Endomorfismo

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In matematica, un endomorfismo di una struttura algebrica è una funzione dall'insieme sostegno della struttura in sé, che preservi le operazioni. In altre parole, è un morfismo della struttura algebrica in sé stessa.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia X un insieme o una struttura. Si definisce endomorfismo una funzione T tale che:

T: X \to X.

L'endomorfismo si può quindi attuare su di un insieme generico; in varie applicazioni risulta importante considerare gli endomorfismi basati su spazi vettoriali.

Si indica invece con End (X) l'insieme degli endomorfismi di X.

Operazioni binarie[modifica | modifica sorgente]

Se un insieme X è dotato di una operazione binaria *, che associa a due elementi x e y un altro elemento x * y di X, un endomorfismo di X è una funzione f: XX tale che

 f(x*y) \!= \!f(x) * f(y)

per ogni x e y in X. L'esempio più importante di insieme dotato di operazione binaria è il gruppo.

Ad esempio, la funzione f(x) = 2x dal gruppo dei numeri interi in se è un endomorfismo rispetto all'operazione di somma. La funzione f(x) = x + 1 invece no. Si noti che neanche la funzione f(x) = 2x è un endomorfismo rispetto all'operazione di moltiplicazione.

Spazi vettoriali[modifica | modifica sorgente]

Se V è uno spazio vettoriale, un endomorfismo di V è una applicazione lineare T da V in sé stesso T: V → V.

Data la precedente definizione relativa agli spazi vettoriali, è interessante chiedersi, essendo l'immagine dell'endomorfismo un sottoinsieme di V, se esistono in X dei sottospazi U di dimensione 1 che sono lasciati invariati per l'azione dell'endomorfismo. Ci si chiede cioè se esistono degli insiemi U tali che T(U) \subseteq U. La ricerca di questi sottospazi è riconducibile alla ricerca di particolari vettori, detti autovettori di T[1].

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Riferimenti[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ M. Landucci, Argomenti di geometria, Firenze, 1996, pp. 222.
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