Funzione (matematica)

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Rappresentazione di una funzione che associa i valori del dominio X ai valori del codominio Y

In matematica, una funzione, anche detta applicazione, mappa o trasformazione, è definita dai seguenti oggetti:

  • Un insieme X detto dominio della funzione.
  • Un insieme Y detto codominio della funzione.
  • Una relazione f : X \to Y che ad ogni elemento dell'insieme X associa uno ed un solo elemento dell'insieme Y; l'elemento assegnato a x \in X tramite f viene abitualmente indicato con f(x).

Si dice che x è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre y = f(x) è un valore della variabile dipendente della funzione.

I sinonimi "trasformazione" e "mappa" sono utilizzati specialmente in ambito geometrico, mentre quando si trattano funzioni lineari tra spazi vettoriali si usa talvolta il termine "operatore".

Le funzioni hanno un ruolo molto importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che, al contrario del precedente, non riguarda gli enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che la pressione di una certa quantità di gas perfetto è funzione della sua temperatura e del suo volume si sta facendo un'affermazione interna ad un modello termodinamico, mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, poiché è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione, il valore di quest'ultima viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Gli esempi più semplici di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono insiemi numerici. Per esempio, se a ogni numero naturale associo il doppio di tale numero, ho una funzione, il cui dominio è dato appunto dai naturali, mentre il cui codominio è costituito dai naturali pari.

Tuttavia si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio, o entrambi, non sono insiemi di numeri. Se, per esempio, a ogni triangolo del piano associo il cerchio in esso inscritto, ho ugualmente una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio inscritto.

Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori, per esempio la funzione che alle coordinate x, y, z di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura T e pressione P dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna (x, y, z), e ha sempre un solo valore, che è la coppia (T, P).

Definizione formale[modifica | modifica wikitesto]

Dati gli insiemi X e Y non vuoti, si chiama funzione da X in Y una relazione f tale che per ogni x \in X\; esiste uno ed un solo elemento y \in Y\; tale che (x, y) \in f. Tale elemento tradizionalmente si denota con f(x): in altre parole, invece di scrivere (x, y) \in f si può usare la scrittura più tradizionale:

\,y=f(x)\;

Il fatto che f sia una funzione da X in Y che associa a x l'elemento f(x) si può esprimere con la scrittura:

\begin{matrix} f: & X & \longrightarrow & Y \\ & x & \longmapsto & f(x) \end{matrix}

L'insieme X (da cui la funzione f "prende" i valori) è il dominio della funzione f, mentre l'insieme Y (in cui si trovano i valori "restituiti" dalla funzione f) è il codominio della funzione f.[1]

I termini metaforici "prendere un valore" e "restituire un valore" fanno riferimento ad un modello meccanico delle funzioni, rappresentate come meccanismi che, fornito loro un elemento del dominio, lo trasformano nel corrispondente elemento del codominio. Dalla precedente ulteriore metafora del trasformare materialmente, segue il sinonimo trasformazione.

Immagine e controimmagine[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi immagine (matematica).

Data una funzione f di dominio X e codominio Y, comunque scelto un elemento x del dominio si chiama immagine di x il corrispondente elemento del codominio, indicato con f(x). Analogamente, se y è un elemento del codominio che sia immagine di un elemento x del dominio, cioè se y=f(x), si dice che x è una controimmagine di y. Mentre a ogni elemento del dominio di f è assegnata una e una sola immagine, è possibile che un elemento nel codominio possegga diverse controimmagini, o che non ne possieda affatto. Si definisce quindi "controimmagine" dell'elemento y\in Y l'insieme

 f^{-1}(y) = \{ x \in X \, |\, f(x) = y\}.

Se f^{-1}(y) \ne \emptyset per ogni y \in Y si dice che f è suriettiva, mentre se f^{-1}(y) contiene al più un elemento per ogni y si dice che f è iniettiva. Se valgono entrambe le condizioni, f è detta biiettiva o biunivoca.

L'insieme

\{y \in Y\, |\, \exists x \in X : y=f(x)\}

degli elementi y del codominio per i quali esiste un x nel dominio che ha y come immagine è detto immagine di f e si denota con \textrm{Im}(f) o con f(X).[2]

Operazioni sulle funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Date due funzioni f : X → Y e g : Y → Z si può definire la loro composizione: questa è definita applicando prima f ad x e quindi applicando g al risultato f(x).

Questa nuova funzione viene denotata con g\circ f (si legge: "f composto g"). Riconducendoci alla notazione tradizionale con le due notazioni il risultato della precedente composizione applicato all'elemento x del dominio si può scrivere[3]

\,(g\circ f)(x) = g[f(x)]

Estensione e restrizione di una funzione[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione f: A \to Y e un insieme X tale che A \subset X, si dice che la funzione \tilde{f}: X \to Y è un'estensione di f all'insieme X se

\tilde{f}\circ i = f

dove i : A \to X è l'inclusione di A in X, data da i(a) = a. Si dice viceversa che f è la restrizione di \tilde{f} all'insieme A.

La restrizione di una funzione f a un insieme A contenuto nel suo dominio è abitualmente indicata con f\big|_A.

Altre notazioni per le funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Per il valore di una funzione F corrispondente ad un elemento x, denotabile con la notazione tradizionale F(x), vengono usate anche altre due scritture.

Per quella che chiamiamo notazione a funzione prefissa si pone

\, Fx := F(x) .

Per quella che chiamiamo notazione a funzione suffissale si pone

\, xF := F(x) .

A volte al posto delle parentesi tonde si usano parentesi quadrate:

\, F[x]=F(x) .

In questo modo si evitano confusioni con le parentesi che indicano l'ordine delle operazioni. Tra l'altro questa notazione è usata da alcuni programmi di calcolo simbolico.

Funzioni di due o più variabili[modifica | modifica wikitesto]

Quando il dominio di una funzione f è il prodotto cartesiano di due o più insiemi e dunque la funzione agisce su n-uple di elementi di insiemi allora l'immagine del vettore di questi elementi  \mathbf x viene indicata con la notazione

 f(x_i) \

In questo caso la funzione viene anche chiamata funzione di vettore. A tal proposito in fisica si parla di campo (fisica).

Per esempio, si consideri la funzione di moltiplicazione che associa un vettore di due numeri naturali x e y al loro prodotto: f(x,y) = x \, y. Questa funzione può essere definita formalmente come avente per dominio \N \times \N, l'insieme di tutte le coppie di numeri naturali; si noti inoltre che in questo caso la funzione è simmetrica rispetto alle componenti del vettore: f(x,y) = f(y,x) e quindi si tratta di una funzione di un insieme f{x,y} in cui non importa cioè l'ordine degli elementi. Sono inoltre possibili anche altri raggruppamenti delle variabili: per esempio risulta estremamente importanti nello studio dei sistemi di equazioni differenziali la teoria della funzione di matrice:

 f(x_{ij}) \

Operazioni binarie[modifica | modifica wikitesto]

Molte operazioni binarie dell'aritmetica, come l'addizione e la moltiplicazione, sono funzioni dal prodotto cartesiano \Z \times \Z a valori in \Z, e vengono descritte tramite la notazione infissa: si scrive cioè  x+y (e non +(x,y) ) per descrivere l'immagine della coppia  (x,y) tramite l'operazione  + .[4]

Questa notazione è stata generalizzata dall'algebra moderna, per definire strutture algebriche come ad esempio quella di gruppo, come un insieme  X dotato di alcune operazioni binarie aventi determinate proprietà.

Funzioni a più valori[modifica | modifica wikitesto]

Se il codominio di una funzione  f è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, questa può essere indicata come funzione vettoriale. Tali variabili spesso vengono aggregate in un vettore; a tal proposito in fisica si parla di campo vettoriale.

Un esempio tipico è dato da una trasformazione lineare del piano, ad esempio:

 (x,y) \to (y,x) .

Una funzione è invece detta polidroma nel caso in cui esiste almeno un elemento del dominio cui corrisponde più di un elemento del codominio. In effetti tali funzioni non rientrano nella definizione data inizialmente, ma in alcuni campi (ad esempio in analisi complessa) essa viene estesa proprio in questo senso. Un esempio di funzione polidroma è la radice quadrata di un numero reale positivo, che può essere descritta come una funzione

 \mathbb R_+ \to \mathbb P(\R)

che associa ad ogni numero reale positivo l'insieme delle sue due radici quadrate. Un altro esempio analogo è il logaritmo definito sull'insieme dei numeri complessi.[5]

Tipologia[modifica | modifica wikitesto]

Nella matematica e sostanzialmente in tutte le sue applicazioni si incontrano numerosi tipi di funzioni, che si presentano anche con caratteristiche molto diverse. L'affollata ed articolata popolazione delle funzioni viene quindi classificata seguendo diversi criteri.

Classificazione puramente insiemistica[modifica | modifica wikitesto]

Classificazione delle funzioni nell'ambito della teoria della calcolabilità[modifica | modifica wikitesto]

Classificazione delle funzioni nell'ambito dell'analisi matematica[modifica | modifica wikitesto]

Alcune funzioni notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Funzioni di interesse probabilistico e statistico[modifica | modifica wikitesto]

Operazioni elementari su funzioni di variabile reale a valori reali[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione f(x) di variabile reale a valori reali ed una costante c \in \mathbb{R}, su di essa sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari ovvero somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, radice n-esima ovvero:

z(x)=f(x)+c,
z(x)=f(x)-c,
z(x)=f(x) \cdot c,

se c \neq 0 si ha anche

z(x)=\frac{f(x)}{c},

se f(x) > 0 si ha anche

z(x)=f(x)^c,

e se c intero positivo, e se c pari si deve avere anche f(x) > 0 , si ha anche

z(x)=\sqrt[c]{f(x)}.

Date due funzioni f(x) e g(x) di variabile reale a valori reali sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari di cui sopra ovvero:

z(x)=f(x)+g(x),
z(x)=f(x)-g(x),
z(x)=f(x) \cdot g(x),

se g(x) \neq 0 si ha anche

z(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

se f(x) > 0 si ha anche

z(x)=f(x)^{g(x)}

Traslazione[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione f(x) di variabile reale a valori reali ed una costante c \in \mathbb{R}:

  • la sua traslata rispetto all'asse y verso destra è f(x-c)
  • la sua traslata rispetto all'asse y verso sinistra è f(y+c)
  • la sua traslata rispetto all'asse x verso l'alto è f(x)+c
  • la sua traslata rispetto all'asse x verso il basso è f(x)-c

Simmetria[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione f(x) di variabile reale a valori reali:

  • la simmetrica di f(x) rispetto all'asse y è f(-x)
  • la simmetrica di f(x) rispetto all'asse x è -f(x)

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analisi matematica, Liguori Editore Srl, 1994, p. 63.
  2. ^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analisi matematica, Liguori Editore Srl, 1994, p. 67.
  3. ^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analisi matematica, Liguori Editore Srl, 1994, pp. 69-70.
  4. ^ Francesca Dalla Volta, Marco Rigoli, Elementi di matematica discreta e algebra lineare, Pearson Paravia Bruno Mondad, 2007, p. 169.
  5. ^ Gazzola Ferrero Zanotti, Elementi di analisi superiore per la fisica e l'ingegneria, Società Editrice Esculapio, 2007, pp. 127-128.

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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