Endomorfismo

In matematica, un endomorfismo di una struttura algebrica è una funzione dall'insieme sostegno della struttura in sé, che preservi le operazioni. In altre parole, è un morfismo della struttura algebrica in sé stessa.

L'insieme degli endomorfismi di una struttura algebrica X si denota con End(X). La composizione di due endomorfismi è un endomorfismo, e quindi la composizione definisce una operazione binaria su End(X).

Definizione

Operazioni binarie

Se un insieme X è dotato di una operazione binaria *, che associa a due elementi x e y un altro elemento x * y di X, un endomorfismo di X è una funzione f: X → X tale che

$f(x*y) \!= \!f(x) * f(y)$

per ogni x e y in X. L'esempio più importante di insieme dotato di operazione binaria è il gruppo.

Ad esempio, la funzione f(x) = 2x dal gruppo dei numeri interi in se è un endomorfismo rispetto all'operazione di somma. La funzione f(x) = x + 1 invece no. Si noti che neanche la funzione f(x) = 2x è un endomorfismo rispetto all'operazione di moltiplicazione.

Spazi vettoriali

Se V è uno spazio vettoriale, un endomorfismo di V è una applicazione lineare da V in sé.

Proprietà

• Un endomorfismo che è anche biiettivo è un automorfismo.
• La funzione identità normalmente è un endomorfismo.

Voci correlate

• Morfismo
• Isomorfismo
• Automorfismo
• Endofunzione
• Operatore

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