Combinazione lineare

In matematica, una combinazione lineare è una operazione che viene svolta nell'ambito dell'algebra lineare. Una combinazione lineare di alcuni elementi di uno spazio vettoriale è una espressione del tipo

$a_1v_1+\ldots +a_nv_n$

dove i $v_i$ sono elementi dello spazio vettoriale e gli $a_j$ sono scalari. Il risultato di questa combinazione è un nuovo elemento dello spazio. Questa nozione molto generale si applica in vari contesti: si possono scrivere ad esempio combinazioni lineari di vettori nel piano o nello spazio, di matrici, di polinomi, di funzioni, ecc.

Definizioni

Combinazione lineare

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Siano $v_1,\ldots,v_n$ vettori di $V$. Una combinazione lineare di questi è il vettore individuato dalla seguente scrittura

$a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_n v_n$

dove $a_1,\ldots,a_n$ sono scalari, cioè elementi di $K$. Gli scalari nella precedente espressione possono essere scelti ad arbitrio e sono detti coefficienti della combinazione lineare.

Combinazione affine e convessa

Per approfondire, vedi Combinazione convessa.

Se il campo $K$ è il campo $\R$ dei numeri reali e i coefficienti sono tutti non-negativi, cioè

$a_i \geq 0$

per ogni $i$, la combinazione è chiamata positiva.

Quando i coefficienti hanno come somma 1:

$a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1$

la combinazione è detta affine. Una combinazione lineare sia positiva che affine è detta combinazione convessa. Entrambe queste nozioni sono utili in geometria affine, per definire le nozioni di coordinate affini e coordinate baricentriche.

Proprietà

Unicità della combinazione

In genere, cioè per una generica scelta dei vettori $v_i$, il vettore

$v = a_1v_1+\ldots a_nv_n.$

non determina univocamente la combinazione lineare, cioè la sequenza dei suoi coefficienti: lo stesso $v$ può essere il risultato di combinazioni lineari differenti degli stessi vettori $v_1,\ldots, v_n$.

Se i vettori sono indipendenti, la combinazione lineare è però unica.

Sottospazio generato

Per approfondire, vedi Sottospazio generato.

I vettori $v$ che si ottengono come combinazioni lineari di $n$ vettori fissati, al variare degli scalari $a_1,\ldots, a_n$, formano un sottospazio vettoriale di $V$, chiamato sottospazio generato. Si indica generalmente con:

$\mathrm{Span}( v_1 ,\ldots, v_n) := \{ a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n \ |\ a_1 ,\ldots, a_n \in K \}$

Generalizzazioni

Le definizioni di combinazione lineare e span lineare possono essere generalizzate dagli spazi vettoriali ai moduli o agli anelli. Ad esempio, si può parlare di combinazione lineare $am + bn$ di due numeri interi $m$ e $n$, dove $a$ e $b$ sono coefficienti interi.

Voci correlate

• Sottospazio generato
• Dipendenza lineare
• Dimensione (spazio vettoriale)
• Estrazione di una base
• Combinazione lineare di orbitali atomici
• Combinazione convessa
• Insieme di generatori

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