Spazio duale

In matematica lo spazio duale o spazio duale algebrico di uno spazio vettoriale (V,K) è uno spazio vettoriale i cui elementi sono i funzionali lineari agenti su V. Il concetto di spazio duale ricorre in molte applicazioni della matematica e della fisica essendo a fondamento della nozione di tensore.

Definizione

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Un funzionale lineare è un'applicazione lineare da V nel campo K. La somma fra due funzionali lineari f e g, ed il prodotto fra f ed uno scalare α sono definite nel modo seguente:

$(f + g)(w) := f(w) + g(w) \$

$(\alpha f )(w)  := \alpha f(w) \$

Con queste operazioni l'insieme di tutti i funzionali lineari di V in K forma uno spazio vettoriale, chiamato spazio vettoriale duale V* di V.

Trasposta di una applicazione lineare

Se $f : V \to W$ è un'applicazione lineare fra spazi vettoriali, definiamo la sua trasposta $^t f : W^* \to V^*$ nel modo seguente:

$({}^t f) (\phi ) = \phi \circ f, \,$

dove φ è un funzionale in W * .

In altre parole, si associa un funzionale su V ad uno su W tramite composizione con f.

Se A è la matrice associata a f rispetto a due basi di V e W, allora la trasposta ^tA è la matrice associata a ^tf rispetto alle basi duali di W* e V*.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'operazione che trasforma gli spazi vettoriali ed i loro morfismi negli spazi vettoriali duali con i morfismi trasposti è un funtore covariante dalla categoria degli spazi vettoriali su K in sé.

Forma bilineare e spazio biduale

Per quanto detto sopra, se V ha dimensione finita gli spazi V e V* sono isomorfi: l'isomorfismo tra i due spazi non è però canonico, nel senso che per definirlo è necessario fare una scelta, quella di una base per V. Scelte diverse danno isomorfismi diversi: ogni isomorfismo Φ da V in V* definisce una forma bilineare non degenere su V nel modo seguente:

$\langle v,w \rangle = (\Phi (v))(w) \,$

e analogamente ogni forma bilineare non degenere definisce un isomorfismo tra V e V*.

Lo spazio biduale V** di uno spazio vettoriale è ottenuto prendendo il duale dello spazio V*. Se V ha dimensione finita, questo ha sempre la stessa dimensione di V. A differenza di V*, se V ha dimensione finita lo spazio V** è canonicamente isomorfo a V, tramite un isomorfismo canonico Ψ:V → V** che non dipende da nessuna scelta, definito come segue:

$(\Psi(v))(\phi) = \phi(v) \,$

dove v è in V e φ in V*. Se V ha dimensione infinita, la mappa Φ è solamente iniettiva.

Spazio duale topologico

Se V è uno spazio vettoriale topologico, ed è quindi dotato di una topologia appropriata (ad esempio se è uno spazio di Hilbert o di Banach), si può generalizzare la precedente nozione introducendo lo spazio duale topologico, anche detto spazio duale continuo di V. Lo spazio duale topologico è molto utilizzato nell'analisi matematica, principalmente perché su di esso si possono definire interessanti strutture topologiche.

Definizione

Lo spazio duale topologico V' dello spazio vettoriale topologico V è definito come lo spazio dei funzionali lineari e continui su V.

La definizione data si riduce a quella di spazio duale topologico se si considera lo spazio vettoriale V equipaggiato con la topologia discreta, nella quale tutti i funzionali sono continui. Il duale continuo V' di uno spazio normato (ad esempio uno spazio di Banach o di Hilbert) è anch'egli uno spazio normato, e la norma $\| \phi \|$ di un funzionale lineare continuo ϕ su V è definita come:

$\|\phi \| = \sup \{ |\phi ( x )| : \|x\| \le 1 \}$

La continuità di ϕ garantisce che $\| \phi \|$ sia un numero finito. V' è sempre uno spazio di Banach, anche se V non lo è. Analogamente, un prodotto scalare su V ne induce uno su V' in modo tale che se il primo è di Hilbert lo sia anche il suo duale.

Se V ha dimensione finita, gli spazi duali V * e V' coincidono, perché tutti i funzionali lineari sono continui. Questo non è vero in generale se V ha dimensione infinita.

Esempi

Sia 1 < p < ∞ un numero reale. Lo spazio l^p è l'insieme di tutte le successioni a = (a_n) tali che

$\|\mathbf{a}\|_p = \left ( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p \right) ^{1/p}$

è finito. Sia p* il numero per cui vale 1/p + 1/p* = 1. Allora il duale continuo di l ^p è identificato in modo naturale con l ^p* nel modo seguente: dato un funzionale continuo φ su l ^p*, l'elemento corrispondente in l ^p* è la successione (φ(e_n)) dove e_n è la successione il cui n-esimo termine è 1 e tutti gli altri sono nulli. D'altra parte, dato un elemento a = (a_n) ∈ l ^p*, il funzionale lineare continuo corrispondente φ su l ^p è definito come φ(a) = ∑_n a_n b_n per ogni a = (a_n) ∈ L^p. L'identificazione fa uso della disuguaglianza di Holder.

Notiamo che p** = p: anche in questo contesto lo spazio è isomorfo in modo naturale con il suo biduale. Questo non è però sempre vero in generale: il duale continuo di l ¹ è identificato in modo naturale con lo spazio l ^∞ delle successioni limitate, ma il duale continuo di l ^∞ è uno spazio "più grande" di l ¹.

Biduali e spazi riflessivi

Il biduale topologico V** è definito quindi come il duale topologico di V*. Analogamente a quanto visto sopra, esiste una mappa canonica iniettiva

$\Psi:V\to V''.$

A differenza di quanto visto sopra, questa mappa può essere suriettiva anche se V ha dimensione infinita: in questo caso lo spazio V si dice riflessivo.

Ogni spazio di Hilbert è riflessivo. Anche gli spazi di Banach L^p per p>1 sono riflessivi, ma L¹ e L^∞ non lo sono.

Esempi

Dimensione finita

Per approfondire, vedi la voce Base duale.

Se V ha dimensione finita, allora V* ha la stessa dimensione di V. Infatti se (e₁, ...,e_n) è una base per V, lo spazio V* ha una base duale (e¹,...,eⁿ) definita nel modo seguente:

$e^i (e_j)= \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{se }i = j \\ 0 & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right.$

In altre parole, il funzionale eⁱ è definito come l'unico funzionale che manda e_i in 1 e tutti gli altri elementi e_j della base in zero.

Più concretamente, se Rⁿ è lo spazio dei vettori colonna con n componenti, lo spazio duale Rⁿ* è lo spazio dei vettori riga con n componenti: ciascun vettore riga v può essere infatti interpretato come un funzionale che manda il vettore colonna w nello scalare v · w ottenuto moltiplicando v e w tramite la usuale moltiplicazione fra matrici. In questo caso, se (e_i) è la base canonica di Rⁿ, allora eⁱ è semplicemente la trasposta di e_i.

Dimensione infinita

Se V ha dimensione infinita, la costruzione di eⁱ descritta sopra produce dei vettori indipendenti in V*, ma non una base: questi vettori non sono sufficienti per generare tutti i funzionali lineari. Infatti V* ha dimensione maggiore di V, nel senso che è infinita con cardinalità maggiore.

Ad esempio, lo spazio R^(ω) delle successioni di numeri reali che hanno solo un numero finito di elementi non nulli ha dimensione numerabile. Lo spazio duale può essere identificato con lo spazio R^ω di tutte le successioni di numeri reali, ed ha dimensione più che numerabile (ha la stessa cardinalità di R). L'identificazione avviene nel modo seguente: una sequenza (a_n) di R^ω è il funzionale che manda l'elemento (x_n) di R^(ω) nello scalare ∑_na_nx_n.

Voci correlate

• Funzionale lineare
• Operatore lineare continuo
• Spazio vettoriale topologico
• Spazio di Hilbert

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990. ISBN 8820715015

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