Spazio duale

In matematica lo spazio duale o spazio duale algebrico di uno spazio vettoriale (V,K) è uno spazio vettoriale i cui elementi sono i funzionali lineari agenti su V. Il concetto di spazio duale ricorre in molte applicazioni della matematica e della fisica essendo a fondamento della nozione di tensore.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Un funzionale lineare è un'applicazione lineare da $V$ nel campo $K$. La somma fra due funzionali lineari $f$ e $g$, ed il prodotto fra $f$ ed uno scalare $\alpha$ sono definite nel modo seguente:

$(f + g)(w) := f(w) + g(w)$

$(\alpha f )(w)  := \alpha f(w)$

Con queste operazioni l'insieme di tutti i funzionali lineari di $V$ in $K$ forma uno spazio vettoriale, lo spazio vettoriale duale $V^*$ di $V$.

Trasposta di una applicazione lineare

Se $f : V \to W$ è un'applicazione lineare fra spazi vettoriali, definiamo la sua trasposta $^t f : W^* \to V^*$ nel modo seguente:

$({}^t f) (\phi ) = \phi \circ f$

dove $\phi$ è un funzionale in $W^*$.

In altre parole, si associa un funzionale su $V$ ad uno su $W$ tramite composizione con $f$.

Se $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto a due basi di $V$ e $W$, allora la trasposta $^t A$ è la matrice associata a $^t f$ rispetto alle basi duali di $W^*$ e $V^*$.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'operazione che trasforma gli spazi vettoriali ed i loro morfismi negli spazi vettoriali duali con i morfismi trasposti è un funtore controvariante dalla categoria degli spazi vettoriali su $K$ in sé.

Forma bilineare e spazio biduale

Per quanto detto sopra, se $V$ ha dimensione finita gli spazi $V$ e $V^*$ sono isomorfi: l'isomorfismo tra i due spazi non è però canonico, nel senso che per definirlo è necessario fare una scelta, quella di una base per $V$. Scelte diverse danno isomorfismi diversi: ogni isomorfismo $\Phi$ da $V$ in $V^*$ definisce una forma bilineare non degenere su $V$ nel modo seguente:

$\langle v,w \rangle = (\Phi (v))(w)$

e analogamente ogni forma bilineare non degenere definisce un isomorfismo tra $V$ e $V^*$.

Lo spazio biduale $V^{**}$ di uno spazio vettoriale è ottenuto prendendo il duale dello spazio $V^*$. Se $V$ ha dimensione finita, questo ha sempre la stessa dimensione di $V$. A differenza di $V^*$, se $V$ ha dimensione finita lo spazio $V^{**}$ è canonicamente isomorfo a $V$, tramite un isomorfismo canonico $\Psi : V \to V^{**}$ che non dipende da nessuna scelta, definito come segue:

$(\Psi(v))(\phi) = \phi(v)$

dove $v \in V$ e $\phi \in V^*$. Se $V$ ha dimensione infinita, la mappa $\Psi$ è solamente iniettiva.

Spazio duale topologico

Se $V$ è uno spazio vettoriale topologico, ed è quindi dotato di una topologia appropriata (ad esempio se è uno spazio di Hilbert o di Banach), si può generalizzare la precedente nozione introducendo lo spazio duale topologico, anche detto spazio duale continuo di $V$. Lo spazio duale topologico è molto utilizzato nell'analisi matematica, principalmente perché su di esso si possono definire interessanti strutture topologiche.

Definizione

Lo spazio duale topologico $V'$ dello spazio vettoriale topologico $V$ è definito come lo spazio dei funzionali lineari e continui su $V$.

La definizione data si riduce a quella di spazio duale topologico se si considera lo spazio vettoriale $V$ equipaggiato con la topologia discreta, nella quale tutti i funzionali sono continui. Il duale continuo $V'$ di uno spazio normato (ad esempio uno spazio di Banach o di Hilbert) è anch'egli uno spazio normato, e la norma $\| \phi \|$ di un funzionale lineare continuo $\phi$ su $V$ è definita come:

$\|\phi \| = \sup \{ |\phi ( x )| : \|x\| \le 1 \}$

La continuità di $\phi$ garantisce che $\| \phi \|$ sia un numero finito. $V'$ è sempre uno spazio di Banach, anche se $V$ non lo è. Analogamente, un prodotto scalare su $V$ ne induce uno su $V'$ in modo tale che se il primo è di Hilbert lo sia anche il suo duale.

Se $V$ ha dimensione finita, gli spazi duali $V^*$ e $V'$ coincidono, perché tutti i funzionali lineari sono continui. Questo non è vero in generale se $V$ ha dimensione infinita.

Esempi

Sia $p$ un numero reale maggiore di 1. Lo spazio l^p è l'insieme di tutte le successioni $\mathbf{a}=(a_n)$ tali che

$\|\mathbf{a}\|_p = \left ( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p \right) ^{1/p}$

è finito. Sia $p^*$ il numero per cui vale $1/p + 1/p^* =1$. Allora il duale continuo di $l^p$ è identificato in modo naturale con $l^p$ nel modo seguente: dato un funzionale continuo $\phi$ su $l^p$, l'elemento corrispondente in $l^p$ è la successione $(\phi(\mathbf e_n))$, dove $\mathbf e_n$ è la successione il cui n-esimo termine è 1 e tutti gli altri sono nulli. D'altra parte, dato un elemento $\mathbf{a}=(a_n) \in l^{p^*}$, il funzionale lineare continuo corrispondente $\phi$ su $l^p$ è definito come:

$\phi(\mathbf a)=\sum_n a_n b_n$

per ogni $\mathbf{a}=(a_n) \in l^p$. L'identificazione fa uso della disuguaglianza di Hölder.

Notiamo che $p^{**}=p$: anche in questo contesto lo spazio è isomorfo in modo naturale con il suo biduale. Questo non è però sempre vero in generale: il duale continuo di $l^1$ è identificato in modo naturale con lo spazio $l^\infty$ delle successioni limitate, ma il duale continuo di $l^\infty$ è uno spazio "più grande" di $l^1$.

Biduali e spazi riflessivi

Il biduale topologico $V^{**}$ è definito quindi come il duale topologico di $V^*$. Analogamente a quanto visto sopra, esiste una mappa canonica iniettiva

$\Psi:V\to V''.$

A differenza di quanto visto sopra, questa mappa può essere suriettiva anche se $V$ ha dimensione infinita: in questo caso lo spazio $V$ si dice riflessivo.

Ogni spazio di Hilbert è riflessivo. Anche gli spazi di Banach L^p per $p>1$ sono riflessivi, ma $L^1$ e $L^\infty$ non lo sono.

Esempi

Dimensione finita

Per approfondire, vedi Base duale.

Se $V$ ha dimensione finita, allora $V^*$ ha la stessa dimensione di $V$. Infatti, se $(e_1, \dots ,e_n)$ è una base per $V$, lo spazio $V^*$ ha una base duale $(e^1, \dots ,e^n)$ definita nel modo seguente:

$e^i (e_j)= \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{se }i = j \\ 0 & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right.$

In altre parole, il funzionale $e^i$ è definito come l'unico funzionale che manda $e_i$ in 1 e tutti gli altri elementi $e_j$ della base in zero.

Più concretamente, se $\R^n$ è lo spazio dei vettori colonna con n componenti, lo spazio duale${\R^n}^*$ è lo spazio dei vettori riga con n componenti: ciascun vettore riga $v$ può essere infatti interpretato come un funzionale che manda il vettore colonna $w$ nello scalare $v \cdot w$ ottenuto moltiplicando $v$ e $w$ tramite la usuale moltiplicazione fra matrici. In questo caso, se $(e_i)$ è la base canonica di $\R^n$, allora $e^i$ è semplicemente la trasposta di $e_i$.

Dimensione infinita

Se $V$ ha dimensione infinita, la costruzione di $e^i$ descritta sopra produce dei vettori indipendenti in $V^*$, ma non una base: questi vettori non sono sufficienti per generare tutti i funzionali lineari. Infatti $V^*$ ha dimensione maggiore di $V$, nel senso che è infinita con cardinalità maggiore.

Ad esempio, lo spazio $\R^{(\omega)}$ delle successioni di numeri reali che hanno solo un numero finito di elementi non nulli ha dimensione numerabile. Lo spazio duale può essere identificato con lo spazio $\R^{(\omega)}$ di tutte le successioni di numeri reali, ed ha dimensione più che numerabile (ha la stessa cardinalità di $\R$). L'identificazione avviene nel modo seguente: una sequenza ($a_n$) di $\R^{(\omega)}$ è il funzionale che manda l'elemento ($x_n$) di $\R^{(\omega)}$ nello scalare $\sum_n a_n x_n$.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990. ISBN 8820715015

Voci correlate

• Base duale
• Funzionale lineare
• Matrice trasposta
• Operatore lineare continuo
• Spazio vettoriale
• Spazio vettoriale topologico
• Spazio di Hilbert
• Trasformazione lineare

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