Spazio duale

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In matematica lo spazio duale o spazio duale algebrico di un K-spazio vettoriale V (con Kun campo), indicato con V^*, è uno spazio vettoriale particolare che ricorre in molte applicazioni della matematica e della fisica essendo a fondamento della nozione di tensore.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia V un K-spazio vettoriale. Lo spazio duale V^* di V è lo spazio vettoriale formato da tutti i funzionali lineari

f \colon V \to K.

La somma fra due funzionali lineari f e g, ed il prodotto fra f ed uno scalare \alpha sono definiti nel modo seguente:

 (f + g)(w) := f(w) + g(w)
 (\alpha f )(w)  := \alpha f(w)

Con queste operazioni l'insieme V^* è effettivamente uno spazio vettoriale.[1] In simboli si può scrivere:

V^*={\rm Hom}(V,K)

dove {\rm Hom}(V,W) è lo spazio vettoriale formato da tutte le applicazioni lineari fra due spazi vettoriali V e W.

Base duale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Base duale.

Dimensione finita[modifica | modifica sorgente]

Se V ha dimensione finita n, allora V^* ha la stessa dimensione di V.[2] Usando le matrici si dimostra infatti che

\dim\;{\rm Hom}(V,W)=\dim V \cdot \dim W.

In questo caso si ottiene:

\dim\; V^*=\dim\;{\rm Hom}(V,K)=n\cdot 1=n.

Data una base di V, è possibile costruire una base duale di V^* nel modo seguente. Se

B=\{v_1, \dots ,v_n\}

è una base per V, la base duale

B^*=\{v_1^*, \dots ,v_n^*\}

è definita dalle relazioni:


v_i^* (v_j)= \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{se }i = j \\ 0 & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right.

In altre parole, il funzionale v_i^* è definito come l'unico funzionale che manda v_i in 1 e tutti gli altri elementi v_j della base in zero.

Quindi l'applicazione:

\begin{matrix} \phi_B: V  \longrightarrow V^* \\ \qquad \qquad v_i  \longmapsto \phi_B(v_i)=v_i^* \end{matrix} \qquad \forall i\in\{1,\dots,n\}

è un isomorfismo che però dipende dalla scelta della base, quindi non canonico.

Più concretamente, se \R^n è lo spazio dei vettori colonna con n componenti, lo spazio duale ({\R^n})^* è lo spazio dei vettori riga con n componenti: ciascun vettore riga v può essere infatti interpretato come un funzionale che manda il vettore colonna w nello scalare v \cdot w ottenuto moltiplicando v e w tramite la usuale moltiplicazione fra matrici. In questo caso, se \{e_1, \dots ,e_n\} è la base canonica di \R^n, allora e_i^* è semplicemente la trasposta di e_i.

Dimensione infinita[modifica | modifica sorgente]

Se V ha dimensione infinita, la costruzione di e^i descritta sopra produce dei vettori indipendenti in V^*, ma non una base: questi vettori non sono sufficienti per generare tutti i funzionali lineari. Infatti V^* ha dimensione maggiore di V, nel senso che è infinita con cardinalità maggiore.

Ad esempio, lo spazio \R^{\infty} delle successioni di numeri reali che hanno solo un numero finito di elementi non nulli ha dimensione numerabile. Lo spazio duale può essere identificato con lo spazio \R^{(\omega)} di tutte le successioni di numeri reali, ed ha dimensione più che numerabile (ha la stessa cardinalità di \R). L'identificazione avviene nel modo seguente: una sequenza (a_n) di \R^{(\omega)} è il funzionale che manda l'elemento (x_n) di \R^{(\infty)} nello scalare \sum_n a_n x_n.

Spazio Biduale[modifica | modifica sorgente]

Sia V un K-spazio vettoriale. Allora V^{**} è definito in questo modo:

V^{**}=(V^*)^*=Hom(V^*,K)

e viene detto spazio biduale di V.

Quindi lo spazio biduale V^{**} di uno spazio vettoriale V è ottenuto prendendo il duale dello spazio V^*.

Se V ha dimensione finita, questo ha sempre la stessa dimensione di V.

\begin{matrix} \phi_{B^*}: V^*  \longrightarrow V^{**} \\ \qquad \qquad v_i^* \longmapsto \phi_B(v_i)=v_i^{**} \end{matrix} \qquad \forall i\in\{1,\dots,n\}

è un isomorfismo (non canonico) da V^* in V^{**}.

A differenza di V^*, se V ha dimensione finita lo spazio V^{**} è canonicamente isomorfo a V, tramite un isomorfismo canonico \Psi : V \to V^{**} che non dipende da nessuna scelta della base, definito come segue:

 (\Psi(v))(\phi) = \phi(v)

dove v \in V e \phi \in V^*.

Inoltre per ogni B base \Psi=\phi_{B^*}\circ\phi_B.

Se V ha dimensione infinita, la mappa \Psi è solamente iniettiva.

Annullatore[modifica | modifica sorgente]

Sia V un K-spazio vettoriale, sia \Psi : V \to V^{**} l'isomorfismo canonico da V in V^{**} e sia v un elemento di V. Allora:

\mathrm{Ann}(v)=\mathrm{ker}(\Psi(v))=\{f\in V^*|\; f(v)=0\}

e viene detto annullatore di v in V.

Se si estende questa definizione ad un qualsiasi sottoinsieme S di V si ottiene:

\mathrm{Ann}[S]=\bigcap_{s \in S}\mathrm{Ann}(s)=\bigcap_{s \in S} \mathrm{ker}(\Psi(s))=\{f\in V^*|\; f[S]=\{0\}\}=\{f\in V^* |\; f_{|S}=0\}

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Per tutti gli S\subseteq V, \mathrm{Ann}[S] è un sottospazio vettoriale di V^*;
  • S\subseteq T implica  \mathrm{Ann}[T]\subseteq \mathrm{Ann}[S];
  • \mathrm{Ann}[S]=\mathrm{Ann}[\mathrm{Span}(S)];
  • Se U è un sottospazio vettoriale di V e \dim\; U=k, allora  \dim\; \mathrm{Ann}[U]=n-k;
  • f\in V^* implica  \mathrm{Ann}(f)=\Psi[\mathrm{ker} f];
  • Se U è un sottospazio vettoriale di V, allora  \mathrm{Ann}[\mathrm{Ann}[U]]=\Psi[U].

Trasposta di un'applicazione lineare[modifica | modifica sorgente]

Se f : V \to W è un'applicazione lineare fra spazi vettoriali, si definisce la sua trasposta ^t f : W^* \to V^* nel modo seguente:

({}^t f) (\phi ) = \phi \circ f

dove  \phi è un funzionale in W^*.

In altre parole, si associa un funzionale su V ad uno su W tramite composizione con f. La funzione ^t f : W^* \to V^* è lineare e ^t(^tf)=f a meno dell'identificazione \Psi_1:\; V \to V^{**} e \Psi_2:W \to W^{**}, ossia:

f=\Psi_2^{-1}\circ\; ^t(^tf)\;\circ\;\Psi_1

Inoltre \mathrm{ker} \;^tf= \mathrm{Ann}[\mathrm{Im}\;f] e \mathrm{Im} \; ^tf= \mathrm{Ann}[\mathrm{ker}\;f] e se A è la matrice associata a f rispetto a due basi di V e W, allora la trasposta ^t A è la matrice associata a ^t f rispetto alle basi duali di W^* e V^*.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'operazione che trasforma gli spazi vettoriali ed i loro morfismi negli spazi vettoriali duali con i morfismi trasposti è un funtore controvariante dalla categoria degli spazi vettoriali su K in sé.

Forma bilineare e spazio biduale[modifica | modifica sorgente]

Per quanto detto sopra, se V ha dimensione finita gli spazi V e V^* sono isomorfi: l'isomorfismo tra i due spazi non è però canonico, nel senso che per definirlo è necessario fare una scelta, quella di una base per V. Scelte diverse danno isomorfismi diversi: ogni isomorfismo \Phi da V in V^* definisce una forma bilineare non degenere su V nel modo seguente:

 \langle v,w \rangle = (\Phi (v))(w)

e analogamente ogni forma bilineare non degenere definisce un isomorfismo tra V e V^*.

Spazio duale topologico[modifica | modifica sorgente]

Se V è uno spazio vettoriale topologico, ed è quindi dotato di una topologia appropriata (ad esempio se è uno spazio di Hilbert o di Banach), si può generalizzare la precedente nozione introducendo lo spazio duale topologico, anche detto spazio duale continuo di V. Lo spazio duale topologico è molto utilizzato nell'analisi matematica, principalmente perché su di esso si possono definire interessanti strutture topologiche.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio duale topologico V' dello spazio vettoriale topologico V è definito come lo spazio dei funzionali lineari e continui su V.[3] Se V ha dimensione finita, gli spazi duali algebrico V^* e topologico V' coincidono, perché tutti i funzionali lineari sono continui. Questo non è vero in generale se V ha dimensione infinita. La definizione data si riduce a quella di spazio duale algebrico anche nel caso in cui si considera lo spazio vettoriale V equipaggiato con la topologia discreta, nella quale tutti i funzionali sono continui. Il duale continuo V' di uno spazio normato (ad esempio uno spazio di Banach o di Hilbert) è uno spazio normato completo, ovvero spazio di Banach, e la norma \| \phi \| di un funzionale lineare continuo \phi su V è definita come:[4]

\|\phi \| = \sup \{ |\phi ( x )| : \|x\| \le 1 \}

La continuità di \phi garantisce che \| \phi \| sia un numero finito. V' è sempre uno spazio di Banach, anche se V non lo è. Analogamente, un prodotto scalare su V ne induce uno su V' in modo tale che se il primo è di Hilbert lo sia anche il suo duale.

In uno spazio vettoriale topologico generico, tuttavia, per definire la nozione di limitatezza è necessario ricorrere, invece che a nozioni come la distanza o l'usuale norma, agli intorni dell'origine: dato uno spazio vettoriale topologico (X,\tau) su un campo F, un insieme E \subset X è detto limitato nella topologia \tau se e solo se per ogni intorno D dell'origine esiste un numero reale positivo \alpha (dipendente da D) tale che E\subset \alpha D, ovvero E deve essere contenuto in un opportuno multiplo di ogni intorno dell'origine. In altri termini, un insieme è limitato se è un insieme assorbente per ogni intorno del vettore zero.

La caratterizzazione con una topologia dello spazio duale continuo V' di uno spazio vettoriale topologico V, dunque, avviene grazie a una classe {\mathcal A} di sottoinsiemi limitati di V in modo che la topologia è generata da una famiglia di seminorme della forma:


    \|\varphi\|_A = \sup_{x\in A} |\varphi(x)|

dove \varphi è un funzionale lineare continuo definito su V, e A spazia nella classe {\mathcal A}. A questa topologia è associata la convergenza uniforme di funzionali definiti sugli insiemi di {\mathcal A}:

 \|\varphi_i-\varphi\|_A = \sup_{x\in A} |\varphi_i(x)-\varphi(x)|\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}0 \qquad \forall A\in{\mathcal A}

Solitamente si suppone che la classe {\mathcal A} soddisfi le seguenti condizioni:

  • Ogni punto x di V appartiene a qualche insieme A\in{\mathcal A}.
  • Ogni coppia di insiemi A\in{\mathcal A} e B\in{\mathcal A} è contenuta in qualche insieme C\in{\mathcal A}.
  • La classe {\mathcal A} è chiusa rispetto all'operazione di moltiplicazione per scalare.

Se queste condizioni sono soddisfatte allora la corrispondente topologia su V' è di Hausdorff, e gli insiemi:


    U_A=\{x\in V:\quad ||\varphi||_A<1\} \qquad A\in {\mathcal A}

costituiscono una sua base locale.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Sia p un numero reale maggiore di 1. Lo spazio lp è l'insieme di tutte le successioni \mathbf{a}=(a_n) tali che

\|\mathbf{a}\|_p = \left ( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p \right) ^{1/p}

è finito. Sia p^* il numero per cui vale 1/p + 1/p^* =1. Allora il duale continuo di l^p è identificato in modo naturale con l^p nel modo seguente: dato un funzionale continuo \phi su l^p, l'elemento corrispondente in l^p è la successione (\phi(\mathbf e_n)), dove \mathbf e_n è la successione il cui n-esimo termine è 1 e tutti gli altri sono nulli. D'altra parte, dato un elemento \mathbf{a}=(a_n) \in l^{p^*}, il funzionale lineare continuo corrispondente \phi su l^p è definito come:

\phi(\mathbf a)=\sum_n a_n b_n

per ogni \mathbf{a}=(a_n) \in l^p. L'identificazione fa uso della disuguaglianza di Hölder.

Si nota che p^{**}=p: anche in questo contesto lo spazio è isomorfo in modo naturale con il suo biduale. Questo non è però sempre vero in generale: il duale continuo di l^1 è identificato in modo naturale con lo spazio l^\infty delle successioni limitate, ma il duale continuo di l^\infty è uno spazio "più grande" di l^1.

Biduali e spazi riflessivi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Spazio riflessivo.

Il biduale topologico V^{**} è definito quindi come il duale topologico di V^*. Analogamente a quanto visto sopra, esiste una mappa canonica iniettiva, detta mappa di James:

\Psi:V\to V''

A differenza di quanto visto sopra, questa mappa può essere suriettiva anche se V ha dimensione infinita: in questo caso lo spazio V si dice riflessivo[5]. In particolare, uno spazio localmente convesso è riflessivo se coincide con il duale continuo del suo duale continuo sia come spazio topologico che come spazio vettoriale.

Ogni spazio di Hilbert è riflessivo[6]. Anche gli spazi di Banach Lp per p>1 sono riflessivi[7], ma L^1 e L^\infty non lo sono.

Spazio preduale[modifica | modifica sorgente]

Se la chiusura di uno spazio D è lo spazio duale di un altro spazio, allora D è detto spazio preduale o semplicemente preduale.[8]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ S. Lang, op. cit., Pag 167
  2. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 169
  3. ^ H. Brezis, op. cit., Pag. 4
  4. ^ H. Brezis, op. cit., Pag. 4
  5. ^ H. Brezis, op. cit., Pag. 66
  6. ^ H. Brezis, op. cit., Pag. 127
  7. ^ H. Brezis, op. cit., Pag. 92
  8. ^ Treccani - Dizionario delle Scienze Fisiche (2012). URL consultato il 26 luglio 2011.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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