Teorema di Sylvester

In algebra lineare il teorema di Sylvester permette di classificare i prodotti scalari su uno spazio vettoriale di dimensione finita tramite un invariante numerico, che nel caso reale è la segnatura mentre nel caso complesso è il rango.

Il teorema

Per approfondire, vedi prodotto scalare.

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo $K$ dei numeri reali o complessi, sul quale è definito un prodotto scalare $\phi$ su $V$, ovvero una forma sesquilineare definita positiva.

Due prodotti scalari $\phi$ e $\psi$ sono detti isometrici se sono collegati da una isometria, ovvero se esiste un automorfismo $T: V \to V$, cioè una trasformazione lineare biunivoca, tale che:

$\phi(\mathbf v, \mathbf w) = \psi(T(\mathbf v),T(\mathbf w)) \quad \forall \mathbf v , \mathbf w \in V$

Due vettori $\mathbf v$ e $\mathbf w$ di $V$ sono ortogonali per $\phi$ se $\phi(\mathbf v,\mathbf w)=0$, ed il radicale di $\phi$ è il sottospazio vettoriale dato dai vettori che sono ortogonali a qualsiasi vettore. Il rango di $\phi$ è n meno la dimensione del radicale, mentre un vettore $\mathbf v$ è isotropo se $\phi(\mathbf v,\mathbf v) = 0$.

Una base ortogonale di $V$ rispetto a $\phi$ è una base di vettori $\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n$ che sono a due a due ortogonali. Si consideri $K=\mathbb{R}$ e si definisca la segnatura della base come la terna $(i_+, i_-, i_0)$ di interi, dove:

• $i_+$ è il numero di vettori $\mathbf v_i$ della base per cui $\phi (\mathbf v_i, \mathbf v_i) >0$.
• $i_-$ è il numero di vettori $\mathbf v_i$ della base per cui $\phi (\mathbf v_i, \mathbf v_i) <0$.
• $i_0$ è il numero di vettori $\mathbf v_i$ della base per cui $\phi (\mathbf v_i, \mathbf v_i) =0$.

Una tale definizione non avrebbe senso per $K=\mathbb{C}$, perché $\mathbb{C}$ non ha un ordinamento naturale.

Enunciato

Esistono due versioni del teorema di Sylvester: una per il campo reale, ed una per quello complesso.

Il teorema di Sylvester reale afferma che se $\phi$ è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale $V$ di dimensione n, allora:

• Esiste una base ortogonale di $V$ per $\phi$.
• Due basi ortogonali per $V$ hanno la stessa segnatura, che dipende quindi solo da $\phi$.
• Due prodotti scalari con la stessa segnatura sono isomorfi.

La segnatura è quindi un invariante completo per l'isometria: due spazi vettoriali reali con prodotto scalare sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura.

La versione complessa afferma che se $\phi$ è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale complesso $V$ di dimensione n, allora:

• Esiste una base ortogonale di $V$ per $\phi$.
• Due basi ortogonali per $V$ contengono lo stesso numero di vettori isotropi, pari alla dimensione del radicale, che dipende quindi solo da $\phi$.
• Due prodotti scalari con lo stesso rango sono isomorfi.

Nel caso complesso il rango è pertanto un invariante completo per l'isometria.

Bibliografia

• (EN) D. J. H. Garling, Clifford algebras. An introduction, Cambridge, Cambridge University Press, 2011. ISBN 978-1-107-09638-7
• (EN) Norman, C.W., Undergraduate algebra, Oxford University Press, 1986, 360–361. ISBN 0-19-853248-2

Voci correlate

• Prodotto scalare
• Teorema spettrale
• Segnatura
• Algoritmo di Lagrange

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