Endomorfismo
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In matematica, un endomorfismo è una funzione da un insieme in sé, che mantiene alcune proprietà strutturali dell'insieme. In altre parole, è un morfismo dall'insieme in sé stesso. La definizione rigorosa dipende dalla struttura dell'insieme.
L'insieme degli endomorfismi di un insieme X si denota con End(X). Solitamente, la composizione di due endomorfismi è un endomorfismo, e quindi definisce una operazione binaria su End(X).
Indice |
[modifica] Definizione
[modifica] Operazioni binarie
Se un insieme X è dotato di una operazione binaria *, che associa a due elementi x e y un altro elemento x * y di X, un endomorfismo di X è una funzione f: X → X tale che
per ogni x e y in X. L'esempio più importante di insieme dotato di operazione binaria è il gruppo.
Ad esempio, la funzione f(x) = 2x dal gruppo dei numeri interi in sé è un endomorfismo rispetto all'operazione di somma. La funzione f(x) = x + 1 invece no. Si noti che neanche la funzione f(x) = 2x è un endomorfismo rispetto all'operazione di moltiplicazione.
[modifica] Spazi vettoriali
Se V è uno spazio vettoriale, un endomorfismo di V è una applicazione lineare da V in sé.
[modifica] Proprietà
- Un endomorfismo che è anche biiettivo è un automorfismo.
- La funzione identità normalmente è un endomorfismo.
