Polinomio caratteristico

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In algebra lineare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata su un campo è un polinomio definito a partire dalla matrice che ne descrive molte proprietà essenziali.

Il polinomio caratteristico è un oggetto che dipende solo dalla classe di similitudine di una matrice, e pertanto fornisce molte informazioni sulla natura intrinseca delle trasformazioni lineari, caratterizzate attraverso la traccia e il determinante. In particolare, le radici del polinomio sono gli autovalori della trasformazione lineare associata alla matrice. I coefficienti del polinomio sono pertanto detti invarianti della matrice e dell'applicazione ad essa associata.

Il polinomio è anche utilizzato per determinare la forma canonica di luoghi geometrici esprimibili mediante matrici, come coniche e quadriche.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia A una matrice quadrata a valori in un campo K. Il polinomio caratteristico di A nella variabile x è il polinomio definito nel modo seguente:[1]

 p_A(x) \,=\, \det (A - xI)

cioè è il determinante della matrice A -xI , ottenuta sommando  A e  -xI . Qui  I denota la matrice identità, avente la stessa dimensione di  A , e quindi  -xI è la matrice diagonale avente il valore  -x su ciascuna delle n caselle della diagonale principale.

In particolare,  x è autovalore di A se e solo se è radice del suo polinomio caratteristico.[2]

Grado e coefficienti del polinomio[modifica | modifica wikitesto]

Sia  A una matrice quadrata di ordine n . Il polinomio caratteristico di  A ha grado  n . Alcuni dei suoi coefficienti sono (a meno di segno) quantità notevoli per la matrice, come la traccia ed il determinante:

 p_A(x) = (-1)^nx^n +(-1)^{n-1} \textrm{tr}(A) x^{n-1}+ \ldots + \det A

Il coefficiente di x^k del polinomio è la somma moltiplicata per (-1)^k dei {n\choose k} determinanti dei minori  (n-k)\times (n-k) "centrati" sulla diagonale.

Ad esempio, se  A è una matrice 2 per 2 si ha:

 p_A(x) = x^2 - \textrm{tr}(A)x + \det A

Se  A è una matrice 3 per 3 si ha:

 p_A(x) = - x^3 + \textrm{tr}(A)x^2 -\textrm{Z}(A) x + \det A

con:

 Z(A)= \frac{1}{2}\left[\textrm{tr}(A)^2-\textrm{tr}(A^2)\right]=(a_{1,1}a_{2,2} - a_{2,1}a_{1,2}) + (a_{2,2}a_{3,3} - a_{3,2}a_{2,3}) + (a_{1,1}a_{3,3} - a_{3,1}a_{1,3}) \

dove  a_{i,j} è l'elemento di  A nella posizione  (i,j) .

Autovalori[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Autovettore e autovalore.

Le radici in K del polinomio caratteristico sono gli autovalori di  A.[2]

Questo si dimostra formalmente ponendo  v autovettore di A. Si ha allora  Av = \lambda v , ed in particolare:

 (A - \lambda I)v = 0

Si ha quindi che il nucleo dell'applicazione (A-\lambda I) è non nullo se  \lambda è autovalore, e tale condizione è soddisfatta se e solo se:

\det (A-\lambda I) = 0

Se  A è una matrice triangolare (superiore o inferiore) avente i valori  a_{1,1},\ldots, a_{n,n} sulla diagonale principale, allora:

 p_A(x) = (a_{1,1}-x)\cdots(a_{n,n}-x)

Quindi il polinomio caratteristico di una matrice triangolare ha  n radici nel campo, date dai valori nella diagonale principale. In particolare, questo fatto è vero per le matrici diagonali.

Invarianza per similitudine e diagonalizzabilità[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Diagonalizzabilità e Similitudine fra matrici.

Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.[3] Infatti, se:

A=M^{-1}BM

per qualche matrice invertibile M, si ottiene:

p_A(x) = \det (A-xI) = \det (M^{-1}BM - xI)
= \det (M^{-1}BM-xM^{-1}M) = \det(M^{-1}BM - M^{-1}(xI)M) = \det(M^{-1}(B-xI)M)
 = \det(M^{-1})\det(B-xI)\det M = (\det M)^{-1}p_B(x)\det M = p_B(x)

In tale catena di uguaglianze si fa uso del fatto che la matrice della forma xI commuta con qualsiasi altra e del teorema di Binet.

Poiché due matrici che rappresentano un endomorfismo  T di uno spazio vettoriale  V a dimensione finita sono simili, il polinomio caratteristico è una grandezza intrinseca di  T che riassume molte delle caratteristiche dell'endomorfismo considerato, come traccia, determinante ed autovalori. Come conseguenza di questo fatto si ha che  T è diagonalizzabile se esiste una base di V rispetto alla quale la matrice che rappresenta T è diagonale, e gli elementi della diagonale sono gli autovalori.[4] In particolare, la base che diagonalizza T è composta da suoi autovettori.

Il teorema di diagonalizzabilità fornisce, inoltre, un criterio necessario e sufficiente che permette di stabilire se un'applicazione lineare è diagonalizzabile. Una matrice quadrata A con n righe è diagonalizzabile se e solo se valgono entrambi i fatti seguenti:

  • La somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n, ovvero il polinomio caratteristico può essere fattorizzato nel campo attraverso polinomi di primo grado.
  • Le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti, ovvero la dimensione degli autospazi è pari alla molteplicità con la quale il relativo autovalore è radice del polinomio caratteristico. Poiché la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale di quella algebrica, se l'applicazione ha n autovalori distinti nel campo allora è diagonalizzabile.

Invarianza per trasposizione[modifica | modifica wikitesto]

La matrice trasposta A^t ha lo stesso polinomio caratteristico di A. Infatti

p_{A^t}(x) = \det(A^t-xI)=\det(A^t-xI^t) = \det ((A-xI)^t) =\det(A-xI) =p_A(x).

Qui si fa uso del fatto che il determinante è invariante per trasposizione.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Data:

   A = 
   \begin{pmatrix}
      1 & 3\\
      0 & 4
   \end{pmatrix}
allora:
 
   A - xI = 
   \begin{pmatrix}
      1 & 3\\
      0 & 4
   \end{pmatrix} -
x    \begin{pmatrix}
      1 & 0\\
      0 & 1
   \end{pmatrix} =
   \begin{pmatrix}
      1 - x & 3\\
      0 & 4 -x
   \end{pmatrix}
e quindi:
 p_A(x)=\det(A - xI) = (1 - x)(4 - x)
Gli autovalori di A sono le radici del polinomio: 4 e 1.
  • Data:
B =\begin{pmatrix}
      2 & \pi & 0\\
      -1 & -3 & 5\\
      0 & 4 & 3
   \end{pmatrix}
in modo analogo si trova:
 p_B(x) = -x^3 +2x^2 +(29 - \pi)x -(58-3\pi)

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 227
  2. ^ a b S. Lang, op. cit., Pag. 228
  3. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 229
  4. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 114

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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