elementi di uno spazio vettoriale è una espressione del tipo:[1]

a_1v_1+\ldots +a_nv_n

dove i v_i sono elementi dello spazio vettoriale e gli a_i sono scalari. Il risultato di questa combinazione è un nuovo elemento dello spazio. Questa nozione molto generale si applica in vari contesti: si possono scrivere ad esempio combinazioni lineari di vettori nel piano o nello spazio, di matrici, di polinomi o di funzioni.

Definizioni[modifica | modifica sorgente]

Combinazione lineare[modifica | modifica sorgente]

Sia  V uno spazio vettoriale su un campo K. Siano v_1,\ldots,v_n vettori di  V . Una combinazione lineare di questi è il vettore individuato dalla seguente scrittura:

 a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_n v_n

dove a_1,\ldots,a_n sono scalari, cioè elementi di K. Gli scalari nella precedente espressione possono essere scelti ad arbitrio e sono detti coefficienti della combinazione lineare.

Combinazione affine e convessa[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Combinazione convessa.

Se il campo K è il campo \R dei numeri reali e i coefficienti sono tutti non-negativi, cioè:

a_i \geq 0

per ogni i, la combinazione è chiamata positiva.

Quando i coefficienti hanno come somma 1:

a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1

la combinazione è detta affine. Una combinazione lineare sia positiva che affine è detta combinazione convessa. Entrambe queste nozioni sono utili in geometria affine, per definire le nozioni di coordinate affini e coordinate baricentriche.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Unicità della combinazione[modifica | modifica sorgente]

In genere, cioè per una generica scelta dei vettori v_i, il vettore:

 v = a_1v_1+\ldots a_nv_n

non determina univocamente la combinazione lineare, cioè la sequenza dei suoi coefficienti: lo stesso v può essere il risultato di combinazioni lineari differenti degli stessi vettori  v_1,\ldots, v_n.

Se i vettori sono indipendenti, la combinazione lineare è però unica.

Sottospazio generato[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Sottospazio generato.

I vettori v che si ottengono come combinazioni lineari di n vettori fissati, al variare degli scalari a_1,\ldots, a_n, formano un sottospazio vettoriale di V, chiamato sottospazio generato. Si indica generalmente con:

 \mathrm{Span}( v_1 ,\ldots, v_n) := \{ a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n \ |\ a_1 ,\ldots, a_n \in K \}

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Le definizioni di combinazione lineare e span lineare possono essere generalizzate dagli spazi vettoriali ai moduli o agli anelli. Ad esempio, si può parlare di combinazione lineare  am + bn di due numeri interi  m e  n , dove  a e  b sono coefficienti interi.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Linear Combination in MathWorld, Wolfram Research.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, 3rd, Addison–Wesley, 2006, ISBN 0-321-28713-4.
  • (EN) Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4th, Brooks Cole, 2006, ISBN 0-03-010567-6.
  • (EN) Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 2nd, Springer, 2002, ISBN 0-387-98258-2.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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