Trasformazione lineare

In matematica, più precisamente in algebra lineare, una trasformazione lineare, detta anche applicazione lineare o mappa lineare, è una funzione tra due spazi vettoriali che preserva la forma delle operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per scalare. In altre parole, preserva le combinazioni lineari, cioè le composizioni che caratterizzano la specie di struttura spazio vettoriale; quindi nel linguaggio dell'algebra astratta, una trasformazione lineare è un omomorfismo di spazi vettoriali, in quanto conserva la forma di ogni istanza dell'operazione che caratterizza gli spazi vettoriali.

Definizione

Siano V e W due spazi vettoriali sullo stesso campo K. Una funzione $f:V\to W$ è una trasformazione lineare se soddisfa le seguenti proprietà:

• $f(\mathbf x+ \mathbf y)=f(\mathbf x)+f(\mathbf y) \$
• $f(a \mathbf x)=af(\mathbf x) \$

per ogni coppia di vettori $\mathbf x$ e $\mathbf y$ in V e per ogni scalare a in K. La prima proprietà è detta additività, la seconda omogeneità di grado 1.

Equivalentemente, f è lineare se "preserva le combinazioni lineari", ovvero se:

$f(a_1 \mathbf x_1+\cdots+a_m \mathbf x_m)=a_1 f(\mathbf x_1)+\cdots+a_m f(\mathbf x_m)$

per ogni intero positivo m e ogni scelta dei vettori $\mathbf x_1,\ldots, \mathbf x_m$ e degli scalari $a_1,\ldots,a_m$.

Se $f:V\to W$ è una applicazione lineare e $\mathbf 0_V$ e $\mathbf 0_W$ sono i vettori nulli di V e W rispettivamente, allora:

$\ f(\mathbf 0_V) = f(\mathbf 0_V + \mathbf 0_V) = f(\mathbf 0_V) + f(\mathbf 0_V)$

e togliendo $f(\mathbf 0_V)$ da ambo i membri si ottiene

$\mathbf 0_W = f(\mathbf 0_V)$

Sostituendo allo zero una combinazione lineare di vettori linearmente dipendenti si dimostra che un'applicazione lineare non banale manda sottoinsiemi del dominio linearmente indipendenti in sottoinsiemi del codominio linearmente indipendenti.

Un'applicazione lineare è descritta completamente attraverso la sua azione sui vettori di una base qualsiasi del dominio. Poiché la scrittura di un vettore in una data base è unica, la linearità dell'applicazione determina l'unicità del vettore immagine.

Un'applicazione lineare biunivoca (o invertibile) è inoltre un isomorfismo tra spazi vettoriali.

Esistenza ed unicità dell'applicazione lineare

Siano V e W due spazi vettoriali di dimensione finita. Sia $B_V = (\mathbf v_1,\ldots, \mathbf v_n)$ una base di V e siano $\mathbf w_1,\ldots, \mathbf w_m$ vettori di W. Allora esiste un'unica applicazione lineare da V in W tale che:

$f(\mathbf v_i) = \mathbf w_i \quad \forall i$

Nel caso non si conosca la forma esplicita dell'applicazione è comunque possibile stabilirne l'esistenza e l'unicità attraverso la conoscenza dell'azione dell'applicazione su un insieme di vettori dati $\{{\mathbf v}_i \}$, dei quali si conosce quindi l'immagine. Se l'insieme di vettori è una base del dominio allora l'applicazione è univocamente determinata, mentre se i vettori dati non costituiscono una base vi sono due casi:

• I vettori di cui si conosce l'immagine sono linearmente indipendenti: in tal caso l'applicazione esiste ma non è unica.
• I vettori di cui si conosce l'immagine non sono linearmente indipendenti: in tal caso uno o più vettori sono combinazione lineare dei restanti. Si ha:

$\mathbf v_j = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf v_i$

L'applicazione esiste (ma non è unica) se e solo se:

$f(\mathbf v_j) = \sum_{i=1}^n a_i f(\mathbf v_i)$

Matrice associata

Per approfondire, vedi la voce matrice associata ad una applicazione lineare.

Siano V e W due spazi vettoriali di dimensione finita. Scelte due basi B_V e B_W per V e W, ogni trasformazione lineare da V a W è rappresentabile come una matrice. Si ponga:

$B_V = (\mathbf v_1,\ldots, \mathbf v_n) \,\!$

$B_W = (\mathbf w_1,\ldots, \mathbf w_m) \,\!$

Ogni vettore $\mathbf v$ in V è univocamente determinato dalle sue coordinate $c_1, \ldots, c_n$, definite in modo che:

$\mathbf v=c_1 \mathbf v_1+\cdots+c_n \mathbf v_n$

Se $f:V\to W$ è una trasformazione lineare si ha:

$f(\mathbf v) = f(c_1 \mathbf v_1+\cdots+c_n \mathbf v_n)=c_1 f(\mathbf v_1)+\cdots+c_n f(\mathbf v_n)$

Quindi la funzione f è determinata dai vettori $f(\mathbf v_1),\ldots,f(\mathbf v_n)$. Ciascuno di questi è scrivibile come:

$f(\mathbf v_j)=a_{1j} \mathbf w_1 + \cdots + a_{mj} \mathbf w_m$

La funzione f è dunque interamente determinata dai valori di a_i,j, che formano la matrice associata a f nelle basi B_V e B_W.

La matrice associata A è di tipo $m\times n$, e può essere usata agevolmente per calcolare l'immagine $f(\mathbf v)$ di ogni vettore di V grazie alla relazione seguente:

$A [\mathbf v]_{B_V} = [\mathbf w]_{B_W}$

dove $[\mathbf v]_{B_V}$ e $[\mathbf w]_{B_W}$ sono le coordinate di $\mathbf v$ e $\mathbf w$ nelle rispettive basi.

Notiamo che la scelta delle basi è essenziale: la stessa matrice, usata su basi diverse, può rappresentare applicazioni lineari diverse.

Struttura di spazio vettoriale

L'insieme Hom(V,W) delle applicazioni lineari da V in W è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale formato da tutte le funzioni da V in W, infatti:

• La composizione di trasformazioni lineari è anch'essa una trasformazione lineare. Se $f:V\to W$ e $g:W\to Z$ sono applicazioni lineari, allora lo è anche $g\circ f: V \to Z$

• Se $f:V\to W$ e $g:V\to W$ sono lineari, allora lo è la loro somma f + g, definita dalla relazione:

$(f+g)(\mathbf v) = f(\mathbf v)+g(\mathbf v)$

• Se $f:V\to W$ è lineare e a è un elemento del campo K, allora la mappa af, definita da $(af)(\mathbf v) = a(f(\mathbf v))$, è anch'essa lineare.

Nel caso finito-dimensionale, dopo aver fissato delle basi, le operazioni di composizione, somma e prodotto per scalare di mappe lineari corrispondono rispettivamente a moltiplicazione di matrici, somma di matrici e moltiplicazione di matrici per scalare.

Le basi definiscono quindi un isomorfismo $\textrm{Hom}(V,W) \to M(n,m)$ tra gli spazi vettoriali delle applicazioni lineari e delle matrici $n\times m$, dove m e n sono le dimensioni rispettivamente di V e W.

Nucleo e immagine

Per approfondire, vedi le voci teorema della dimensione, nucleo (matematica) e immagine (matematica).

Se $f:V\to W$ è lineare, si definisce nucleo di f l'insieme:

$\ker(f)=\{\,\mathbf x\in V:f(\mathbf x)=0\,\}$

si definisce immagine di f l'insieme:

$\operatorname{Im}(f)=\{\,f(\mathbf x)\in W: \mathbf x\in V\,\}$

L'insieme ker(f) è un sottospazio di V, mentre Im(f) è un sottospazio di W. Se V e W hanno dimensione finita, il teorema della dimensione asserisce che:

$\dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname{Im}( f )) = \dim( V )$

Tale teorema fornisce un criterio necessario e sufficiente al fine di stabilre l'esistenza di una trasformazione lineare.

Endomorfismi e automorfismi

Una trasformazione lineare $f:V\to V$ è un endomorfismo di V. L'insieme di tutti gli endomorfismi Endo(V) insieme a addizione, composizione e moltiplicazione per uno scalare come descritti sopra formano un'algebra associativa con unità sul campo K: in particolare formano un anello e un spazio vettoriale su K. L'elemento identità di questa algebra è la trasformazione identità di V.

Un endomorfismo biiettivo di V viene chiamato automorfismo di V; la composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e l'insieme di tutti gli automorfismi di V forma un gruppo, il gruppo generale lineare di V, chiamato Aut(V) o GL(V).

Se la dimensione di V è finita basterà che f sia iniettiva per poter affermare che sia anche suriettiva (per il teorema della dimensione). Inoltre l'isomorfismo

$\textrm{Endo}(V)\to M(n)$

fra gli endomorfismi e le matrici quadrate $n\times n$ descritto sopra è un isomorfismo di algebre. Il gruppo degli automorfismi di V è isomorfo al gruppo lineare generale GL(n, K) di tutte le matrici $n\times n$ invertibili a valori in K.

Pull-Back di funzioni ed applicazione trasposta

Siano A,B,C degli insiemi ed F ( A, C ), F ( B, C ) le famiglie di funzioni da A in C e da B in C rispettivamente. Ogni φ: A → B determina univocamente una corrispondenza φ*: F ( B, C ) → F ( A, C ), chiamata pull-back tramite φ, che manda f in f $_\circ$ φ.

Se nello specifico prendiamo A = V, B = W due spazi vettoriali su campo k = C, e anziché prendere gli interi F ( V, k ), F ( W, k ) ci restringiamo agli spazi duali V* e W*, abbiamo che ad ogni trasformazione lineare φ : V → W possiamo associare l'opportuna restrizione del pull-back tramite φ, φ*: W* → V*, che prende il nome di trasposta di φ.

Segue direttamente da come sono definite le operazioni in V* e W* che φ* è a sua volta lineare. Con un semplice calcolo si vede che fissate delle basi per V e W, e le rispettive duali in V*, W*, la matrice che rappresenta φ* è la trasposta di quella di φ (o, se rappresentiamo i funzionali come matrici riga e quindi viene tutto trasposto, le due matrici sono uguali).

Segue dalla definizione che un funzionale w* ∈ W* viene mandato a 0 se e solo se l'immagine di φ è contenuta nel nucleo di w* cioè, indicando con U^⊥ il sottospazio dei funzionali che annullano U ⊂ W, si ha ker φ* = (im φ)^⊥.

Esempi

• La moltiplicazione per una costante fissata a in K

  $f(v) = av \,\!$

  è una trasformazione lineare su qualsiasi spazio vettoriale su K.
• Una rotazione del piano euclideo rispetto all'origine di un angolo fissato.
• Una riflessione del piano euclideo rispetto ad una retta passante per l'origine.
• La proiezione di uno spazio vettoriale V decomposto in somma diretta

  $V = U\oplus W$

  su uno dei due sottospazi U o W.
• Una matrice A di tipo $m\times n$ con valori reali definisce una trasformazione lineare

  $L_A:\R^n\to\R^m$

  $L_A(v) = Av \,\!$

  dove Av è il prodotto di A e v. Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita è essenzialmente di questo tipo: si veda la sezione seguente.
• L'integrale di una funzione reale su un intervallo definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale delle funzioni continue definite sull'intervallo nello spazio vettoriale R.
• La derivata definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale di tutte le funzioni derivabili in qualche intervallo aperto di R nello spazio di tutte le funzioni.
• Lo spazio C dei numeri complessi ha una struttura di spazio vettoriale complesso di dimensione 1, e anche di spazio vettoriale reale di dimensione 2. La coniugazione

  $f:\mathbb C\to \mathbb C$

  $f(z) = \bar z$

  è una mappa R-lineare ma non C-lineare: infatti la proprietà di omogeneità vale solo per scalari reali.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9

Voci correlate

• Matrice di trasformazione
• Autovettore e autovalore
• Trasformazione affine
• Funzionale lineare
• Operatore lineare continuo
• (EN) wikibooks:Linear Algebra/Linear Transformations

Collegamenti esterni

• (EN) http://www.falstad.com/matrix/

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