Estrazione di una base

In matematica, in particolare in algebra lineare, l'estrazione di una base è un algoritmo che permette di estrarre una base di uno spazio vettoriale a partire da un insieme finito di generatori dello spazio.

Il teorema di estrazione di una base

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ su un campo $K$. Il teorema di estrazione di una base asserisce che se $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ sono vettori che generano $V$, allora:

• Il numero $k$ è maggiore o uguale a $n$.
• Esistono $n$ vettori $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ che formano una base di $V$.

Dimostrazione e algoritmo

La dimostrazione fornisce un algoritmo che consente di trovare concretamente i vettori $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$. L'algoritmo funziona nel modo seguente: per ogni $i=1,\ldots ,k$, si controlla se il vettore $i$-esimo $\mathbf {v} _{i}$ è dipendente dai precedenti. Questo accade se e solo se:

$\mathbf {v} _{i}\in {\rm {Span}}(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1})$

Se un vettore è linearmente dipendente dagli altri si elimina dalla lista, altrimenti, si tiene. Per $i=1$, non ci sono vettori precedenti e si considera quindi lo span come l'insieme formato dal solo vettore nullo: quindi il primo vettore viene tenuto solo se diverso da zero. Il risultato finale è quindi un insieme di vettori indipendenti che continuano a generare $V$, ossia, per definizione, una base di $V$.

Esempio

Si estrae una base di $\mathbb {R} ^{3}$ dall'insieme :

${\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

Il primo vettore non è nullo e quindi viene tenuto. Il secondo non è multiplo del primo, e quindi viene tenuto. Il terzo è però combinazione dei primi due, infatti:

${\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}$

Quindi il terzo vettore è eliminato. Il quarto risulta indipendente dagli altri. Si ottiene quindi la base:

${\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

Controesempio

Se al posto di spazi vettoriali si considerano moduli liberi allora il risultato non è più vero. Si prenda ad esempio lo $\mathbb {Z}$-modulo libero $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$. Allora si può verificare che $(3,1),(2,0),(0,1)$ generano tutto $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ ma né $(3,1),(2,0)$, né $(3,1),(0,1)$ né $(2,0),(0,1)$ sono basi sebbene linearmente indipendenti e di cardinalità uguale al rango dello $\mathbb {Z}$-modulo (ossia 2). Si osservi che un controesempio ancora più semplice si può trovare per lo $\mathbb {Z}$-modulo libero $\mathbb {Z}$ scegliendo ad esempio $2,3$ come sistema di generatori, da cui chiaramente non si riesce ad estrarre una base.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Completamento a base
• Copertura lineare
• Spazio vettoriale